南開翔宇學(xué)校
楊濱
進入初三，同學(xué)們都感到作業(yè)量增加，知識難度增大，但在數(shù)量龐大的作業(yè)題中，如何將知識分類細化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，查找漏洞，是能否在緊張的學(xué)習(xí)中取勝的關(guān)鍵之一。因此，本次把同學(xué)們在作業(yè)里出現(xiàn)的易混淆、易出錯的幾道例題進行分析比較，和同學(xué)們共同探討。
例1
如圖所示，AD、DC、CB分別切半圓⊙O于點A、E、B，且AD=3cm，BC=5cm，求直徑AB的長度。
解：過點D作DF⊥CB于點F
∵AD、CB是切線
∴AD⊥AB，CB⊥AB
∴四邊形ABFD是矩形
∴DF=AB，AD=FB ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm
又∵AD、DC、CB是⊙O的切線，由切線長定理可知
∴AD=DE，CE=CB ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm
∴在Rt△DCF中，DF=■=■=2■cm
∴AB=2■cm
本題是典型的運用切線長定理的例題，其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和，再結(jié)合作高這種輔助線的做法，最后運用勾股定理求出直徑。
例2
如圖所示，CD切半圓⊙O于點E，AB為直徑，AD⊥CD，BC⊥CD且AD=3cm，BC=5cm，求CD的長度。
解：連接OE，過點A作AF⊥CB于點F
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴四邊形AFCD是矩形 ∴DC=AF，AD=CF
∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm
又∵CD切半圓⊙O于點E ∴OE⊥CD于E
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴AD∥OE∥CB，且AB為直徑，O為圓心
∴點E是DC的中點
∴線段OE是梯形ABCD的中位線
∴OE=■(AD+BC)=4cm
∴AB=2OE=8cm
∴在Rt△ABF中，AF=■=■=2■cm
在做完例1后，同學(xué)們會認為例2和例1圖形很類似，是同類題，但實際差別較大。例2中只有一條圓的切線，所以不符合切線長定理的條件，因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和，而是運用了梯形中位線的知識求出圓的半徑，再用勾股定理計算CD的長。
例3
相交兩圓的半徑為■和■，公共弦為4，求這兩個圓的圓心距。
解：本題分兩種情況
第一種情況，公共弦AB與連心線O1O2交于點C(即O1O2=O1C+O2C)
∵O1O2垂直平分弦AB ∴AC=2
∴在Rt△AO1C中，O1C=■=■=■
∴在Rt△AO2C中，O2C=■=■=1
∴O1O2=O1C+O2C=■+1
楊濱
進入初三，同學(xué)們都感到作業(yè)量增加，知識難度增大，但在數(shù)量龐大的作業(yè)題中，如何將知識分類細化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，查找漏洞，是能否在緊張的學(xué)習(xí)中取勝的關(guān)鍵之一。因此，本次把同學(xué)們在作業(yè)里出現(xiàn)的易混淆、易出錯的幾道例題進行分析比較，和同學(xué)們共同探討。
例1
如圖所示，AD、DC、CB分別切半圓⊙O于點A、E、B，且AD=3cm，BC=5cm，求直徑AB的長度。
解：過點D作DF⊥CB于點F
∵AD、CB是切線
∴AD⊥AB，CB⊥AB
∴四邊形ABFD是矩形
∴DF=AB，AD=FB ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm
又∵AD、DC、CB是⊙O的切線，由切線長定理可知
∴AD=DE，CE=CB ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm
∴在Rt△DCF中，DF=■=■=2■cm
∴AB=2■cm
本題是典型的運用切線長定理的例題，其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和，再結(jié)合作高這種輔助線的做法，最后運用勾股定理求出直徑。
例2
如圖所示，CD切半圓⊙O于點E，AB為直徑，AD⊥CD，BC⊥CD且AD=3cm，BC=5cm，求CD的長度。
解：連接OE，過點A作AF⊥CB于點F
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴四邊形AFCD是矩形 ∴DC=AF，AD=CF
∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm
又∵CD切半圓⊙O于點E ∴OE⊥CD于E
∵AD⊥CD，BC⊥CD
∴AD∥OE∥CB，且AB為直徑，O為圓心
∴點E是DC的中點
∴線段OE是梯形ABCD的中位線
∴OE=■(AD+BC)=4cm
∴AB=2OE=8cm
∴在Rt△ABF中，AF=■=■=2■cm
在做完例1后，同學(xué)們會認為例2和例1圖形很類似，是同類題，但實際差別較大。例2中只有一條圓的切線，所以不符合切線長定理的條件，因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和，而是運用了梯形中位線的知識求出圓的半徑，再用勾股定理計算CD的長。
例3
相交兩圓的半徑為■和■，公共弦為4，求這兩個圓的圓心距。
解：本題分兩種情況
第一種情況，公共弦AB與連心線O1O2交于點C(即O1O2=O1C+O2C)
∵O1O2垂直平分弦AB ∴AC=2
∴在Rt△AO1C中，O1C=■=■=■
∴在Rt△AO2C中，O2C=■=■=1
∴O1O2=O1C+O2C=■+1