2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（重慶卷）
數(shù)學(xué)試題卷（文史類）
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目．
2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．
參考公式：
如果事件 互斥，那么
如果事件 相互獨(dú)立，那么
如果事件 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 ，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 次的概率
以 為半徑的球體積：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．圓心在 軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（ ）
A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”
C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”
3． 的展開式中 的系數(shù)是（ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
4．已知向量 若 與 平行，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．設(shè) 是公差不為0的等差數(shù)列， 且 成等比數(shù)列，則 的前 項(xiàng)和 =（ ）
A． B． C． D．
6．下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，則 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
8．12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)），則3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．在正四棱柱 中，頂點(diǎn) 到對(duì)角線 和到平面 的距離分別為 和 ，則下列命題中正確的是（ ）
A．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 的取值范圍為
B．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 的取值范圍為
C．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 的取值范圍為
D．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 的取值范圍為
10．把函數(shù) 的圖像 向右平移 個(gè)單位長度，再向下平移 個(gè)單位長度后得到圖像 ．若對(duì)任意的 ，曲線 與 至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上．
11．若 是小于9的正整數(shù) ， 是奇數(shù) ， 是3的倍數(shù) ，則 ．
12．記 的反函數(shù)為 ，則方程 的解 ．
13．5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有 種（用數(shù)字作答）．
14．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）
125 124 121 123 127
則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （克）（用數(shù)字作答）．
15．已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，若橢圓上存在一點(diǎn) 使 ，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分．）
設(shè)函數(shù) 的最小正周期為 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期．
（Ⅱ）若函數(shù) 的圖像是由 的圖像向右平移 個(gè)單位長度得到，求 的單調(diào)增區(qū)間．
17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）
某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：
（Ⅰ）至少有1株成活的概率；
（Ⅱ）兩種大樹各成活1株的概率．
-
18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）
如題（18）圖，在五面體 中， ∥ ， ， ，四邊形 為平行四邊形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直線 到平面 的距離；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問5分）
已知 為偶函數(shù)，曲線 過點(diǎn) ， ．
（Ⅰ）求曲線 有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（Ⅱ）若當(dāng) 時(shí)函數(shù) 取得極值，確定 的單調(diào)區(qū)間．
20．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）
已知以原點(diǎn) 為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為 ，離心率 ．
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 是圓 上的點(diǎn)，點(diǎn) 在雙曲線右支上，求 的最小值，并求此時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)；
21．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問3分，（Ⅱ）問4分，（Ⅲ）問5分）
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）設(shè) 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，求證： ；
（Ⅲ）求證： ．
數(shù)學(xué)試題卷（文史類）
本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目．
2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效．
5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回．
參考公式：
如果事件 互斥，那么
如果事件 相互獨(dú)立，那么
如果事件 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 ，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 次的概率
以 為半徑的球體積：
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．圓心在 軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（ ）
A．“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”
C．“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”
3． 的展開式中 的系數(shù)是（ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
4．已知向量 若 與 平行，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
5．設(shè) 是公差不為0的等差數(shù)列， 且 成等比數(shù)列，則 的前 項(xiàng)和 =（ ）
A． B． C． D．
6．下列關(guān)系式中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，則 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
8．12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)隊(duì)），則3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為（ ）
A． B． C． D．
9．在正四棱柱 中，頂點(diǎn) 到對(duì)角線 和到平面 的距離分別為 和 ，則下列命題中正確的是（ ）
A．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 的取值范圍為
B．若側(cè)棱的長小于底面的變長，則 的取值范圍為
C．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 的取值范圍為
D．若側(cè)棱的長大于底面的變長，則 的取值范圍為
10．把函數(shù) 的圖像 向右平移 個(gè)單位長度，再向下平移 個(gè)單位長度后得到圖像 ．若對(duì)任意的 ，曲線 與 至多只有一個(gè)交點(diǎn)，則 的最小值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案寫在答題卡相應(yīng)位置上．
11．若 是小于9的正整數(shù) ， 是奇數(shù) ， 是3的倍數(shù) ，則 ．
12．記 的反函數(shù)為 ，則方程 的解 ．
13．5個(gè)人站成一排，其中甲、乙兩人不相鄰的排法有 種（用數(shù)字作答）．
14．從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）
125 124 121 123 127
則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （克）（用數(shù)字作答）．
15．已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 ，若橢圓上存在一點(diǎn) 使 ，則該橢圓的離心率的取值范圍為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問7分，（Ⅱ）小問6分．）
設(shè)函數(shù) 的最小正周期為 ．
（Ⅰ）求 的最小正周期．
（Ⅱ）若函數(shù) 的圖像是由 的圖像向右平移 個(gè)單位長度得到，求 的單調(diào)增區(qū)間．
17．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）
某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：
（Ⅰ）至少有1株成活的概率；
（Ⅱ）兩種大樹各成活1株的概率．
-
18．（本小題滿分13分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問6分）
如題（18）圖，在五面體 中， ∥ ， ， ，四邊形 為平行四邊形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直線 到平面 的距離；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
19．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問7分，（Ⅱ）問5分）
已知 為偶函數(shù)，曲線 過點(diǎn) ， ．
（Ⅰ）求曲線 有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（Ⅱ）若當(dāng) 時(shí)函數(shù) 取得極值，確定 的單調(diào)區(qū)間．
20．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問5分，（Ⅱ）問7分）
已知以原點(diǎn) 為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為 ，離心率 ．
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如題（20）圖，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 是圓 上的點(diǎn)，點(diǎn) 在雙曲線右支上，求 的最小值，并求此時(shí) 點(diǎn)的坐標(biāo)；
21．（本小題滿分12分，（Ⅰ）問3分，（Ⅱ）問4分，（Ⅲ）問5分）
已知 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）設(shè) 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，求證： ；
（Ⅲ）求證： ．