做對(duì)做錯(cuò)問(wèn)題與簡(jiǎn)單不定方程
公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分經(jīng)常出現(xiàn)做對(duì)做錯(cuò)問(wèn)題，題干往往是如下字眼：考試中，做對(duì)一題得幾分，做錯(cuò)一題扣幾分，給出最后得分，要求做對(duì)或做錯(cuò)多少題，有時(shí)是生產(chǎn)零件之類的，意思大致如此。這種題目歸納起來(lái)有兩種，第一種是設(shè)未知數(shù)，依題意可列出與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的互不干擾的幾個(gè)方程，直接把所求解出，這類題多數(shù)考生都很熟悉，此處不在贅述。第二種也是設(shè)未知數(shù)，但題中已知的等量關(guān)系不足以解出所求的未知量，通常出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程的情景。此時(shí)就需要運(yùn)用題中的不等關(guān)系或未知量的限制條件結(jié)合等量關(guān)系解出所求。這就涉及到下面要講到的簡(jiǎn)單不定方程及其解法。希望能給讀者一定的幫助。
所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。簡(jiǎn)單不定方程的未知數(shù)次數(shù)為一，公考中多涉及二元一次不定方程。下面通過(guò)幾個(gè)例子簡(jiǎn)單說(shuō)明簡(jiǎn)單不定方程的解法。
例1：小明參加考試，一共有20道題，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題扣2分，不答不得分也不扣分。小明最后得分為56，問(wèn)小明有多少題沒(méi)有作答？這是一個(gè)典型的不定方程問(wèn)題，題中只有兩個(gè)等量關(guān)系，即總題數(shù)和總得分，但有三個(gè)未知數(shù)。由于最后所求的“沒(méi)有作答的題數(shù)”不涉及分?jǐn)?shù)，故先可設(shè)答對(duì)的題目數(shù)為x,答錯(cuò)的題目數(shù)為y,則5x-2y=56,這時(shí)需要結(jié)合題中的另一個(gè)等量關(guān)系，相對(duì)x,y與就是一個(gè)不等關(guān)系，即x+y<=20。這種情況下通常是根據(jù)等式消元，根據(jù)不等式解出其中一個(gè)未知數(shù)的范圍。此題中由等式可得x=(56+2y)/5 ……（1）式,代入有： 解得 ……（2）式，由于x為非負(fù)整數(shù)，由（1）式知2y的尾數(shù)必為4，這樣才能整除分子5。結(jié)合（2）式可知y有取值2，結(jié)合等式可知x的取值為12，從總數(shù)20中減去x和y就得到?jīng)]答的題目共有6道。
上面的例子給出了簡(jiǎn)單不定方程的一種解法，總結(jié)起來(lái)就是等式與不等式結(jié)合并利用未知數(shù)的限制條件解出所求。公務(wù)員考試中數(shù)字運(yùn)算都為選擇題，考生不必有如此細(xì)致的分析，只須根據(jù)其中的等量關(guān)系運(yùn)用帶入法將各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)選出符合題意的即可。下面再看一個(gè)例子：
哥哥和弟弟養(yǎng)了N只羊，全部賣出后發(fā)現(xiàn)每只羊恰好賺了N元，哥哥和弟弟準(zhǔn)備平分這些錢。哥哥先拿走10元，接著弟弟拿走10元，哥哥又取走10元，弟弟接著取走10元……，最后哥哥又取走10元，發(fā)現(xiàn)剩下的不夠10元了，問(wèn)哥哥應(yīng)給弟弟幾元才能保證兩人最后的錢數(shù)目相等？
觀察題目不難發(fā)現(xiàn)題中的等量關(guān)系并不多，列出方程解出兩人共賺了多少錢的方法不可行的。但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有很多隱含的條件。（1）總錢數(shù)是正整數(shù)，且為偶數(shù)，這樣兩人才能按題中的方式平分錢。總錢數(shù)為，這是一個(gè)完全平方數(shù)。（2）題中所描述的分錢方式表明一個(gè)回合取走20元，最后一個(gè)回合不足20元，但比10元要多。也就是總錢數(shù)可以表示為20m+n，其中m為正整數(shù)，n為大于10到小于20的整數(shù)。（3）要確定哥哥最后應(yīng)給弟弟幾元實(shí)質(zhì)是確定總錢數(shù)的尾數(shù)。
明確了以上三點(diǎn)，可以有一個(gè)較為清晰的思路解決這個(gè)題目。設(shè)總錢數(shù)==20m+n，其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)。由（1）為偶數(shù)平方數(shù)，其尾數(shù)必為0，6，4；由（2）可知的尾數(shù)必不為0。所以的尾數(shù)必為4或6，也就是的尾數(shù)必為2，8或6。以下分情況討論。
（1）當(dāng)N的尾數(shù)為2時(shí)，考慮N為兩位數(shù)的情況，則N可表示為10a+2,則，顯然前兩項(xiàng)能整除20，但4不在10與20之間，即此時(shí)不能表示成20m+n（其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)）的形式，故N的尾數(shù)為2的情況不能成立。
（2）當(dāng)N的尾數(shù)為8時(shí)，考慮N為兩位數(shù)的情況，則N可表示為10a+8,則，顯然4不在10與20之間，即此時(shí)不能表示成20m+n（其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)）的形式，故N的尾數(shù)為8的情況不能成立。
（3）當(dāng)N的尾數(shù)為6時(shí)，考慮N為兩位數(shù)的情況，則N可表示為10a+6,則，顯然此時(shí)能表示成20m+n（其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)）的形式，故N的尾數(shù)為6的情況成立。
以上三種情況分析的是N為兩位數(shù)的情況，事實(shí)上當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，可直接檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)N的尾數(shù)只能為6；當(dāng)N為多位數(shù)時(shí)改變N的表示方法，同樣的方法亦可得出只有N的尾數(shù)為6的情況成立。
綜上所述，N的尾數(shù)只能為6，所以的尾數(shù)為6，即在哥哥最后一次取錢時(shí)，還有16元，哥哥取走10元后還剩6元，哥哥應(yīng)給弟弟2元才能使兩人最后的錢數(shù)相等。
上面的題目在等量關(guān)系不多的情況下充分利用題目中隱含條件的利用，通過(guò)分類討論分析簡(jiǎn)單不定方程達(dá)到了解題的目的。
公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分經(jīng)常出現(xiàn)做對(duì)做錯(cuò)問(wèn)題，題干往往是如下字眼：考試中，做對(duì)一題得幾分，做錯(cuò)一題扣幾分，給出最后得分，要求做對(duì)或做錯(cuò)多少題，有時(shí)是生產(chǎn)零件之類的，意思大致如此。這種題目歸納起來(lái)有兩種，第一種是設(shè)未知數(shù)，依題意可列出與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的互不干擾的幾個(gè)方程，直接把所求解出，這類題多數(shù)考生都很熟悉，此處不在贅述。第二種也是設(shè)未知數(shù)，但題中已知的等量關(guān)系不足以解出所求的未知量，通常出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程的情景。此時(shí)就需要運(yùn)用題中的不等關(guān)系或未知量的限制條件結(jié)合等量關(guān)系解出所求。這就涉及到下面要講到的簡(jiǎn)單不定方程及其解法。希望能給讀者一定的幫助。
所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。簡(jiǎn)單不定方程的未知數(shù)次數(shù)為一，公考中多涉及二元一次不定方程。下面通過(guò)幾個(gè)例子簡(jiǎn)單說(shuō)明簡(jiǎn)單不定方程的解法。
例1：小明參加考試，一共有20道題，答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題扣2分，不答不得分也不扣分。小明最后得分為56，問(wèn)小明有多少題沒(méi)有作答？這是一個(gè)典型的不定方程問(wèn)題，題中只有兩個(gè)等量關(guān)系，即總題數(shù)和總得分，但有三個(gè)未知數(shù)。由于最后所求的“沒(méi)有作答的題數(shù)”不涉及分?jǐn)?shù)，故先可設(shè)答對(duì)的題目數(shù)為x,答錯(cuò)的題目數(shù)為y,則5x-2y=56,這時(shí)需要結(jié)合題中的另一個(gè)等量關(guān)系，相對(duì)x,y與就是一個(gè)不等關(guān)系，即x+y<=20。這種情況下通常是根據(jù)等式消元，根據(jù)不等式解出其中一個(gè)未知數(shù)的范圍。此題中由等式可得x=(56+2y)/5 ……（1）式,代入有： 解得 ……（2）式，由于x為非負(fù)整數(shù)，由（1）式知2y的尾數(shù)必為4，這樣才能整除分子5。結(jié)合（2）式可知y有取值2，結(jié)合等式可知x的取值為12，從總數(shù)20中減去x和y就得到?jīng)]答的題目共有6道。
上面的例子給出了簡(jiǎn)單不定方程的一種解法，總結(jié)起來(lái)就是等式與不等式結(jié)合并利用未知數(shù)的限制條件解出所求。公務(wù)員考試中數(shù)字運(yùn)算都為選擇題，考生不必有如此細(xì)致的分析，只須根據(jù)其中的等量關(guān)系運(yùn)用帶入法將各個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)選出符合題意的即可。下面再看一個(gè)例子：
哥哥和弟弟養(yǎng)了N只羊，全部賣出后發(fā)現(xiàn)每只羊恰好賺了N元，哥哥和弟弟準(zhǔn)備平分這些錢。哥哥先拿走10元，接著弟弟拿走10元，哥哥又取走10元，弟弟接著取走10元……，最后哥哥又取走10元，發(fā)現(xiàn)剩下的不夠10元了，問(wèn)哥哥應(yīng)給弟弟幾元才能保證兩人最后的錢數(shù)目相等？
觀察題目不難發(fā)現(xiàn)題中的等量關(guān)系并不多，列出方程解出兩人共賺了多少錢的方法不可行的。但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有很多隱含的條件。（1）總錢數(shù)是正整數(shù)，且為偶數(shù)，這樣兩人才能按題中的方式平分錢。總錢數(shù)為，這是一個(gè)完全平方數(shù)。（2）題中所描述的分錢方式表明一個(gè)回合取走20元，最后一個(gè)回合不足20元，但比10元要多。也就是總錢數(shù)可以表示為20m+n，其中m為正整數(shù)，n為大于10到小于20的整數(shù)。（3）要確定哥哥最后應(yīng)給弟弟幾元實(shí)質(zhì)是確定總錢數(shù)的尾數(shù)。
明確了以上三點(diǎn)，可以有一個(gè)較為清晰的思路解決這個(gè)題目。設(shè)總錢數(shù)==20m+n，其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)。由（1）為偶數(shù)平方數(shù)，其尾數(shù)必為0，6，4；由（2）可知的尾數(shù)必不為0。所以的尾數(shù)必為4或6，也就是的尾數(shù)必為2，8或6。以下分情況討論。
（1）當(dāng)N的尾數(shù)為2時(shí)，考慮N為兩位數(shù)的情況，則N可表示為10a+2,則，顯然前兩項(xiàng)能整除20，但4不在10與20之間，即此時(shí)不能表示成20m+n（其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)）的形式，故N的尾數(shù)為2的情況不能成立。
（2）當(dāng)N的尾數(shù)為8時(shí)，考慮N為兩位數(shù)的情況，則N可表示為10a+8,則，顯然4不在10與20之間，即此時(shí)不能表示成20m+n（其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)）的形式，故N的尾數(shù)為8的情況不能成立。
（3）當(dāng)N的尾數(shù)為6時(shí)，考慮N為兩位數(shù)的情況，則N可表示為10a+6,則，顯然此時(shí)能表示成20m+n（其中m為正整數(shù)，n為大于0到小于10的整數(shù)）的形式，故N的尾數(shù)為6的情況成立。
以上三種情況分析的是N為兩位數(shù)的情況，事實(shí)上當(dāng)N為一位數(shù)時(shí)，可直接檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)N的尾數(shù)只能為6；當(dāng)N為多位數(shù)時(shí)改變N的表示方法，同樣的方法亦可得出只有N的尾數(shù)為6的情況成立。
綜上所述，N的尾數(shù)只能為6，所以的尾數(shù)為6，即在哥哥最后一次取錢時(shí)，還有16元，哥哥取走10元后還剩6元，哥哥應(yīng)給弟弟2元才能使兩人最后的錢數(shù)相等。
上面的題目在等量關(guān)系不多的情況下充分利用題目中隱含條件的利用，通過(guò)分類討論分析簡(jiǎn)單不定方程達(dá)到了解題的目的。