概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的第一章“概率論的基本概念”是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，將這些基本概念掌握牢固是我們學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程的重要前提條件，為了幫助同學(xué)們加深理解這部分內(nèi)容，萬(wàn)學(xué)海文數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)專家們將同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中容易發(fā)生混淆的概念總結(jié)如下：
1.若事件A=B，是否可以認(rèn)為A,B為同一事件？
答：不能．首先明確事件相等的定義，．如兩個(gè)燈泡串聯(lián), 記A={A燈亮}，B={B燈亮}，則A不發(fā)生時(shí)，一定導(dǎo)致B不發(fā)生，所以，同理當(dāng)B不發(fā)生時(shí)，一定導(dǎo)致A不發(fā)生，有，故有A=B，但A,B不是同一事件．
2.比較下面三個(gè)概念：互斥、對(duì)立、劃分．
答：（1）互斥：事件A,B互斥是指．注意：互斥的兩事件沒(méi)有公共的樣本點(diǎn)；基本事件之間都是互斥的．
（2）對(duì)立：事件A,B對(duì)立是指且；
（3）劃分（完備事件組）：事件是一個(gè)劃分是指：
(i)兩兩互不相容，即；
(ii).
3.和對(duì)嗎？
答：不對(duì)．連續(xù)型隨機(jī)變量在一點(diǎn)的取值概率為零，但這個(gè)事件不是空事件；同理連續(xù)型隨機(jī)變量去掉有限個(gè)點(diǎn)，其取值概率仍為1，但去掉有限個(gè)點(diǎn)后，顯然不是樣本空間．但反過(guò)來(lái)都是成立的，即：和．
說(shuō)明：一般的，從概率的信息得不出事件關(guān)系．但如果是古典概型，則上述結(jié)論正確，即古典概率如果，能得出，，能得出，為什么？因?yàn)楣诺涓判偷臉颖军c(diǎn)是有限個(gè)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相等，則每個(gè)基本事件的概率都大于零，從而有上述結(jié)論．
4.兩個(gè)事件互不相容，是否就是相互獨(dú)立？
答：不是．獨(dú)立與互不相容是兩個(gè)不同的概念，它們沒(méi)有任何關(guān)系．互不相容是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即，是用事件的關(guān)系來(lái)定義；而獨(dú)立是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生部分的概率等于兩個(gè)事件分別發(fā)生概率的乘積，即，是用概率來(lái)定義．
5.三個(gè)事件中兩兩相互獨(dú)立，能否說(shuō)明三個(gè)事件獨(dú)立？
答：不能．三個(gè)事件中兩兩相互獨(dú)立，只是三個(gè)事件獨(dú)立的一個(gè)條件，還必須滿足：，三個(gè)事件才獨(dú)立．
6.什么事件與任何事件都獨(dú)立？
答：只要滿足即的事件與任何事件都獨(dú)立．
若，又有，所以，故，
即有，故獨(dú)立．
若，又有，所以，故，
又，則有，故A,B獨(dú)立．
7.全概率公式與貝葉斯公式
答：全概率公式：是完備事件組，，
則；
貝葉斯公式：是完備事件組，，
則
分析：--原因，A--結(jié)果
全概率公式用于求復(fù)雜事件（可以由多個(gè)原因?qū)е拢┑母怕?，已知：每個(gè)原因發(fā)生的概率，在每個(gè)原因發(fā)生的條件下結(jié)果A發(fā)生的概率；求：結(jié)果A發(fā)生的概率；
貝葉斯公式用于求條件概率，已知：一個(gè)原因發(fā)生的概率，在該原因發(fā)生條件下結(jié)果A發(fā)生的概率，結(jié)果A發(fā)生的概率 P(A)（可用全概率公式求）；求：該原因在結(jié)果A發(fā)生下的概率．
8.先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率
答：先驗(yàn)概率是指根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和分析得到的概率，如全概率公式中的，它往往作為“由因求果”問(wèn)題中的“因”出現(xiàn)。
后驗(yàn)概率是指在得到“結(jié)果”的信息后重新修正的概率，如貝葉斯公式的結(jié)果，是“執(zhí)果尋因”問(wèn)題中的“因” ．即基于新的信息，修正原來(lái)的先驗(yàn)概率后所獲得的更接近實(shí)際情況的概率估計(jì)．
1.若事件A=B，是否可以認(rèn)為A,B為同一事件？
答：不能．首先明確事件相等的定義，．如兩個(gè)燈泡串聯(lián), 記A={A燈亮}，B={B燈亮}，則A不發(fā)生時(shí)，一定導(dǎo)致B不發(fā)生，所以，同理當(dāng)B不發(fā)生時(shí)，一定導(dǎo)致A不發(fā)生，有，故有A=B，但A,B不是同一事件．
2.比較下面三個(gè)概念：互斥、對(duì)立、劃分．
答：（1）互斥：事件A,B互斥是指．注意：互斥的兩事件沒(méi)有公共的樣本點(diǎn)；基本事件之間都是互斥的．
（2）對(duì)立：事件A,B對(duì)立是指且；
（3）劃分（完備事件組）：事件是一個(gè)劃分是指：
(i)兩兩互不相容，即；
(ii).
3.和對(duì)嗎？
答：不對(duì)．連續(xù)型隨機(jī)變量在一點(diǎn)的取值概率為零，但這個(gè)事件不是空事件；同理連續(xù)型隨機(jī)變量去掉有限個(gè)點(diǎn)，其取值概率仍為1，但去掉有限個(gè)點(diǎn)后，顯然不是樣本空間．但反過(guò)來(lái)都是成立的，即：和．
說(shuō)明：一般的，從概率的信息得不出事件關(guān)系．但如果是古典概型，則上述結(jié)論正確，即古典概率如果，能得出，，能得出，為什么？因?yàn)楣诺涓判偷臉颖军c(diǎn)是有限個(gè)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的概率相等，則每個(gè)基本事件的概率都大于零，從而有上述結(jié)論．
4.兩個(gè)事件互不相容，是否就是相互獨(dú)立？
答：不是．獨(dú)立與互不相容是兩個(gè)不同的概念，它們沒(méi)有任何關(guān)系．互不相容是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即，是用事件的關(guān)系來(lái)定義；而獨(dú)立是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生部分的概率等于兩個(gè)事件分別發(fā)生概率的乘積，即，是用概率來(lái)定義．
5.三個(gè)事件中兩兩相互獨(dú)立，能否說(shuō)明三個(gè)事件獨(dú)立？
答：不能．三個(gè)事件中兩兩相互獨(dú)立，只是三個(gè)事件獨(dú)立的一個(gè)條件，還必須滿足：，三個(gè)事件才獨(dú)立．
6.什么事件與任何事件都獨(dú)立？
答：只要滿足即的事件與任何事件都獨(dú)立．
若，又有，所以，故，
即有，故獨(dú)立．
若，又有，所以，故，
又，則有，故A,B獨(dú)立．
7.全概率公式與貝葉斯公式
答：全概率公式：是完備事件組，，
則；
貝葉斯公式：是完備事件組，，
則
分析：--原因，A--結(jié)果
全概率公式用于求復(fù)雜事件（可以由多個(gè)原因?qū)е拢┑母怕?，已知：每個(gè)原因發(fā)生的概率，在每個(gè)原因發(fā)生的條件下結(jié)果A發(fā)生的概率；求：結(jié)果A發(fā)生的概率；
貝葉斯公式用于求條件概率，已知：一個(gè)原因發(fā)生的概率，在該原因發(fā)生條件下結(jié)果A發(fā)生的概率，結(jié)果A發(fā)生的概率 P(A)（可用全概率公式求）；求：該原因在結(jié)果A發(fā)生下的概率．
8.先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率
答：先驗(yàn)概率是指根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)和分析得到的概率，如全概率公式中的，它往往作為“由因求果”問(wèn)題中的“因”出現(xiàn)。
后驗(yàn)概率是指在得到“結(jié)果”的信息后重新修正的概率，如貝葉斯公式的結(jié)果，是“執(zhí)果尋因”問(wèn)題中的“因” ．即基于新的信息，修正原來(lái)的先驗(yàn)概率后所獲得的更接近實(shí)際情況的概率估計(jì)．