1. 2sin 45°cos 15°-sin 30°的值等于________.
答案
解析 2sin 45°cos 15°-sin 30°=2sin 45°cos 15°-sin(45°-15°)=2sin 45°cos 15°-(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°)=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin 60°=.
2.要得到函數(shù)y=sin 2x的圖象，可由函數(shù)y=cos(2x-)向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度.
答案 右
解析 由于函數(shù)y=sin 2x=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)-]，所以可由函數(shù)y=cos(2x-)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=sin 2x的圖象.
3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2=(a-b)2+6，C=，則△ABC的面積是________.
答案
解析 c2=(a-b)2+6，即c2=a2+b2-2ab+6，①
∵C=，由余弦定理得c2=a2+b2-ab，②
由①和②得ab=6，
∴S△ABC=absin C=×6×=.
4.(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是________.
答案 2
解析 由題意得，tan(18°+27°)=，
即=1，
所以tan 18°+tan 27°=1-tan 18°tan 27°，
所以(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=2.
5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C+ccos B=asin A，則△ABC的形狀為________三角形.
答案 直角
解析 ∵bcos C+ccos B=asin A，
∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A，
∴sin(B+C)=sin2A，∴sin A=1，∴A=，三角形為直角三角形.
6.(2016·天津)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則·的值為________.
答案
解析 如圖，由條件可知=-，
=+=+
=+，
所以·
=(-)·(+)
=2-·-2.
因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
所以||=||=1，∠BAC=60°，
所以·=--=.
7.已知a，b為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，且a=(1,2)，|b|=|a|，若a+2b與2a-b垂直，則a與b的夾角為________.
答案 π
解析 |b|=|a|=，而(a+2b)·(2a-b)=02a2-2b2+3a·b=0a·b=-，從而cos〈a，b〉==-1，〈a，b〉=π.
8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c有下列命題：
①若A>B>C，則sin A>sin B>sin C;
②若==，則△ABC為等邊三角形;
③若sin 2A=sin 2B，則△ABC為等腰三角形;
④若(1+tan A)(1+tan B)=2，則△ABC為鈍角三角形;
⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，則a>b>csin A>sin B>sin C;
若==，則=sin(A-B)=0A=Ba=b，同理可得a=c，所以△ABC為等邊三角形;若sin 2A=sin 2B，則2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC為等腰或直角三角形;若(1+tan A)(1+tan B)=2，則tan A+tan B=1-tan Atan B，因此tan(A+B)=1C=，△ABC為鈍角三角形;在△ABC中，tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C恒成立，因此正確的命題為①②④.
9.若△ABC的三邊a，b，c及面積S滿足S=a2-(b-c)2，則sin A=________.
答案
解析 由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A=bcsin A，所以sin A+4cos A=4，由sin2A+cos2A=1，解得sin2A+(1-)2=1，sin A=(0舍去).
10.若tan θ=3，則cos2θ+sin θcos θ=________.
答案
解析 ∵tan θ=3，
∴cos2θ+sin θcos θ=
===.
11.已知單位向量a，b，c，且a⊥b，若c=ta+(1-t)b，則實(shí)數(shù)t的值為________.
答案 1或0
解析 c=ta+(1-t)bc2=t2+(1-t)2=|c|2=1t=0或t=1.
12.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcos A=(2c+a)cos(A+C).
(1)求角B的大小;
(2)求函數(shù)f(x)=2sin 2x+sin(2x-B)(x∈R)的值.
解 (1)由已知，bcos A=(2c+a)cos(π-B)，
即sin Bcos A=-(2sin C+sin A)cos B，
即sin(A+B)=-2sin Ccos B，
則sin C=-2sin Ccos B，
∴cos B=-，即B=.
(2)f(x)=2sin 2x+sin 2xcos -cos 2xsin
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，
當(dāng)2x-=+2kπ，k∈Z時(shí)，f(x)取得值，
即x=+kπ，k∈Z時(shí)，f(x)取得值.
13.已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f(A)=1，b=，c=3，求a的值.
解 (1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，
所以f(x)的最小正周期為π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+](k∈Z).
(2)由題意知f(A)=sin(2A-)=1，
sin(2A-)=，
又∵A是銳角，∴2A-=，∴A=，
由余弦定理得a2=2+9-2××3×cos =5，∴a=.
答案
解析 2sin 45°cos 15°-sin 30°=2sin 45°cos 15°-sin(45°-15°)=2sin 45°cos 15°-(sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°)=sin 45°cos 15°+cos 45°sin 15°=sin 60°=.
2.要得到函數(shù)y=sin 2x的圖象，可由函數(shù)y=cos(2x-)向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度.
答案 右
解析 由于函數(shù)y=sin 2x=cos(-2x)=cos(2x-)=cos[2(x-)-]，所以可由函數(shù)y=cos(2x-)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=sin 2x的圖象.
3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若c2=(a-b)2+6，C=，則△ABC的面積是________.
答案
解析 c2=(a-b)2+6，即c2=a2+b2-2ab+6，①
∵C=，由余弦定理得c2=a2+b2-ab，②
由①和②得ab=6，
∴S△ABC=absin C=×6×=.
4.(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是________.
答案 2
解析 由題意得，tan(18°+27°)=，
即=1，
所以tan 18°+tan 27°=1-tan 18°tan 27°，
所以(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°tan 27°=2.
5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos C+ccos B=asin A，則△ABC的形狀為________三角形.
答案 直角
解析 ∵bcos C+ccos B=asin A，
∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A，
∴sin(B+C)=sin2A，∴sin A=1，∴A=，三角形為直角三角形.
6.(2016·天津)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=2EF，則·的值為________.
答案
解析 如圖，由條件可知=-，
=+=+
=+，
所以·
=(-)·(+)
=2-·-2.
因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
所以||=||=1，∠BAC=60°，
所以·=--=.
7.已知a，b為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，且a=(1,2)，|b|=|a|，若a+2b與2a-b垂直，則a與b的夾角為________.
答案 π
解析 |b|=|a|=，而(a+2b)·(2a-b)=02a2-2b2+3a·b=0a·b=-，從而cos〈a，b〉==-1，〈a，b〉=π.
8.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c有下列命題：
①若A>B>C，則sin A>sin B>sin C;
②若==，則△ABC為等邊三角形;
③若sin 2A=sin 2B，則△ABC為等腰三角形;
④若(1+tan A)(1+tan B)=2，則△ABC為鈍角三角形;
⑤存在A，B，C使得tan Atan Btan CB>C，則a>b>csin A>sin B>sin C;
若==，則=sin(A-B)=0A=Ba=b，同理可得a=c，所以△ABC為等邊三角形;若sin 2A=sin 2B，則2A=2B或2A+2B=π，因此△ABC為等腰或直角三角形;若(1+tan A)(1+tan B)=2，則tan A+tan B=1-tan Atan B，因此tan(A+B)=1C=，△ABC為鈍角三角形;在△ABC中，tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C恒成立，因此正確的命題為①②④.
9.若△ABC的三邊a，b，c及面積S滿足S=a2-(b-c)2，則sin A=________.
答案
解析 由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2bc-2bccos A=bcsin A，所以sin A+4cos A=4，由sin2A+cos2A=1，解得sin2A+(1-)2=1，sin A=(0舍去).
10.若tan θ=3，則cos2θ+sin θcos θ=________.
答案
解析 ∵tan θ=3，
∴cos2θ+sin θcos θ=
===.
11.已知單位向量a，b，c，且a⊥b，若c=ta+(1-t)b，則實(shí)數(shù)t的值為________.
答案 1或0
解析 c=ta+(1-t)bc2=t2+(1-t)2=|c|2=1t=0或t=1.
12.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcos A=(2c+a)cos(A+C).
(1)求角B的大小;
(2)求函數(shù)f(x)=2sin 2x+sin(2x-B)(x∈R)的值.
解 (1)由已知，bcos A=(2c+a)cos(π-B)，
即sin Bcos A=-(2sin C+sin A)cos B，
即sin(A+B)=-2sin Ccos B，
則sin C=-2sin Ccos B，
∴cos B=-，即B=.
(2)f(x)=2sin 2x+sin 2xcos -cos 2xsin
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，
當(dāng)2x-=+2kπ，k∈Z時(shí)，f(x)取得值，
即x=+kπ，k∈Z時(shí)，f(x)取得值.
13.已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;
(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且銳角A滿足f(A)=1，b=，c=3，求a的值.
解 (1)f(x)=2sin xcos x-2cos2x+1
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)，
所以f(x)的最小正周期為π.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)，
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)，
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+](k∈Z).
(2)由題意知f(A)=sin(2A-)=1，
sin(2A-)=，
又∵A是銳角，∴2A-=，∴A=，
由余弦定理得a2=2+9-2××3×cos =5，∴a=.