函數(shù)的連續(xù)性及間端點(diǎn)的類型是考研數(shù)學(xué)常考知識(shí)點(diǎn)之一，多以選擇題和填空題為考查方式。題目較簡(jiǎn)單，這部分的試題主要是判斷函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)類型，尤其是分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性。對(duì)于這類題目，萬(wàn)學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)老師們提醒2012年的考生們只要抓住定義，按定義驗(yàn)證就可。此外，還有一類題目是根據(jù)已知函數(shù)的連續(xù)性確定其中的參數(shù)，這類問(wèn)題本質(zhì)上也就是已知極限求參數(shù)的問(wèn)題。下面，就為同學(xué)們?cè)敿?xì)地分析一下。
函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是指成立．當(dāng)在點(diǎn)不連續(xù)時(shí)，如果在點(diǎn)的左右極限都存在，則點(diǎn)為的第一類間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)又可以分為兩類，當(dāng)左右極限相等時(shí)，即，則稱點(diǎn)為的可去間斷點(diǎn)，當(dāng)左右極限不相等時(shí)，即，則稱點(diǎn)為的跳躍間斷點(diǎn)．除了第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)，如果左右極限中有幾個(gè)等于無(wú)窮大，即或，則稱這類間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)．
我們?cè)谧鲇嘘P(guān)函數(shù)連續(xù)性與判斷間斷點(diǎn)類型的試題時(shí)，一定要牢牢把握住上述的極限定義，一切從定義出發(fā)來(lái)驗(yàn)證間斷點(diǎn)的類型．如下題所示：
【例】求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型.
【解析】①因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以函數(shù)只能在這些沒(méi)定義點(diǎn)處間斷，顯然這些點(diǎn)都是間斷點(diǎn).
② 因?yàn)闀r(shí)，，所以它們?yōu)闊o(wú)窮間斷點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故為可去間斷點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故為可去間斷點(diǎn)；
當(dāng)時(shí), ，， 為跳躍間斷點(diǎn).
從本題得求解過(guò)程可知，對(duì)于討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型的試題，其主要方法就是牢牢把握住極限的定義，從定義出發(fā)，驗(yàn)證函數(shù)的左右極限的取值情況與他們之間的關(guān)系即可．
函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)是指成立．當(dāng)在點(diǎn)不連續(xù)時(shí)，如果在點(diǎn)的左右極限都存在，則點(diǎn)為的第一類間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn)又可以分為兩類，當(dāng)左右極限相等時(shí)，即，則稱點(diǎn)為的可去間斷點(diǎn)，當(dāng)左右極限不相等時(shí)，即，則稱點(diǎn)為的跳躍間斷點(diǎn)．除了第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)，如果左右極限中有幾個(gè)等于無(wú)窮大，即或，則稱這類間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)．
我們?cè)谧鲇嘘P(guān)函數(shù)連續(xù)性與判斷間斷點(diǎn)類型的試題時(shí)，一定要牢牢把握住上述的極限定義，一切從定義出發(fā)來(lái)驗(yàn)證間斷點(diǎn)的類型．如下題所示：
【例】求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型.
【解析】①因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以函數(shù)只能在這些沒(méi)定義點(diǎn)處間斷，顯然這些點(diǎn)都是間斷點(diǎn).
② 因?yàn)闀r(shí)，，所以它們?yōu)闊o(wú)窮間斷點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故為可去間斷點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，故為可去間斷點(diǎn)；
當(dāng)時(shí), ，， 為跳躍間斷點(diǎn).
從本題得求解過(guò)程可知，對(duì)于討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)的類型的試題，其主要方法就是牢牢把握住極限的定義，從定義出發(fā)，驗(yàn)證函數(shù)的左右極限的取值情況與他們之間的關(guān)系即可．