中考數(shù)學(xué):要在作業(yè)題里發(fā)現(xiàn)規(guī)律

字號:

南開翔宇學(xué)校
    楊濱
    進入初三,同學(xué)們都感到作業(yè)量增加,知識難度增大,但在數(shù)量龐大的作業(yè)題中,如何將知識分類細化,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,查找漏洞,是能否在緊張的學(xué)習(xí)中取勝的關(guān)鍵之一。因此,本次把同學(xué)們在作業(yè)里出現(xiàn)的易混淆、易出錯的幾道例題進行分析比較,和同學(xué)們共同探討。
    例1
    如圖所示,AD、DC、CB分別切半圓⊙O于點A、E、B,且AD=3cm,BC=5cm,求直徑AB的長度。
    解:過點D作DF⊥CB于點F
    ∵AD、CB是切線
    ∴AD⊥AB,CB⊥AB
    ∴四邊形ABFD是矩形
    ∴DF=AB,AD=FB ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm
    又∵AD、DC、CB是⊙O的切線,由切線長定理可知
    ∴AD=DE,CE=CB ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm
    ∴在Rt△DCF中,DF=■=■=2■cm
    ∴AB=2■cm
    本題是典型的運用切線長定理的例題,其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和,再結(jié)合作高這種輔助線的做法,最后運用勾股定理求出直徑。
    例2
    如圖所示,CD切半圓⊙O于點E,AB為直徑,AD⊥CD,BC⊥CD且AD=3cm,BC=5cm,求CD的長度。
    解:連接OE,過點A作AF⊥CB于點F
    ∵AD⊥CD,BC⊥CD
    ∴四邊形AFCD是矩形 ∴DC=AF,AD=CF
    ∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm
    又∵CD切半圓⊙O于點E ∴OE⊥CD于E
    ∵AD⊥CD,BC⊥CD
    ∴AD∥OE∥CB,且AB為直徑,O為圓心
    ∴點E是DC的中點
    ∴線段OE是梯形ABCD的中位線
    ∴OE=■(AD+BC)=4cm
    ∴AB=2OE=8cm
    ∴在Rt△ABF中,AF=■=■=2■cm
    在做完例1后,同學(xué)們會認為例2和例1圖形很類似,是同類題,但實際差別較大。例2中只有一條圓的切線,所以不符合切線長定理的條件,因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和,而是運用了梯形中位線的知識求出圓的半徑,再用勾股定理計算CD的長。
    例3
    相交兩圓的半徑為■和■,公共弦為4,求這兩個圓的圓心距。
    解:本題分兩種情況
    第一種情況,公共弦AB與連心線O1O2交于點C(即O1O2=O1C+O2C)
    ∵O1O2垂直平分弦AB  ∴AC=2
    ∴在Rt△AO1C中,O1C=■=■=■
    ∴在Rt△AO2C中,O2C=■=■=1
    ∴O1O2=O1C+O2C=■+1