傅里葉級數(shù)
Fourier series
一種特殊的三角級數(shù)。法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。
傅里葉級數(shù)的公式
給定一個周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級數(shù)：
x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j為虛數(shù)單位）（1）
其中，a_k可以按下式計算：
a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2）
注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}是周期為T的函數(shù)，故k 取不同值時的周期信號具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個共同周期T）。k=0時，（1）式中對應(yīng)的這一項稱為直流分量，k=\pm 1時具有基波頻率\omega_0=\frac{2\pi}{T}，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
傅里葉級數(shù)的收斂性
傅里葉級數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：
在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對可積；
在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個值或最小值；
在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和X(t)，那么X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。
三角函數(shù)族的正交性
所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：
\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;
\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;
\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
奇函數(shù)和偶函數(shù)
奇函數(shù)f_o(x)可以表示為正弦級數(shù)，而偶函數(shù)f_e(x)則可以表示成余弦級數(shù)
f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);
f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx); 只要注意到歐拉公式: e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級數(shù)的公式中導(dǎo)出。
廣義傅里葉級數(shù)
任何正交函數(shù)系\{ \phi(x)\}，如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)只具有有限個第一類間斷點，那么如果f(x)滿足封閉性方程：
\int _{a}^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k} (4)，
那么級數(shù)\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x) (5) 必然收斂于f(x)，其中:
c_n=\int _{a}^f(x)\phi_n(x)\,dx (6)。
事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：
\int _{a}^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}成立，這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因為對于任意的單位正交基\{e_i\}^{N}_{i=1}，向量x在e_i上的投影總為 。
Fourier series
一種特殊的三角級數(shù)。法國數(shù)學家J.-B.-J.傅里葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在中國，程民德最早系統(tǒng)研究多元三角級數(shù)與多元傅里葉級數(shù)。他首先證明多元三角級數(shù)球形和的性定理，并揭示了多元傅里葉級數(shù)的里斯 - 博赫納球形平均的許多特性。傅里葉級數(shù)曾極大地推動了偏微分方程理論的發(fā)展。在數(shù)學物理以及工程中都具有重要的應(yīng)用。
傅里葉級數(shù)的公式
給定一個周期為T的函數(shù)x(t)，那么它可以表示為無窮級數(shù)：
x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j為虛數(shù)單位）（1）
其中，a_k可以按下式計算：
a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2）
注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}是周期為T的函數(shù)，故k 取不同值時的周期信號具有諧波關(guān)系（即它們都具有一個共同周期T）。k=0時，（1）式中對應(yīng)的這一項稱為直流分量，k=\pm 1時具有基波頻率\omega_0=\frac{2\pi}{T}，稱為一次諧波或基波，類似的有二次諧波，三次諧波等等。
傅里葉級數(shù)的收斂性
傅里葉級數(shù)的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函數(shù)表示成的傅里葉級數(shù)都收斂。狄利赫里條件如下：
在任何周期內(nèi)，x(t)須絕對可積；
在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個值或最小值；
在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。
吉布斯現(xiàn)象：在x(t)的不可導(dǎo)點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和X(t)，那么X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。
三角函數(shù)族的正交性
所謂的兩個不同向量正交是指它們的內(nèi)積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關(guān)性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數(shù)學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線形無關(guān)的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線形表出。三角函數(shù)族的正交性用公式表示出來就是：
\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;
\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)
\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;
\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
奇函數(shù)和偶函數(shù)
奇函數(shù)f_o(x)可以表示為正弦級數(shù)，而偶函數(shù)f_e(x)則可以表示成余弦級數(shù)
f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);
f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx); 只要注意到歐拉公式: e^{j\theta}= \sin \theta+j\cos \theta，這些公式便可以很容易從上面傅里葉級數(shù)的公式中導(dǎo)出。
廣義傅里葉級數(shù)
任何正交函數(shù)系\{ \phi(x)\}，如果定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)只具有有限個第一類間斷點，那么如果f(x)滿足封閉性方程：
\int _{a}^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k} (4)，
那么級數(shù)\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x) (5) 必然收斂于f(x)，其中:
c_n=\int _{a}^f(x)\phi_n(x)\,dx (6)。
事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：
\int _{a}^f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}成立，這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因為對于任意的單位正交基\{e_i\}^{N}_{i=1}，向量x在e_i上的投影總為 。