函數(shù)的連續(xù)性及間端點的類型是考研數(shù)學(xué)?？贾R點之一，多以選擇題和填空題為考查方式。題目較簡單，這部分的試題主要是判斷函數(shù)的連續(xù)性和間斷點類型，尤其是分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性。對于這類題目，萬學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)老師們提醒2012年的考生們只要抓住定義，按定義驗證就可。此外，還有一類題目是根據(jù)已知函數(shù)的連續(xù)性確定其中的參數(shù)，這類問題本質(zhì)上也就是已知極限求參數(shù)的問題。下面，就為同學(xué)們詳細地分析一下。
函數(shù)在點連續(xù)是指成立．當(dāng)在點不連續(xù)時，如果在點的左右極限都存在，則點為的第一類間斷點，第一類間斷點又可以分為兩類，當(dāng)左右極限相等時，即，則稱點為的可去間斷點，當(dāng)左右極限不相等時，即，則稱點為的跳躍間斷點．除了第一類間斷點以外的間斷點稱為第二類間斷點，如果左右極限中有幾個等于無窮大，即或，則稱這類間斷點為無窮間斷點．
我們在做有關(guān)函數(shù)連續(xù)性與判斷間斷點類型的試題時，一定要牢牢把握住上述的極限定義，一切從定義出發(fā)來驗證間斷點的類型．如下題所示：
【例】求函數(shù)的間斷點并指出其類型.
【解析】①因為初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以函數(shù)只能在這些沒定義點處間斷，顯然這些點都是間斷點.
② 因為時，，所以它們?yōu)闊o窮間斷點；
當(dāng)時，，故為可去間斷點；
當(dāng)時，，故為可去間斷點；
當(dāng)時, ，， 為跳躍間斷點.
從本題得求解過程可知，對于討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的類型的試題，其主要方法就是牢牢把握住極限的定義，從定義出發(fā)，驗證函數(shù)的左右極限的取值情況與他們之間的關(guān)系即可．
函數(shù)在點連續(xù)是指成立．當(dāng)在點不連續(xù)時，如果在點的左右極限都存在，則點為的第一類間斷點，第一類間斷點又可以分為兩類，當(dāng)左右極限相等時，即，則稱點為的可去間斷點，當(dāng)左右極限不相等時，即，則稱點為的跳躍間斷點．除了第一類間斷點以外的間斷點稱為第二類間斷點，如果左右極限中有幾個等于無窮大，即或，則稱這類間斷點為無窮間斷點．
我們在做有關(guān)函數(shù)連續(xù)性與判斷間斷點類型的試題時，一定要牢牢把握住上述的極限定義，一切從定義出發(fā)來驗證間斷點的類型．如下題所示：
【例】求函數(shù)的間斷點并指出其類型.
【解析】①因為初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以函數(shù)只能在這些沒定義點處間斷，顯然這些點都是間斷點.
② 因為時，，所以它們?yōu)闊o窮間斷點；
當(dāng)時，，故為可去間斷點；
當(dāng)時，，故為可去間斷點；
當(dāng)時, ，， 為跳躍間斷點.
從本題得求解過程可知，對于討論函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的類型的試題，其主要方法就是牢牢把握住極限的定義，從定義出發(fā)，驗證函數(shù)的左右極限的取值情況與他們之間的關(guān)系即可．