公務(wù)員考試中，數(shù)學(xué)運算是常見題型，數(shù)學(xué)運算又包含了很多類型，而利用公倍數(shù)和公約數(shù)常常是快速解題的一種有效手段。
概念
(1)公約數(shù)：如果有一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中的一個公約數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。
(2)最小公倍數(shù)：如果有一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。公約數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。
聯(lián)創(chuàng)世華專家提醒：這類概念的應(yīng)用一般在星期日期、余數(shù)相關(guān)等問題中，考生不但要熟練求公約數(shù)、最小公倍數(shù)的方法，還要學(xué)會在特定的情境中靈活運用。
例題講解
例題1：有兩個兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是91，最小公倍數(shù)是公約數(shù)的12倍，求這較大的數(shù)是多少?
A.42 B.38
C.36 D.28
【答案】D。
【解析】這道例題非常清晰的點明了主旨，就是公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題，那么我們可以根據(jù)定義來解決。這兩個數(shù)的公約數(shù)是91÷(12+1)=7，最小公倍數(shù)是7×12=84，故兩數(shù)應(yīng)為21和28。
例題2：三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米、300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段?
A.8 B.9
C.10 D.11
【答案】C。
【解析】這道例題中隱含了公約數(shù)的關(guān)系?！敖爻上嗟鹊男《巍保礊榍笕龜?shù)的公約數(shù)，“最少可截成多少段”，即為求公約數(shù)。每小段的長度是120、180、300的約數(shù)，也是120、180和300的公約數(shù)。120、180和300的公約數(shù)是60，所以每小段的長度是 60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
例題3：一個小于200的數(shù)，除以24或36都有余數(shù)16，則這個數(shù)是( )
A.52 B.78
C.88 D.156
【答案】C。
【解析】這道例題中隱含了最小公倍數(shù)的關(guān)系?！俺?4或36都有余數(shù)16”，說明此數(shù)減去16，即為24和36的公倍數(shù)。24和36的最小公倍數(shù)為72，則此數(shù)應(yīng)為72+16=88。
特點小結(jié)
1.在互質(zhì)的幾個數(shù)中，1是這些互質(zhì)的數(shù)的公約數(shù)。
2.約數(shù)：如果數(shù)A能被數(shù)B整除(B不為0)，A就叫做B的倍數(shù)，B就叫做A的約數(shù)(或因數(shù))，倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。
公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。
一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的是1,的是它本身。
例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的公約數(shù)
3.幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
一個數(shù)的倍數(shù)是無限的，幾個數(shù)的公倍數(shù)也是無限的。
利用分解質(zhì)因數(shù)的方法可以求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例：求6和8的最小公倍數(shù)。
6=2×3，8=2×4
所以6和8的最小公倍數(shù)是：2×3×4=24
思考問題：
下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)和公約數(shù)分別是多少?
(1)較大數(shù)是較小數(shù)倍數(shù)的。
最小公倍數(shù)：較大數(shù)
公約數(shù)：較小數(shù)
(2)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)的。
最小公倍數(shù)：兩個數(shù)乘積
公約數(shù)：1
(3)兩個數(shù)既不互質(zhì)，較大數(shù)又不是較小數(shù)倍數(shù)的。
最小公倍數(shù)：兩數(shù)所有獨有質(zhì)因數(shù)及公有質(zhì)因數(shù)的乘積
公約數(shù)：所有的公有質(zhì)因數(shù)的乘積
下面是專家組為大家精選的兩道公考真題，掌握方法是關(guān)鍵!
1. 甲、乙、丙、丁四個人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個人在圖書館相遇，問下一次四個人在圖書館相遇是幾月幾號?(2008中央)
A.10月18日 B.10月14日
C.11月18日 D.11月14日
2. 有四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數(shù)的和是()。(2006山東)
A.216 B.108
C.314 D.348
【答案】
1. D。2. C。
1. D.【解析】甲每隔5天去一次，意思是每6天去一次，依此類推，也就轉(zhuǎn)化為求6，12，18，30的最小公倍數(shù)，即180;也就是在5月18的基礎(chǔ)上往后180天，再考慮5,7,8,10四個月是大月，可知答案為D。
2. C.【解析】自然數(shù)A是5，6，7的公倍數(shù)，5，6，7的最小公倍數(shù)是210，而A小于400，所以A=210，B=A/5-1=41，同理得出C=34，D=29，210+41+34+29=314。
概念
(1)公約數(shù)：如果有一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中的一個公約數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。
(2)最小公倍數(shù)：如果有一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。公約數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。
聯(lián)創(chuàng)世華專家提醒：這類概念的應(yīng)用一般在星期日期、余數(shù)相關(guān)等問題中，考生不但要熟練求公約數(shù)、最小公倍數(shù)的方法，還要學(xué)會在特定的情境中靈活運用。
例題講解
例題1：有兩個兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是91，最小公倍數(shù)是公約數(shù)的12倍，求這較大的數(shù)是多少?
A.42 B.38
C.36 D.28
【答案】D。
【解析】這道例題非常清晰的點明了主旨，就是公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題，那么我們可以根據(jù)定義來解決。這兩個數(shù)的公約數(shù)是91÷(12+1)=7，最小公倍數(shù)是7×12=84，故兩數(shù)應(yīng)為21和28。
例題2：三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米、300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段?
A.8 B.9
C.10 D.11
【答案】C。
【解析】這道例題中隱含了公約數(shù)的關(guān)系?！敖爻上嗟鹊男《巍保礊榍笕龜?shù)的公約數(shù)，“最少可截成多少段”，即為求公約數(shù)。每小段的長度是120、180、300的約數(shù)，也是120、180和300的公約數(shù)。120、180和300的公約數(shù)是60，所以每小段的長度是 60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
例題3：一個小于200的數(shù)，除以24或36都有余數(shù)16，則這個數(shù)是( )
A.52 B.78
C.88 D.156
【答案】C。
【解析】這道例題中隱含了最小公倍數(shù)的關(guān)系?！俺?4或36都有余數(shù)16”，說明此數(shù)減去16，即為24和36的公倍數(shù)。24和36的最小公倍數(shù)為72，則此數(shù)應(yīng)為72+16=88。
特點小結(jié)
1.在互質(zhì)的幾個數(shù)中，1是這些互質(zhì)的數(shù)的公約數(shù)。
2.約數(shù)：如果數(shù)A能被數(shù)B整除(B不為0)，A就叫做B的倍數(shù)，B就叫做A的約數(shù)(或因數(shù))，倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。
公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。
一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的是1,的是它本身。
例： 在2、4、6中，2就是2，4，6的公約數(shù)
3.幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
一個數(shù)的倍數(shù)是無限的，幾個數(shù)的公倍數(shù)也是無限的。
利用分解質(zhì)因數(shù)的方法可以求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例：求6和8的最小公倍數(shù)。
6=2×3，8=2×4
所以6和8的最小公倍數(shù)是：2×3×4=24
思考問題：
下列各組數(shù)的最小公倍數(shù)和公約數(shù)分別是多少?
(1)較大數(shù)是較小數(shù)倍數(shù)的。
最小公倍數(shù)：較大數(shù)
公約數(shù)：較小數(shù)
(2)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)的。
最小公倍數(shù)：兩個數(shù)乘積
公約數(shù)：1
(3)兩個數(shù)既不互質(zhì)，較大數(shù)又不是較小數(shù)倍數(shù)的。
最小公倍數(shù)：兩數(shù)所有獨有質(zhì)因數(shù)及公有質(zhì)因數(shù)的乘積
公約數(shù)：所有的公有質(zhì)因數(shù)的乘積
下面是專家組為大家精選的兩道公考真題，掌握方法是關(guān)鍵!
1. 甲、乙、丙、丁四個人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個人在圖書館相遇，問下一次四個人在圖書館相遇是幾月幾號?(2008中央)
A.10月18日 B.10月14日
C.11月18日 D.11月14日
2. 有四個自然數(shù)A、B、C、D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數(shù)的和是()。(2006山東)
A.216 B.108
C.314 D.348
【答案】
1. D。2. C。
1. D.【解析】甲每隔5天去一次，意思是每6天去一次，依此類推，也就轉(zhuǎn)化為求6，12，18，30的最小公倍數(shù)，即180;也就是在5月18的基礎(chǔ)上往后180天，再考慮5,7,8,10四個月是大月，可知答案為D。
2. C.【解析】自然數(shù)A是5，6，7的公倍數(shù)，5，6，7的最小公倍數(shù)是210，而A小于400，所以A=210，B=A/5-1=41，同理得出C=34，D=29，210+41+34+29=314。