一道極難理解整數(shù)拆分問題的分析
近日在很多論壇上看見下面的題目：
將450分成若干個連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種分法？
在2008年中公教育的國家版的教材中也出現(xiàn)了這道題，給出了下面的解析：“，顯然450的所有奇約數(shù)為1，3，5，9，15，25，45，75，225，奇約數(shù)的總個數(shù)為9，所以拆分的方法有9-1=8種”
很多學員對解析不甚理解。以下從另一個角度來分析這個問題，給出這個題目較為詳細的解法，希望能夠為廣大學員提供一點幫助。
首先題中只說是若干個自然數(shù)，所以可以分奇數(shù)個和偶數(shù)個來討論。
（1）設(shè)（奇數(shù)）個連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的數(shù)為，根據(jù)題意可以得到下面的條件組：；（最小的那個數(shù)不小于1才能保證都是自然數(shù)）。符合以上兩個條件的奇數(shù)有5個，分別是3，5，9，15，25（為1 的情況舍去，因為此時只有一個數(shù)450，算不上連續(xù)自然數(shù)的和），寫出來就是：
149+150+151=450；88+89+90+91+92=450，46+47+……+54=450；53+54+……+67=450
6+7+……+30=450
（2）設(shè)（偶數(shù)）個連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的兩個數(shù)為，同（1）可以得到以下兩個式子：，。，考慮900的偶約數(shù)并用不等式加以限制，可以等到符合的有3個，分別是4，12，20。寫出來就是：111+112+113+114=450，32+33+……+43=450，13+14+……+32=450
綜合（1）、（2）可知，存在3個，或4個，或5個，或9個，或12個，或15個，或20個，或25個連續(xù)的自然數(shù)的和為450。也就是拆分的辦法是8種。
怎么理解教材上的解析呢？其實教材上的解析就是上述解法的一個精煉的敘述！
我們來看上面的拆分方法：
149+150+151=450=，也就是中間數(shù)150的3倍。
88+89+90+91+92=450=，也就是中間數(shù)90的5倍。
46+47+……+54=450=，也就是中間數(shù)50的9倍。
53+54+……+67=450=，也就是中間數(shù)60的15倍。
6+7+……+30=450=，也就是中間數(shù)18的25倍。
以上是運用求奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過程。
13+14+……+32=450=，每兩個一組，每組的和是45，共有10組。
32+33+……+43=450=，每兩個一組，每組的和是75，共有6組。
111+112+113+114=450=，每兩個一組，每組的和是225，共有2組。
以上是運用求偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過程。
通過以上分析，我們可以知道書中的解析是給出了這8種分法的求和算法。也就是說450 的每一個大于1的奇約數(shù)都對應著450 的一種符合題意的拆分方法，因此450的大于1的奇約數(shù)的個數(shù)就是題中所求
近日在很多論壇上看見下面的題目：
將450分成若干個連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種分法？
在2008年中公教育的國家版的教材中也出現(xiàn)了這道題，給出了下面的解析：“，顯然450的所有奇約數(shù)為1，3，5，9，15，25，45，75，225，奇約數(shù)的總個數(shù)為9，所以拆分的方法有9-1=8種”
很多學員對解析不甚理解。以下從另一個角度來分析這個問題，給出這個題目較為詳細的解法，希望能夠為廣大學員提供一點幫助。
首先題中只說是若干個自然數(shù)，所以可以分奇數(shù)個和偶數(shù)個來討論。
（1）設(shè)（奇數(shù)）個連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的數(shù)為，根據(jù)題意可以得到下面的條件組：；（最小的那個數(shù)不小于1才能保證都是自然數(shù)）。符合以上兩個條件的奇數(shù)有5個，分別是3，5，9，15，25（為1 的情況舍去，因為此時只有一個數(shù)450，算不上連續(xù)自然數(shù)的和），寫出來就是：
149+150+151=450；88+89+90+91+92=450，46+47+……+54=450；53+54+……+67=450
6+7+……+30=450
（2）設(shè)（偶數(shù)）個連續(xù)自然數(shù)的和為450，且設(shè)中間的兩個數(shù)為，同（1）可以得到以下兩個式子：，。，考慮900的偶約數(shù)并用不等式加以限制，可以等到符合的有3個，分別是4，12，20。寫出來就是：111+112+113+114=450，32+33+……+43=450，13+14+……+32=450
綜合（1）、（2）可知，存在3個，或4個，或5個，或9個，或12個，或15個，或20個，或25個連續(xù)的自然數(shù)的和為450。也就是拆分的辦法是8種。
怎么理解教材上的解析呢？其實教材上的解析就是上述解法的一個精煉的敘述！
我們來看上面的拆分方法：
149+150+151=450=，也就是中間數(shù)150的3倍。
88+89+90+91+92=450=，也就是中間數(shù)90的5倍。
46+47+……+54=450=，也就是中間數(shù)50的9倍。
53+54+……+67=450=，也就是中間數(shù)60的15倍。
6+7+……+30=450=，也就是中間數(shù)18的25倍。
以上是運用求奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過程。
13+14+……+32=450=，每兩個一組，每組的和是45，共有10組。
32+33+……+43=450=，每兩個一組，每組的和是75，共有6組。
111+112+113+114=450=，每兩個一組，每組的和是225，共有2組。
以上是運用求偶數(shù)個連續(xù)自然數(shù)和的方法求和的過程。
通過以上分析，我們可以知道書中的解析是給出了這8種分法的求和算法。也就是說450 的每一個大于1的奇約數(shù)都對應著450 的一種符合題意的拆分方法，因此450的大于1的奇約數(shù)的個數(shù)就是題中所求