隨著近幾年公務(wù)員考試“高燒不退”的現(xiàn)象持續(xù)升溫，國(guó)考試題的難度也越來越大。行程問題做為一種每年必考的題型，在試題的創(chuàng)新性上有很大的出題空間。綜觀幾年的真題，常規(guī)題型雖是每年考試的“主力”，但更加復(fù)雜的“多次相遇”問題已在這兩年里初試鋒芒。華圖公務(wù)員考試研究中心通過歸納總結(jié)，將多次相遇問題可能在今后考試中出現(xiàn)的幾種類型一一向大家進(jìn)行展示，希望對(duì)備考的廣大考生起到拋磚引玉的作用。
“多次相遇”問題有直線型和環(huán)型兩種類型。相對(duì)來講，直線型更加復(fù)雜。環(huán)型只是單純的周期問題。華圖公務(wù)員考試研究中心分開一一進(jìn)行講解。首先，來看直線型多次相遇問題。
一、直線型
直線型多次相遇問題宏觀上分“兩岸型”和“單岸型”兩種?！皟砂缎汀笔侵讣住⒁覂扇藦穆返膬啥送瑫r(shí)出發(fā)相向而行;“單岸型”是指甲、乙兩人從路的一端同時(shí)出發(fā)同向而行?，F(xiàn)在分開向大家一一介紹：
(一)兩岸型
兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是背面追及相遇。題干如果沒有明確說明是哪種相遇，考生對(duì)兩種情況均應(yīng)做出思考。
1、迎面相遇：
如下圖，甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)相向而行，第一次迎面相遇在a處，(為清楚表示兩人走的路程，將兩人的路線分開畫出)則共走了1個(gè)全程，到達(dá)對(duì)岸b后兩人轉(zhuǎn)向第二次迎面相遇在c處，共走了3個(gè)全程(把甲的bc挪到下邊乙處)，則從第一次相遇到第二次相遇走過的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2個(gè)全程。所以第三次相遇共走了5個(gè)全程，依次類推得出：第n次相遇兩人走的路程和為(2n-1)s(s為全程，下同)。
※注：第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分開看每個(gè)人都是2倍關(guān)系，經(jīng)?？梢杂眠@個(gè)“2倍關(guān)系”解題。即對(duì)于甲和乙而言從a到c走過的路程是從起點(diǎn)到a的2倍。
2、背面相遇
與迎面相遇類似，背面相遇同樣是甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如下圖，此時(shí)可假設(shè)全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。則第一次背面相遇在a處。第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人在c處第二次背面相遇。我們可以觀察，第一次背面相遇時(shí)，兩人的路程差是1個(gè)全程，第二次背面相遇時(shí)，兩人的路程差為3個(gè)全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，單看每個(gè)人多走的路程也是第一次的2倍。依次類推，得：第n次背面追及相遇兩人的路程差為(2n-1)s。
(二)單岸型
單岸型是兩人同時(shí)從一端出發(fā)，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追及相遇兩種情況。
1、迎面相遇：
如下圖，甲、乙兩人同時(shí)從A端出發(fā)，假設(shè)全程為3份，甲每分鐘走2份，乙每分鐘走4份，則甲乙第一次迎面相遇在a處，此時(shí)甲走了2份，乙走了4份，共走2個(gè)全程。再過1分鐘，甲共走了4份，乙共走了8份，在b處迎面第二次相遇，共走4個(gè)全程，則從a處相遇到b處兩人共走了兩個(gè)全程，與第一次相遇時(shí)的路程和相同，依次類推，每次迎面相遇多走2個(gè)全程，可得出：當(dāng)?shù)趎次迎面相遇時(shí)，兩人的路程和為2ns，每次相遇用的時(shí)間相同。
“直線型”總結(jié)(熟記)
①兩岸型：
第n次迎面相遇，兩人的路程和是(2n-1)S。
第n次背面相遇，兩人的路程差是(2n-1)S。
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第n次迎面相遇，兩人的路程和為2ns，每次相遇用的時(shí)間相同。
第n次背面相遇，兩人的路程差為2ns，每次相遇用的時(shí)間相同。
下面列出幾種今后可能會(huì)考到的直線型多次相遇問題常見的類型：
{類型一}：根據(jù)“2倍關(guān)系 ”求AB兩地的距離。
【例1】甲、乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A，乙從B同時(shí)出發(fā)，第一次相遇點(diǎn)距B
60米，當(dāng)乙從A處返回時(shí)走了10米第二次與甲相遇。A、B相距多少米?
A、150 B、170 C、180 D、200
【答案及解析】B。如下圖，第一次相遇在a處，第二次相遇在b處，aB的距離為60，Ab的距離為10。以乙為研究對(duì)象，根據(jù)2倍關(guān)系，乙從a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60×2=120米，Ab為10，則Aa的距離為120-10=110米，則AB距離為110+60=170米。
{類型二}：告訴兩人的速度和給定時(shí)間，求相遇次數(shù)。
【例2】甲、乙兩人在長(zhǎng)30米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游37.5米，乙每分鐘游52.5米。
兩人同時(shí)分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，則
從出發(fā)開始計(jì)算的1分50秒內(nèi)兩人共相遇多少次?
A、2 B、3 C、4 D、5
{類型三}：告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離。
【例3】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時(shí)行
45千米，乙車每小時(shí)行36千米，已知兩車第2次與第3次迎面相遇的地點(diǎn)相距40千米，
則A、B相距多少千米?
A、90 B、180 C、270 D、110
【答案及解析】A。法一：相同時(shí)間，甲、乙路程比為45：36=5：4，則將全程分成9份。則一個(gè)全程時(shí)甲走5份，乙走4份。以甲為研究對(duì)象，第2次相遇，走的全程數(shù)為2×2-1=3個(gè)，則甲走的份數(shù)為3×5=15份，一個(gè)全程為9份，則第2次相遇甲走的份數(shù)轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為15÷9=1…6份，1個(gè)全程后在乙端，則從乙端數(shù)6份。第3次相遇走的份數(shù)為(2×3-1)×5=25份，轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為25÷9=2…7，2個(gè)全程后在甲端，則從甲端數(shù)7份。如下圖：
由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，則AB相距 =90千米。
法二：除了上述基礎(chǔ)公式的利用，我們也可以引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。將速度轉(zhuǎn)化為相同路程的條件下兩人的時(shí)間比，則以時(shí)間為刻度，畫出兩人到達(dá)對(duì)岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點(diǎn)即為兩人相遇的地點(diǎn)。s-t圖中的路線因像古代記時(shí)間的沙漏故稱為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為36：45=4：5。如下圖：
用時(shí)注意：一般題干涉及到的相遇次數(shù)較少時(shí)可畫，相遇次數(shù)太多，則會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間，不利于提高速度;畫時(shí)的單位刻度要看時(shí)間比，如果時(shí)間比中的數(shù)據(jù)較大可把刻度畫大。
{類型四}：告訴兩人的速度，相遇次數(shù)較少時(shí)，利用s-t圖形成“沙漏”模型速解。
【例5】A、B兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步行，每
分鐘走40米;乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人迎面相遇距B地最近時(shí)，最近距離
是多少?
A、150 B、200 C、250 D、300
【例6】河道賽道長(zhǎng)120米，水流速度為2米/秒，甲船靜水速度為6米/秒，乙船靜水速度為4米/秒。比賽進(jìn)行兩次往返，甲、乙同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，先順?biāo)叫?，問多少秒后甲、乙船第二次迎面相?
A、48 B、50 C、52 D、54
【答案及解析】C。由題知，得出如下關(guān)系：
| 順流 | 逆流 | |
| 甲 | 8（15） | 4（30） |
| 乙 | 6（20） | 2（60） |
注：( )中為走完全程的時(shí)間。
假設(shè)A到B是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個(gè)全程。由于甲的速度快，則第2次相遇前甲已走了2個(gè)全程。共15+30=45秒。當(dāng)?shù)?5秒時(shí)乙走了一個(gè)順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為25×2=50米，則在剩余的70米內(nèi)，甲乙分別以順流和逆流相遇時(shí)間為t，則有70=(8+2)×t，求得t=7秒，則共用時(shí)間45+7=52秒。
二、環(huán)型
環(huán)型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時(shí)反向迎面相遇(不可能背面相遇)，一種是甲、乙兩人同地同時(shí)同向背面追及相遇(不可能迎面相遇)。分開討論如下：
(一)甲、乙兩人從A地同時(shí)反向出發(fā)：
如下圖，一個(gè)周長(zhǎng)分成4份，假設(shè)甲是順時(shí)針每分鐘走1份到B，乙是逆時(shí)針每分鐘走3份到B，則第一次相遇兩人走了1個(gè)周長(zhǎng)，第一次相遇后相當(dāng)于又同時(shí)同地反向出發(fā)，所以第二次相遇時(shí)共走了2個(gè)周長(zhǎng)，依次類推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。
環(huán)型多次相遇問題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，當(dāng)甲、乙不在同一地點(diǎn)出發(fā)時(shí)相對(duì)具有難度。比如在直徑兩端出發(fā)?？忌赏ㄟ^下面的例題把握。
【例1】老張和老王兩個(gè)人在周長(zhǎng)為400米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米，老王每
分鐘走16米?，F(xiàn)在兩個(gè)人從同一點(diǎn)反方向行走，那么出發(fā)后多少分鐘他們第三次相遇?
A、33 B、45 C、48 D、56
【答案及解析】C。第一次迎面相遇時(shí)間為400÷(9+16)=16，則第三次迎面相遇時(shí)間為16×3=48。
【例2】小明、小亮從400米環(huán)形跑道的同一點(diǎn)出發(fā)，背向而行。當(dāng)他們第一次相遇時(shí)，小明轉(zhuǎn)身往回跑;再次相遇時(shí)，小亮轉(zhuǎn)身往回跑;以后的每次相遇分別是小明和小亮兩人交替調(diào)轉(zhuǎn)方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，則在兩人第30次相遇時(shí)小明共跑了多少米?
A、11250 B、11350 C、11420 D、11480
【答案及解析】A。由題意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后都是迎面與背面相遇交替。則在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面相遇一次用時(shí)為400÷(3+5)=50，背面相遇一次用時(shí)為400÷(5-3)=200，則30次相遇共用時(shí)為15×(50+200)=3750s，則小時(shí)在這段時(shí)間里跑的路程為3750×3=11250米。
【例3】甲、乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60米處又第二次相遇，則這個(gè)圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為多少米?
A、320 B、360 C、420 D、480
【答案及解析】D。如下圖，假設(shè)甲、乙分別在直徑A、B兩端以順時(shí)針和逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。第1次相遇在C點(diǎn)距B點(diǎn)100米，第2次相遇在D點(diǎn)，距A點(diǎn)60米。
