現(xiàn)在已經(jīng)進入了8月份，考研復(fù)習(xí)也進入了暑期強化階段。這一時期的復(fù)習(xí)也尤為重要，為了幫助廣大2012年的考生們能夠更好地復(fù)習(xí)，萬學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家們在此為考生們提供一系列的重要提醒工作指導(dǎo)。這次我們主要講解不等式的證明和方程根的個數(shù)。
一、不等式的證明
證明：，這個問題等價于.
不等式的證明經(jīng)常會出現(xiàn)在大題中，主要方法如下
1.單調(diào)性；
2.大小值；
3.拉格朗日中值定理；
4.泰勒定理.
【例1】設(shè)常數(shù),證明當(dāng)時,
(1)選題依據(jù)：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形態(tài) .
(2)講解過程：
1)分析：證明不等式,一般可以用單調(diào)性來證明..
2)書寫：
證明：由知,,
,令,得.
當(dāng)時,,所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此,
當(dāng)時,,所以函數(shù)單調(diào)遞減,因此,
當(dāng)時,,所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此.
綜上,函數(shù).
【例2】求證:
證：只要證
令
單調(diào)增，且單調(diào)增且
即.
二、方程根的個數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個數(shù)，這類型的題目經(jīng)常會出現(xiàn)在客觀題和主觀題中間。所用到的方法如下：
1.存在性：
(1) 零點定理；
(2) 羅爾定理.
2.根的個數(shù)的討論：單調(diào)性＋零點定理．
【例1】試討論方程的實根個數(shù).
解 令
，令 得 .
當(dāng)時，，單調(diào)增.
當(dāng)時，，單調(diào)減.
又
，
則在和內(nèi)各有一個零點，故原方程有兩個實根。
【例2】試確定方程實根個數(shù).
解 將原方程變形得
令
令 ，得.
當(dāng)時，，單調(diào)增.
當(dāng)時，，單調(diào)減.
，
則
1) 當(dāng)時，原方程有兩個實根.
2) 當(dāng)時，原方程有實根.
3) 當(dāng)時，原方程無實根.
一、不等式的證明
證明：，這個問題等價于.
不等式的證明經(jīng)常會出現(xiàn)在大題中，主要方法如下
1.單調(diào)性；
2.大小值；
3.拉格朗日中值定理；
4.泰勒定理.
【例1】設(shè)常數(shù),證明當(dāng)時,
(1)選題依據(jù)：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形態(tài) .
(2)講解過程：
1)分析：證明不等式,一般可以用單調(diào)性來證明..
2)書寫：
證明：由知,,
,令,得.
當(dāng)時,,所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此,
當(dāng)時,,所以函數(shù)單調(diào)遞減,因此,
當(dāng)時,,所以函數(shù)單調(diào)遞增,因此.
綜上,函數(shù).
【例2】求證:
證：只要證
令
單調(diào)增，且單調(diào)增且
即.
二、方程根的個數(shù)
利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個數(shù)，這類型的題目經(jīng)常會出現(xiàn)在客觀題和主觀題中間。所用到的方法如下：
1.存在性：
(1) 零點定理；
(2) 羅爾定理.
2.根的個數(shù)的討論：單調(diào)性＋零點定理．
【例1】試討論方程的實根個數(shù).
解 令
，令 得 .
當(dāng)時，，單調(diào)增.
當(dāng)時，，單調(diào)減.
又
，
則在和內(nèi)各有一個零點，故原方程有兩個實根。
【例2】試確定方程實根個數(shù).
解 將原方程變形得
令
令 ，得.
當(dāng)時，，單調(diào)增.
當(dāng)時，，單調(diào)減.
，
則
1) 當(dāng)時，原方程有兩個實根.
2) 當(dāng)時，原方程有實根.
3) 當(dāng)時，原方程無實根.