遞推數(shù)列是數(shù)列推理中較為復(fù)雜的一類數(shù)列。其推理規(guī)律變化多樣，使得很多考生不易察覺和掌握。要想掌握遞推數(shù)列的解題方法，需要從兩個(gè)方面入手。一是要清楚遞推數(shù)列的“鼻祖”，即最典型、最基礎(chǔ)的遞推數(shù)列;二是要明確遞推規(guī)律的變化方式。
(一)遞推數(shù)列的“鼻祖”
1，1，2，3，5，8，13，21……
寫出這個(gè)數(shù)列之后，有不少考生似曾相識(shí)。其中有一些考生知道，這個(gè)數(shù)列被稱為“斐波那契(Febonacci，原名Leonardo，12-13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家)數(shù)列”或者“兔子數(shù)列”。這些考生中還有一些人知道這個(gè)數(shù)列的遞推規(guī)律為：從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它之前兩項(xiàng)的和，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為
這個(gè)遞推規(guī)律是整個(gè)數(shù)列推理中遞推數(shù)列的基礎(chǔ)所在。在公務(wù)員考試中，曾經(jīng)出現(xiàn)過直接應(yīng)用這個(gè)規(guī)律遞推的數(shù)列。
例題1：(2002年國家公務(wù)員考試A類第4題)1，3，4，7，11，( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】：C。
【解析】：這道題可以直接應(yīng)用斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律，即
因此所求項(xiàng)為
7+11=18
(二)遞推規(guī)律的多種變式
例題2：(2006年北京市大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生考試第1題)6，7，3，0，3，3，6，9，5，( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】：A。
【解析】：這是很別致的一道試題。從形式上看，這個(gè)數(shù)列很特殊，不僅給出的已知項(xiàng)達(dá)到了9項(xiàng)之多，而且每一項(xiàng)都是一位數(shù)字，由此可以猜到這個(gè)數(shù)列的運(yùn)算規(guī)律。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
取“ ”的尾數(shù)
由此可知所求項(xiàng)為
取“9+5=14”的尾數(shù)，即4
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將兩項(xiàng)相加之和變?yōu)榱巳∥矓?shù)。
例題3：(2005年國家公務(wù)員考試二卷第30題，2006年廣東省公務(wù)員考試第5題)1，2，2，3，4，6，( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】：C。
【解析】：初看這道題容易將題目錯(cuò)看為一個(gè)簡單的等差數(shù)列1，2，3，4，5，6……正是因?yàn)榇嬖谶@樣“先入為主”的觀點(diǎn)，使得這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律被隱藏起來。其實(shí)本題的運(yùn)算遞推規(guī)律很簡單。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
4+6-1=9
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是在兩項(xiàng)相加的基礎(chǔ)之上添加了常數(shù)項(xiàng)，在本題中常數(shù)項(xiàng)為“-1”，在其余題目當(dāng)中，常數(shù)項(xiàng)還可能發(fā)生變化，如變?yōu)椤?1”、“+2”、“-2”等。
例題4：(2006年北京戶口京外大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生考試第2題)3，2，8，12，28，( )
A.15 B.32 C.27 D.52
【答案】：D。
【解析】：在近幾年的各類公務(wù)員考試中，這種類型的運(yùn)算遞推規(guī)律逐漸增多起來。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
28+2×12=52
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是在相加的兩項(xiàng)中添加了系數(shù)。有時(shí)候添加的系數(shù)是2、3等整數(shù)，可以添加在第一項(xiàng)上，也可以添加在第二項(xiàng)上。有時(shí)候添加的系數(shù)較為復(fù)雜，甚至出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)等情況。
例題5：(2005年江蘇省公務(wù)員考試第3題)12，4，8，6，7，( )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
【答案】：B。
【解析】：從選項(xiàng)中看來，B選項(xiàng)較為特殊，唯有這個(gè)選項(xiàng)是一個(gè)小數(shù)，由此可以猜得這個(gè)數(shù)列的運(yùn)算規(guī)律之中很可能包含“除以2”這個(gè)運(yùn)算。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
1/2(6+7)=6.5
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是兩項(xiàng)相加之后添加了1/2的系數(shù)。
例題6：(2002年國家公務(wù)員考試B類第4題)25，15，10，5，5，( )
A.10 B.5 C.0 D.-5
【答案】：C。
【解析】：這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
5-5=0
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計(jì)算符號(hào)“+”變?yōu)榱恕?”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算。但這類數(shù)列可以從后向前觀察，發(fā)現(xiàn)仍然類似于兩兩相加得到第三項(xiàng)的規(guī)律。
例題7：(2006年廣東省公務(wù)員考試第3題)1269，999，900，330，( )
A.190 B.270 C.299 D.1900
【答案】：D。
【解析】：在與眾多考生交流中，專家經(jīng)常提及這道題，這道題的運(yùn)算規(guī)律很難發(fā)現(xiàn)。在沒有思路的情況下，專家建議各位考生仍然回到“數(shù)列的三個(gè)性質(zhì)”當(dāng)中來尋找突破口。從增減性看來，這個(gè)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，但是遞減快慢沒有規(guī)律;從整除性看來，數(shù)列存在規(guī)律，所有數(shù)字都能夠被3整除。再看選項(xiàng)當(dāng)中，只有B選項(xiàng)能夠被3整除，由此猜測這道題的答案為B選項(xiàng)270。但是細(xì)心的考生也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，以往所有符合“整除性”規(guī)律的試題，將“猜”出的答案帶入原數(shù)列當(dāng)中通過逐項(xiàng)作差，總能得到簡單的等差或者等比數(shù)列。然而這道題將270帶入原數(shù)列當(dāng)中之后，并不能夠通過逐項(xiàng)作差得到有規(guī)律的數(shù)列。這道題是目前為止一道考過的真題中既不符合增減性又不符合整除性的數(shù)列推理試題。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
(900-330)10/3=1900
回過頭來思考這道試題，發(fā)現(xiàn)出題人并沒有給出這道試題的關(guān)鍵信息，如果1269之前還有一項(xiàng)則會(huì)出現(xiàn)小數(shù)，這樣考生在推理運(yùn)算遞推規(guī)律時(shí)就有依可循。
有些考生也許對于“增減性”、“整除性”來判斷選項(xiàng)這個(gè)方法產(chǎn)生了懷疑。專家以為，鑒于該種方法對絕大多數(shù)試題適用，而且類似本道例題的如此特殊的運(yùn)算規(guī)律很少見，因此希望考生在實(shí)際考試當(dāng)中能夠仍然大膽的利用“整除性”來快速求解，贏得時(shí)間。
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計(jì)算符號(hào)“+”變?yōu)榱恕?”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時(shí)加入了10/3的系數(shù)。
例題8：(2007年國家公務(wù)員考試第42題)1，3，4，1，9，( )
A.5 B.11 C.14 D.64
【答案】：D。
【解析】：有關(guān)專家反復(fù)強(qiáng)調(diào)，在進(jìn)行數(shù)字推理練習(xí)時(shí)，一定要對六則運(yùn)算關(guān)系非常熟悉，養(yǎng)成良好的數(shù)字敏感度。如果發(fā)覺這個(gè)數(shù)列的第三項(xiàng)4、第四項(xiàng)1、第五項(xiàng)9都是完全平方數(shù)，則運(yùn)算規(guī)律不難推出。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
(9-1)2=64
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計(jì)算符號(hào)“+”變?yōu)榱恕?”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時(shí)添加了平方運(yùn)算。
(一)遞推數(shù)列的“鼻祖”
1，1，2，3，5，8，13，21……
寫出這個(gè)數(shù)列之后，有不少考生似曾相識(shí)。其中有一些考生知道，這個(gè)數(shù)列被稱為“斐波那契(Febonacci，原名Leonardo，12-13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家)數(shù)列”或者“兔子數(shù)列”。這些考生中還有一些人知道這個(gè)數(shù)列的遞推規(guī)律為：從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它之前兩項(xiàng)的和，用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為
這個(gè)遞推規(guī)律是整個(gè)數(shù)列推理中遞推數(shù)列的基礎(chǔ)所在。在公務(wù)員考試中，曾經(jīng)出現(xiàn)過直接應(yīng)用這個(gè)規(guī)律遞推的數(shù)列。
例題1：(2002年國家公務(wù)員考試A類第4題)1，3，4，7，11，( )
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】：C。
【解析】：這道題可以直接應(yīng)用斐波那契數(shù)列的遞推規(guī)律，即
因此所求項(xiàng)為
7+11=18
(二)遞推規(guī)律的多種變式
例題2：(2006年北京市大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生考試第1題)6，7，3，0，3，3，6，9，5，( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】：A。
【解析】：這是很別致的一道試題。從形式上看，這個(gè)數(shù)列很特殊，不僅給出的已知項(xiàng)達(dá)到了9項(xiàng)之多，而且每一項(xiàng)都是一位數(shù)字，由此可以猜到這個(gè)數(shù)列的運(yùn)算規(guī)律。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
取“ ”的尾數(shù)
由此可知所求項(xiàng)為
取“9+5=14”的尾數(shù)，即4
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將兩項(xiàng)相加之和變?yōu)榱巳∥矓?shù)。
例題3：(2005年國家公務(wù)員考試二卷第30題，2006年廣東省公務(wù)員考試第5題)1，2，2，3，4，6，( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】：C。
【解析】：初看這道題容易將題目錯(cuò)看為一個(gè)簡單的等差數(shù)列1，2，3，4，5，6……正是因?yàn)榇嬖谶@樣“先入為主”的觀點(diǎn)，使得這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律被隱藏起來。其實(shí)本題的運(yùn)算遞推規(guī)律很簡單。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
4+6-1=9
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是在兩項(xiàng)相加的基礎(chǔ)之上添加了常數(shù)項(xiàng)，在本題中常數(shù)項(xiàng)為“-1”，在其余題目當(dāng)中，常數(shù)項(xiàng)還可能發(fā)生變化，如變?yōu)椤?1”、“+2”、“-2”等。
例題4：(2006年北京戶口京外大學(xué)應(yīng)屆畢業(yè)生考試第2題)3，2，8，12，28，( )
A.15 B.32 C.27 D.52
【答案】：D。
【解析】：在近幾年的各類公務(wù)員考試中，這種類型的運(yùn)算遞推規(guī)律逐漸增多起來。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
28+2×12=52
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是在相加的兩項(xiàng)中添加了系數(shù)。有時(shí)候添加的系數(shù)是2、3等整數(shù)，可以添加在第一項(xiàng)上，也可以添加在第二項(xiàng)上。有時(shí)候添加的系數(shù)較為復(fù)雜，甚至出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)等情況。
例題5：(2005年江蘇省公務(wù)員考試第3題)12，4，8，6，7，( )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
【答案】：B。
【解析】：從選項(xiàng)中看來，B選項(xiàng)較為特殊，唯有這個(gè)選項(xiàng)是一個(gè)小數(shù)，由此可以猜得這個(gè)數(shù)列的運(yùn)算規(guī)律之中很可能包含“除以2”這個(gè)運(yùn)算。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
1/2(6+7)=6.5
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是兩項(xiàng)相加之后添加了1/2的系數(shù)。
例題6：(2002年國家公務(wù)員考試B類第4題)25，15，10，5，5，( )
A.10 B.5 C.0 D.-5
【答案】：C。
【解析】：這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
5-5=0
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計(jì)算符號(hào)“+”變?yōu)榱恕?”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算。但這類數(shù)列可以從后向前觀察，發(fā)現(xiàn)仍然類似于兩兩相加得到第三項(xiàng)的規(guī)律。
例題7：(2006年廣東省公務(wù)員考試第3題)1269，999，900，330，( )
A.190 B.270 C.299 D.1900
【答案】：D。
【解析】：在與眾多考生交流中，專家經(jīng)常提及這道題，這道題的運(yùn)算規(guī)律很難發(fā)現(xiàn)。在沒有思路的情況下，專家建議各位考生仍然回到“數(shù)列的三個(gè)性質(zhì)”當(dāng)中來尋找突破口。從增減性看來，這個(gè)數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，但是遞減快慢沒有規(guī)律;從整除性看來，數(shù)列存在規(guī)律，所有數(shù)字都能夠被3整除。再看選項(xiàng)當(dāng)中，只有B選項(xiàng)能夠被3整除，由此猜測這道題的答案為B選項(xiàng)270。但是細(xì)心的考生也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，以往所有符合“整除性”規(guī)律的試題，將“猜”出的答案帶入原數(shù)列當(dāng)中通過逐項(xiàng)作差，總能得到簡單的等差或者等比數(shù)列。然而這道題將270帶入原數(shù)列當(dāng)中之后，并不能夠通過逐項(xiàng)作差得到有規(guī)律的數(shù)列。這道題是目前為止一道考過的真題中既不符合增減性又不符合整除性的數(shù)列推理試題。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
(900-330)10/3=1900
回過頭來思考這道試題，發(fā)現(xiàn)出題人并沒有給出這道試題的關(guān)鍵信息，如果1269之前還有一項(xiàng)則會(huì)出現(xiàn)小數(shù)，這樣考生在推理運(yùn)算遞推規(guī)律時(shí)就有依可循。
有些考生也許對于“增減性”、“整除性”來判斷選項(xiàng)這個(gè)方法產(chǎn)生了懷疑。專家以為，鑒于該種方法對絕大多數(shù)試題適用，而且類似本道例題的如此特殊的運(yùn)算規(guī)律很少見，因此希望考生在實(shí)際考試當(dāng)中能夠仍然大膽的利用“整除性”來快速求解，贏得時(shí)間。
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計(jì)算符號(hào)“+”變?yōu)榱恕?”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時(shí)加入了10/3的系數(shù)。
例題8：(2007年國家公務(wù)員考試第42題)1，3，4，1，9，( )
A.5 B.11 C.14 D.64
【答案】：D。
【解析】：有關(guān)專家反復(fù)強(qiáng)調(diào)，在進(jìn)行數(shù)字推理練習(xí)時(shí)，一定要對六則運(yùn)算關(guān)系非常熟悉，養(yǎng)成良好的數(shù)字敏感度。如果發(fā)覺這個(gè)數(shù)列的第三項(xiàng)4、第四項(xiàng)1、第五項(xiàng)9都是完全平方數(shù)，則運(yùn)算規(guī)律不難推出。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始存在運(yùn)算遞推規(guī)律
由此可知所求項(xiàng)為
(9-1)2=64
這道題的運(yùn)算遞推規(guī)律是將原運(yùn)算遞推的計(jì)算符號(hào)“+”變?yōu)榱恕?”，由加法運(yùn)算變?yōu)榱藴p法運(yùn)算，同時(shí)添加了平方運(yùn)算。