四、質(zhì)量數(shù)據(jù)的特征值
樣本數(shù)據(jù)特征值是由樣本數(shù)據(jù)計算的描述樣本質(zhì)量數(shù)據(jù)波動規(guī)律的指標(biāo)。統(tǒng)計推斷就是根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)特征值來分析、
判斷總體的質(zhì)量狀況。常用的有描述數(shù)據(jù)分布集中趨勢的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和描述數(shù)據(jù)分布離中趨勢的極差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)等。
(一)描述數(shù)據(jù)集中趨勢的特征值
1．算術(shù)平均數(shù)
算術(shù)平均數(shù)又稱均值，是消除了個體之間個別偶然的差異，顯示出所有個體共性和數(shù)據(jù)一般水平的統(tǒng)計指標(biāo)，它由所有數(shù)據(jù)計算得到，是數(shù)據(jù)的分布中心，對數(shù)據(jù)的代表性好。其計算公式為：
（1） 總體算術(shù)平均數(shù)υ
υ=1/N（X1+X2+…+XN）=1/NΣXi
式中 N——總體中個體數(shù)；
Xi——總體中第i個的個體質(zhì)量特性值。
（2）樣本算術(shù)平均數(shù)
2.樣本中位數(shù)。
樣本中位數(shù)是將樣本數(shù)據(jù)按數(shù)值大小有序排列后，位置居中的數(shù)值。當(dāng)樣本數(shù)n為奇數(shù)時，數(shù)列居中的一位數(shù)即為中位數(shù)；
當(dāng)樣本數(shù)n為偶數(shù)時，取居中兩個數(shù)的平均值作為中位數(shù)。
描述數(shù)據(jù)離中趨勢的特征值
1.極差R
極差是數(shù)據(jù)中值與最小值之差，是用數(shù)據(jù)變動的幅度來反映其分散狀況的特征值。極差計算簡單、使用方便，但粗略，數(shù)值僅受兩個極端值的影響，損失的質(zhì)量信息多，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布和波動規(guī)律，僅適用于小樣本。其計算公式為：R=Xmax—Xmin
2.標(biāo)準(zhǔn)偏差。
標(biāo)準(zhǔn)偏差簡稱標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，是個體數(shù)據(jù)與均值離差平方和的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)根，是大于0的正數(shù)?？傮w的標(biāo)準(zhǔn)差用σ表示；樣本的標(biāo)準(zhǔn)差用S表示。標(biāo)準(zhǔn)差值小說明分布集中程度高，離散程度小，均值對總體(樣本)的代表性好；標(biāo)準(zhǔn)差的平方是方差，有鮮明的數(shù)理統(tǒng)計特征，能確切說明數(shù)據(jù)分布的離散程度和波動規(guī)律，是最常用的反映數(shù)據(jù)變異程度的特征值。
(1)總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ
(2)樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S
樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的無偏估計。
(3)變異系數(shù)Cv
變異系數(shù)又稱離散系數(shù)，是用標(biāo)準(zhǔn)差除以算術(shù)平均數(shù)得到的相對數(shù)。它表示數(shù)據(jù)的相對離散波動程度。變異系數(shù)小，說明分布集中程度高，離散程度小，均值對總體(樣本)的代表性好。由于消除了數(shù)據(jù)平均水平不同的影響，變異系數(shù)適用于均值有較大差異的總體之間離散程度的比較，應(yīng)用更為廣泛。其計算公式為：
Cv=σ／μ(總體)
[例題]：（ ）是數(shù)據(jù)中值與最小值之差，是用數(shù)據(jù)變動的幅度來反映其分散狀況的特征值。
A. 極差
B. 標(biāo)準(zhǔn)偏差
C. 變異系數(shù)
D. 算術(shù)平均數(shù)
答案：A
樣本數(shù)據(jù)特征值是由樣本數(shù)據(jù)計算的描述樣本質(zhì)量數(shù)據(jù)波動規(guī)律的指標(biāo)。統(tǒng)計推斷就是根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)特征值來分析、
判斷總體的質(zhì)量狀況。常用的有描述數(shù)據(jù)分布集中趨勢的算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和描述數(shù)據(jù)分布離中趨勢的極差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)等。
(一)描述數(shù)據(jù)集中趨勢的特征值
1．算術(shù)平均數(shù)
算術(shù)平均數(shù)又稱均值，是消除了個體之間個別偶然的差異，顯示出所有個體共性和數(shù)據(jù)一般水平的統(tǒng)計指標(biāo)，它由所有數(shù)據(jù)計算得到，是數(shù)據(jù)的分布中心，對數(shù)據(jù)的代表性好。其計算公式為：
（1） 總體算術(shù)平均數(shù)υ
υ=1/N（X1+X2+…+XN）=1/NΣXi
式中 N——總體中個體數(shù)；
Xi——總體中第i個的個體質(zhì)量特性值。
（2）樣本算術(shù)平均數(shù)
2.樣本中位數(shù)。
樣本中位數(shù)是將樣本數(shù)據(jù)按數(shù)值大小有序排列后，位置居中的數(shù)值。當(dāng)樣本數(shù)n為奇數(shù)時，數(shù)列居中的一位數(shù)即為中位數(shù)；
當(dāng)樣本數(shù)n為偶數(shù)時，取居中兩個數(shù)的平均值作為中位數(shù)。
描述數(shù)據(jù)離中趨勢的特征值
1.極差R
極差是數(shù)據(jù)中值與最小值之差，是用數(shù)據(jù)變動的幅度來反映其分散狀況的特征值。極差計算簡單、使用方便，但粗略，數(shù)值僅受兩個極端值的影響，損失的質(zhì)量信息多，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布和波動規(guī)律，僅適用于小樣本。其計算公式為：R=Xmax—Xmin
2.標(biāo)準(zhǔn)偏差。
標(biāo)準(zhǔn)偏差簡稱標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，是個體數(shù)據(jù)與均值離差平方和的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)根，是大于0的正數(shù)?？傮w的標(biāo)準(zhǔn)差用σ表示；樣本的標(biāo)準(zhǔn)差用S表示。標(biāo)準(zhǔn)差值小說明分布集中程度高，離散程度小，均值對總體(樣本)的代表性好；標(biāo)準(zhǔn)差的平方是方差，有鮮明的數(shù)理統(tǒng)計特征，能確切說明數(shù)據(jù)分布的離散程度和波動規(guī)律，是最常用的反映數(shù)據(jù)變異程度的特征值。
(1)總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ
(2)樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S
樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差S是總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的無偏估計。
(3)變異系數(shù)Cv
變異系數(shù)又稱離散系數(shù)，是用標(biāo)準(zhǔn)差除以算術(shù)平均數(shù)得到的相對數(shù)。它表示數(shù)據(jù)的相對離散波動程度。變異系數(shù)小，說明分布集中程度高，離散程度小，均值對總體(樣本)的代表性好。由于消除了數(shù)據(jù)平均水平不同的影響，變異系數(shù)適用于均值有較大差異的總體之間離散程度的比較，應(yīng)用更為廣泛。其計算公式為：
Cv=σ／μ(總體)
[例題]：（ ）是數(shù)據(jù)中值與最小值之差，是用數(shù)據(jù)變動的幅度來反映其分散狀況的特征值。
A. 極差
B. 標(biāo)準(zhǔn)偏差
C. 變異系數(shù)
D. 算術(shù)平均數(shù)
答案：A