學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕，但是還是有很多同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)不好，那就需要多練習(xí)。整理了相關(guān)內(nèi)容，快來看看吧！希望能幫助到你~更多相關(guān)訊息請(qǐng)關(guān)注！
和差問題
說到“和差問題”，小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)，人人都會(huì)說：“我會(huì)!”和差問題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：
大數(shù)=(和+差)÷2
小數(shù)=(和-差)÷2
會(huì)算，還要會(huì)靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來算.
先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.
例1，張明在期末考試時(shí)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多得8分，張明這兩門功課的成績(jī)各是多少分?
解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語(yǔ)文兩門得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語(yǔ)文得分之差是8.因此
數(shù)學(xué)得分=(95×2+8)÷2=99.
語(yǔ)文得分=(95×2-8)÷2=91.
答：張明數(shù)學(xué)得99分，語(yǔ)文得91分.
注：也可以從95×2-99=91求出語(yǔ)文得分.
例2，有A，B，C三個(gè)數(shù)，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個(gè)數(shù).
解：從B+C=197與A+C=149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此
B=(252+197-149)÷2=150，
A=252-150=102，
C=149-102=47.
答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.
注：還有一種更簡(jiǎn)單的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47，
B=299-149=150，
A=299-197=102.
例3，甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克?
解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖，
就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多
5+7+5=17(千克)
因此，甲、乙兩數(shù)之和是75，差為17.
甲筐蘋果數(shù)=(75+17)÷2=46(千克).
乙筐蘋果數(shù)=75-46=29(千克).
答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.
例4，張強(qiáng)用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買這雙鞋花多少錢?
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是270元，差是210元.
外衣和鞋價(jià)之和=(270+210)÷2=240(元).
外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此
鞋價(jià)=(240-140)÷2=50(元).
答：買這雙鞋花50元.
再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了.
例5，李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間(上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì))?
解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有
鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160(分鐘).
晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，被回家路上所用時(shí)間抵消了.
因此
鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120(分鐘).
現(xiàn)在已把問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問題了.
鐘停的時(shí)間=(160+120)÷2=140(分鐘).
路上用的時(shí)間=160-140=20(分鐘).
答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：
以李叔叔家的鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來回共用的時(shí)間，所以
上班路上所用時(shí)間=(8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘)÷2=20(分鐘).
鐘停時(shí)間=2小時(shí)40分鐘-20分鐘
=2小時(shí)20分鐘.
例6，小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張?
解：甲卡與乙卡每張相差1.5-0.7=0.8(元)，售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(張).
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢?請(qǐng)注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.
從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是
[21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+0.7)=18(張).
因此，甲卡張數(shù)是
(18+4)÷2=11(張).
乙卡張數(shù)是18-11=7(張).
答：小明買甲卡11張、乙卡7張.
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請(qǐng)見下一講.
例7，有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形，拼合成兩種大長(zhǎng)方形，如右圖.大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是240厘米，大長(zhǎng)形(B)的周長(zhǎng)是258厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米?
解：大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×2+寬×4.
大長(zhǎng)方形(B)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×4+寬×2.
因此，240+258是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×6+寬×6.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是
(240+258)÷6=83(厘米).
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是
(258-240)÷2=9(厘米).
因此，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是
長(zhǎng)：(83+9)÷2=46(厘米).
寬：(83-9)÷2=37(厘米).
答：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米
倍數(shù)問題
當(dāng)知道了兩個(gè)數(shù)的和或者差，又知道這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個(gè)數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個(gè)基礎(chǔ)性的例子.
例1，有兩堆棋子，第一堆有87個(gè)，第二堆有69個(gè).那么從第一堆拿多少個(gè)棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.
解：兩堆棋子共有87+69=156(個(gè)).
為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個(gè)棋子分成1+3=4(份)，即每份有棋子
156÷(1+3)=39(個(gè)).
第一堆應(yīng)留下棋子39個(gè)，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是
87-39=48(個(gè)).
答：應(yīng)從第一堆拿48個(gè)棋子到第二堆去.
例2，有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書?
解：我們畫出下列示意圖：
我們把第一層(拿走38本后)余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即
173-38-6=129(本)
恰好是3份，每一份是
129÷3=43(本).
因此，第二層的書共有
43×2+6=92(本).
答：書架的第二層有92本書.
說明：我們先設(shè)立“1份”，使計(jì)算有了很方便的計(jì)算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對(duì)倍數(shù)問題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.
例3，某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人?
解：設(shè)六年級(jí)學(xué)生人數(shù)是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人數(shù)=141×4-23=541(人).
女生人數(shù)=975-541=434(人).
答：有男生541人、女生434人.
例2與例3是一個(gè)類型的問題，但稍有差別.請(qǐng)讀者想一想，“差別”在哪里?
70雙皮鞋.此時(shí)皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙?
解：為了計(jì)算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6(份).400+70將是3+1+6=10(份).每份是
(400+70)÷10=47(雙).
原有旅游鞋47×4=188(雙).
原有皮鞋47×6-70=212(雙).
答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.
設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計(jì)算都較簡(jiǎn)捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會(huì)貫穿在以后的章節(jié)中.
下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容──年齡問題.
年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問題關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個(gè)人的年齡差總保持不變.
例4，父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍?
解：父女相差36歲，這個(gè)差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的(5-1)倍.
36÷(5-1)=9.
當(dāng)時(shí)女兒是9歲，14-9=5，也就是5年前.
答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.
例5，有大、小兩個(gè)水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個(gè)水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個(gè)水池注入了多少立方米的水.
解：畫出下面示意圖：
我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚€(gè)水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是
(300-70)÷2=115(立方米).
要注入的水量是
115-70=45(立方米)?
答：每個(gè)水池要注入45立方米的水.
例5與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當(dāng)于年齡問題中的“幾年后”.
例6，今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲?
解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會(huì)變的，今年他們的年齡仍相差1份.
題目又告訴我們，那時(shí)哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是2+1=3(份).
今年，哥弟倆年齡之和是
3+2=5(份).
每份是55÷5=11(歲).
哥哥今年的歲數(shù)是11×3=33(歲).
答：哥哥今年33歲.
作為本節(jié)后一個(gè)例子，我們將年齡問題進(jìn)行一點(diǎn)變化.
例7，父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.
問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍?
解：現(xiàn)在父母年齡之和是
38+36=74.
現(xiàn)在兒子年齡的4倍是11×4=44.相差
74-44=30.
從4倍來考慮，以后每年長(zhǎng)1×4=4，而父母年齡之和每年長(zhǎng)1+1=2.
為追上相差的30，要
30÷(4-2)=15(年)?
答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.
請(qǐng)讀者用例6的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.
請(qǐng)讀者想一想，例7的解法，與例5的解法，是否不一樣?各有什么特點(diǎn)?
我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：
(14×5-50)÷(5-1)=5(年).
不過要注意14×5比50多，因此是5年前.
盈不足問題
在我國(guó)古代的算書中，《九章算術(shù)》是內(nèi)容豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語(yǔ)言來敘述，就是下面的例題.
例1，有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元;每人出7元，就少了4元。那么有多少人?物價(jià)是多少?
解：“多3元”與“少4元”兩者相差
3+4=7(元).
每個(gè)人要多出8-7=1(元).
因此就知道，共有7÷1=7(人)，物價(jià)是
8×7-3=53(元).
答：共有7個(gè)人一起買，物價(jià)是53元.
上面的3+4可以說是兩個(gè)總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計(jì)算公式是
總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)
這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請(qǐng)?jiān)倏匆恍├?
例2，把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完;如果每人分16粒，就有3個(gè)小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒?
解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3=30(粒)，分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6(粒)，因此其余小朋友有
10×3÷(16-10)=5(人).
再加上這3位小朋友，共有小朋友5+3=8(人).這袋糖有
10×(5+3)=80(粒).
解二：如果我們?cè)僭黾?6×3粒糖，每人都可以增加(1-10)粒，因此共有小朋友
16×3÷(16-10)=8(人)?
這袋糖有80粒.
答：這袋糖有80粒.
這里，16×3是總差，(16-10)是每份差，8是份數(shù).
例3，有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人;如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個(gè)班共有多少名同學(xué)?
解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個(gè)人無船坐;如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個(gè)人坐船.可以坐船的人數(shù)，兩者相差6+9=15(人).
這是由于每條船多坐(9-6)人產(chǎn)生的，因此共有船
(6+9)÷(9-6)=5(條)?
這個(gè)班的同學(xué)有6×5+6=36(人).
答：這個(gè)班有36人.
例4，小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)?
解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時(shí)間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比較：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6(米);如果每分鐘走50米，就要少走50×3(米).請(qǐng)看如下示意圖：
因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時(shí)間是
(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分鐘).
家至學(xué)校距離是
800×(21-6)=1200(米)?
或50×(21+3)=1200(米).
答：小明家到學(xué)校的路程是1200米.
解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時(shí)間，作為思考的出發(fā)點(diǎn).
用每分鐘50米速度，就要多用6+3=9(分種).這9分鐘所走的50×9(米)，恰好補(bǔ)上前面少走的.因此每分鐘80米所需時(shí)間是
50×(6+3)÷(80-50)=15(分鐘)?
再看兩個(gè)稍復(fù)雜的例子.
例5，一些桔子分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個(gè)人，那么每人分2個(gè)桔子還缺少8個(gè)，問有桔子多少個(gè)?
解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉(zhuǎn)化這一條件.
假設(shè)還有10個(gè)桔子，10=2×5，就可以多有5個(gè)人，把“少5人”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6(個(gè)).
每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差
10+10+8=28(個(gè)).
所以原有人數(shù)28÷(6-5)=28(人).
桔子總數(shù)是5×28+10=150(個(gè)).
答：有桔子150個(gè).
例6，有一些蘋果和梨.如果按每1個(gè)蘋果2個(gè)梨分堆，梨分完時(shí)還剩5個(gè)蘋果，如果按每3個(gè)蘋果5個(gè)梨分堆，蘋果分完了還剩5個(gè)梨.問蘋果和梨各多少?
解一：我們?cè)O(shè)想再有10個(gè)梨，與剩下5個(gè)蘋果一起，按“1個(gè)蘋果、2個(gè)梨”前一種分堆，都分完.以后一種“3個(gè)蘋果、5個(gè)梨”分堆來看，蘋果總數(shù)能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個(gè)蘋果，2×3=6(個(gè))梨.與后一種分堆比較：
每堆蘋果都是3個(gè).而梨多1個(gè)(6-5=1).梨的總數(shù)相差
設(shè)想增加10個(gè)+剩下5個(gè)=15個(gè).
(10+5)÷(6-5)=15.
就知有15個(gè)大堆，蘋果總數(shù)是
15×3=45(個(gè)).
梨的總數(shù)是(45-5)×2=80(個(gè)).
答：有蘋果45個(gè)、梨80個(gè).
解二：用圖解法.
前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個(gè)來表示.
后一種分堆，只要添上3個(gè)蘋果，就可與剩的5個(gè)梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.
將上、下兩圖對(duì)照比較，就可看出，5+3=8(個(gè))是下圖中“半份”，即1份是16.梨是5份，共有16×5=80(個(gè)).蘋果有16×2.5+5=45(個(gè)).
和差問題
說到“和差問題”，小學(xué)高年級(jí)的同學(xué)，人人都會(huì)說：“我會(huì)!”和差問題的計(jì)算太簡(jiǎn)單了.是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：
大數(shù)=(和+差)÷2
小數(shù)=(和-差)÷2
會(huì)算，還要會(huì)靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來算.
先看幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子.
例1，張明在期末考試時(shí)，語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語(yǔ)文多得8分，張明這兩門功課的成績(jī)各是多少分?
解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語(yǔ)文兩門得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語(yǔ)文得分之差是8.因此
數(shù)學(xué)得分=(95×2+8)÷2=99.
語(yǔ)文得分=(95×2-8)÷2=91.
答：張明數(shù)學(xué)得99分，語(yǔ)文得91分.
注：也可以從95×2-99=91求出語(yǔ)文得分.
例2，有A，B，C三個(gè)數(shù)，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個(gè)數(shù).
解：從B+C=197與A+C=149，就知道B與A的差是197-149，題目又告訴我們，B與A之和是252.因此
B=(252+197-149)÷2=150，
A=252-150=102，
C=149-102=47.
答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47.
注：還有一種更簡(jiǎn)單的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47，
B=299-149=150，
A=299-197=102.
例3，甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克?
解：畫一張簡(jiǎn)單的示意圖，
就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多
5+7+5=17(千克)
因此，甲、乙兩數(shù)之和是75，差為17.
甲筐蘋果數(shù)=(75+17)÷2=46(千克).
乙筐蘋果數(shù)=75-46=29(千克).
答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.
例4，張強(qiáng)用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買這雙鞋花多少錢?
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是270元，差是210元.
外衣和鞋價(jià)之和=(270+210)÷2=240(元).
外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此
鞋價(jià)=(240-140)÷2=50(元).
答：買這雙鞋花50元.
再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了.
例5，李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘.夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間(上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì))?
解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的.就有
鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160(分鐘).
晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí).這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，被回家路上所用時(shí)間抵消了.
因此
鐘停的時(shí)間-路上用的時(shí)間=120(分鐘).
現(xiàn)在已把問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問題了.
鐘停的時(shí)間=(160+120)÷2=140(分鐘).
路上用的時(shí)間=160-140=20(分鐘).
答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分.
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：
以李叔叔家的鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來回共用的時(shí)間，所以
上班路上所用時(shí)間=(8小時(shí)50分鐘-8小時(shí)-10分鐘)÷2=20(分鐘).
鐘停時(shí)間=2小時(shí)40分鐘-20分鐘
=2小時(shí)20分鐘.
例6，小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張?
解：甲卡與乙卡每張相差1.5-0.7=0.8(元)，售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(張).
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了.如何求呢?請(qǐng)注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4.
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4-3.2.
從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是
[21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+0.7)=18(張).
因此，甲卡張數(shù)是
(18+4)÷2=11(張).
乙卡張數(shù)是18-11=7(張).
答：小明買甲卡11張、乙卡7張.
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請(qǐng)見下一講.
例7，有兩個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形，拼合成兩種大長(zhǎng)方形，如右圖.大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是240厘米，大長(zhǎng)形(B)的周長(zhǎng)是258厘米，求原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬各為多少厘米?
解：大長(zhǎng)方形(A)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×2+寬×4.
大長(zhǎng)方形(B)的周長(zhǎng)是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×4+寬×2.
因此，240+258是原長(zhǎng)方形的
長(zhǎng)×6+寬×6.
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和是
(240+258)÷6=83(厘米).
原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差是
(258-240)÷2=9(厘米).
因此，原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬是
長(zhǎng)：(83+9)÷2=46(厘米).
寬：(83-9)÷2=37(厘米).
答：原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是46厘米、寬是37厘米
倍數(shù)問題
當(dāng)知道了兩個(gè)數(shù)的和或者差，又知道這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個(gè)數(shù).小學(xué)算術(shù)中常見的“年齡問題”是這類問題的典型.先看幾個(gè)基礎(chǔ)性的例子.
例1，有兩堆棋子，第一堆有87個(gè)，第二堆有69個(gè).那么從第一堆拿多少個(gè)棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍.
解：兩堆棋子共有87+69=156(個(gè)).
為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個(gè)棋子分成1+3=4(份)，即每份有棋子
156÷(1+3)=39(個(gè)).
第一堆應(yīng)留下棋子39個(gè)，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去.因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是
87-39=48(個(gè)).
答：應(yīng)從第一堆拿48個(gè)棋子到第二堆去.
例2，有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書?
解：我們畫出下列示意圖：
我們把第一層(拿走38本后)余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即
173-38-6=129(本)
恰好是3份，每一份是
129÷3=43(本).
因此，第二層的書共有
43×2+6=92(本).
答：書架的第二層有92本書.
說明：我們先設(shè)立“1份”，使計(jì)算有了很方便的計(jì)算單位.這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對(duì)倍數(shù)問題極為有效.把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然.
例3，某小學(xué)有學(xué)生975人.全校男生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級(jí)學(xué)生人數(shù)的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人?
解：設(shè)六年級(jí)學(xué)生人數(shù)是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人數(shù)=141×4-23=541(人).
女生人數(shù)=975-541=434(人).
答：有男生541人、女生434人.
例2與例3是一個(gè)類型的問題，但稍有差別.請(qǐng)讀者想一想，“差別”在哪里?
70雙皮鞋.此時(shí)皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙?
解：為了計(jì)算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份.那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6(份).400+70將是3+1+6=10(份).每份是
(400+70)÷10=47(雙).
原有旅游鞋47×4=188(雙).
原有皮鞋47×6-70=212(雙).
答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.
設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)單方便.小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計(jì)算都較簡(jiǎn)捷.因此，“盡可能整數(shù)化”將會(huì)貫穿在以后的章節(jié)中.
下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容──年齡問題.
年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件.解年齡問題關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個(gè)人的年齡差總保持不變.
例4，父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍?
解：父女相差36歲，這個(gè)差是不變的.幾年前還是相差36歲.當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的(5-1)倍.
36÷(5-1)=9.
當(dāng)時(shí)女兒是9歲，14-9=5，也就是5年前.
答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.
例5，有大、小兩個(gè)水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個(gè)水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個(gè)水池注入了多少立方米的水.
解：畫出下面示意圖：
我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚€(gè)水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是
(300-70)÷2=115(立方米).
要注入的水量是
115-70=45(立方米)?
答：每個(gè)水池要注入45立方米的水.
例5與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水”相當(dāng)于年齡問題中的“幾年后”.
例6，今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲.曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍.哥哥今年幾歲?
解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時(shí)，我們?cè)O(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份.兩人的歲數(shù)之差是不會(huì)變的，今年他們的年齡仍相差1份.
題目又告訴我們，那時(shí)哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是2+1=3(份).
今年，哥弟倆年齡之和是
3+2=5(份).
每份是55÷5=11(歲).
哥哥今年的歲數(shù)是11×3=33(歲).
答：哥哥今年33歲.
作為本節(jié)后一個(gè)例子，我們將年齡問題進(jìn)行一點(diǎn)變化.
例7，父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.
問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍?
解：現(xiàn)在父母年齡之和是
38+36=74.
現(xiàn)在兒子年齡的4倍是11×4=44.相差
74-44=30.
從4倍來考慮，以后每年長(zhǎng)1×4=4，而父母年齡之和每年長(zhǎng)1+1=2.
為追上相差的30，要
30÷(4-2)=15(年)?
答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.
請(qǐng)讀者用例6的解題思路，解習(xí)題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.
請(qǐng)讀者想一想，例7的解法，與例5的解法，是否不一樣?各有什么特點(diǎn)?
我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：
(14×5-50)÷(5-1)=5(年).
不過要注意14×5比50多，因此是5年前.
盈不足問題
在我國(guó)古代的算書中，《九章算術(shù)》是內(nèi)容豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語(yǔ)言來敘述，就是下面的例題.
例1，有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元;每人出7元，就少了4元。那么有多少人?物價(jià)是多少?
解：“多3元”與“少4元”兩者相差
3+4=7(元).
每個(gè)人要多出8-7=1(元).
因此就知道，共有7÷1=7(人)，物價(jià)是
8×7-3=53(元).
答：共有7個(gè)人一起買，物價(jià)是53元.
上面的3+4可以說是兩個(gè)總數(shù)的相差數(shù).而8-7是每份的相差數(shù).計(jì)算公式是
總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)
這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題.請(qǐng)?jiān)倏匆恍├?
例2，把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完;如果每人分16粒，就有3個(gè)小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒?
解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3=30(粒)，分給其余小朋友，每人就可以增加16-10=6(粒)，因此其余小朋友有
10×3÷(16-10)=5(人).
再加上這3位小朋友，共有小朋友5+3=8(人).這袋糖有
10×(5+3)=80(粒).
解二：如果我們?cè)僭黾?6×3粒糖，每人都可以增加(1-10)粒，因此共有小朋友
16×3÷(16-10)=8(人)?
這袋糖有80粒.
答：這袋糖有80粒.
這里，16×3是總差，(16-10)是每份差，8是份數(shù).
例3，有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人;如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個(gè)班共有多少名同學(xué)?
解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個(gè)人無船坐;如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個(gè)人坐船.可以坐船的人數(shù)，兩者相差6+9=15(人).
這是由于每條船多坐(9-6)人產(chǎn)生的，因此共有船
(6+9)÷(9-6)=5(條)?
這個(gè)班的同學(xué)有6×5+6=36(人).
答：這個(gè)班有36人.
例4，小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)?
解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時(shí)間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比較：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6(米);如果每分鐘走50米，就要少走50×3(米).請(qǐng)看如下示意圖：
因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時(shí)間是
(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分鐘).
家至學(xué)校距離是
800×(21-6)=1200(米)?
或50×(21+3)=1200(米).
答：小明家到學(xué)校的路程是1200米.
解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時(shí)間，作為思考的出發(fā)點(diǎn).
用每分鐘50米速度，就要多用6+3=9(分種).這9分鐘所走的50×9(米)，恰好補(bǔ)上前面少走的.因此每分鐘80米所需時(shí)間是
50×(6+3)÷(80-50)=15(分鐘)?
再看兩個(gè)稍復(fù)雜的例子.
例5，一些桔子分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)桔子.如果人數(shù)增加到3倍還少5個(gè)人，那么每人分2個(gè)桔子還缺少8個(gè)，問有桔子多少個(gè)?
解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”.先要轉(zhuǎn)化這一條件.
假設(shè)還有10個(gè)桔子，10=2×5，就可以多有5個(gè)人，把“少5人”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6(個(gè)).
每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差
10+10+8=28(個(gè)).
所以原有人數(shù)28÷(6-5)=28(人).
桔子總數(shù)是5×28+10=150(個(gè)).
答：有桔子150個(gè).
例6，有一些蘋果和梨.如果按每1個(gè)蘋果2個(gè)梨分堆，梨分完時(shí)還剩5個(gè)蘋果，如果按每3個(gè)蘋果5個(gè)梨分堆，蘋果分完了還剩5個(gè)梨.問蘋果和梨各多少?
解一：我們?cè)O(shè)想再有10個(gè)梨，與剩下5個(gè)蘋果一起，按“1個(gè)蘋果、2個(gè)梨”前一種分堆，都分完.以后一種“3個(gè)蘋果、5個(gè)梨”分堆來看，蘋果總數(shù)能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個(gè)蘋果，2×3=6(個(gè))梨.與后一種分堆比較：
每堆蘋果都是3個(gè).而梨多1個(gè)(6-5=1).梨的總數(shù)相差
設(shè)想增加10個(gè)+剩下5個(gè)=15個(gè).
(10+5)÷(6-5)=15.
就知有15個(gè)大堆，蘋果總數(shù)是
15×3=45(個(gè)).
梨的總數(shù)是(45-5)×2=80(個(gè)).
答：有蘋果45個(gè)、梨80個(gè).
解二：用圖解法.
前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個(gè)來表示.
后一種分堆，只要添上3個(gè)蘋果，就可與剩的5個(gè)梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.
將上、下兩圖對(duì)照比較，就可看出，5+3=8(個(gè))是下圖中“半份”，即1份是16.梨是5份，共有16×5=80(個(gè)).蘋果有16×2.5+5=45(個(gè)).