1．難度：★★★★
用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫(xiě)出多少個(gè)3的倍數(shù)？
【解析】按位數(shù)來(lái)分類(lèi)考慮：
⑴ 一位數(shù)只有1個(gè)3；
⑵ 兩位數(shù)：由1與2，1與5，2與4，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的兩位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的兩位數(shù)；
⑶ 三位數(shù)：由1，2與3；1，3與5；2，3與4；3，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的三位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的三位數(shù)；
⑷ 四位數(shù)：可由1，2，4，5這四個(gè)數(shù)字組成，有(個(gè))不同的四位數(shù)；
⑸ 五位數(shù)：可由1，2，3，4，5組成，共有(個(gè))不同的五位數(shù)．
由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177(個(gè))能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù)．
2．難度：★★
用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè)數(shù)？
【解析】從高位到低位逐層分類(lèi)：
⑴ 千位上排1，2，3或4時(shí)，千位有4種選擇，而百、十、個(gè)位可以從0~9中除千位已確定的數(shù)字之外的9個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從9個(gè)元素中取3個(gè)的排列問(wèn)題，所以百、十、個(gè)位可有(種)排列方式．由乘法原理，有(個(gè))．
⑵ 千位上排5，百位上排0~4時(shí)，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字中選擇．也就是從8個(gè)元素中取2個(gè)的排列問(wèn)題，即，由乘法原理，有(個(gè))．
⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有(個(gè))．
⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排時(shí)8，比5687小的數(shù)的個(gè)位可以選擇0，1，2，3，4共5個(gè)．
綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016+280+42+5=2343(個(gè))，故比5687小是第2344個(gè)四位數(shù)。
用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫(xiě)出多少個(gè)3的倍數(shù)？
【解析】按位數(shù)來(lái)分類(lèi)考慮：
⑴ 一位數(shù)只有1個(gè)3；
⑵ 兩位數(shù)：由1與2，1與5，2與4，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的兩位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的兩位數(shù)；
⑶ 三位數(shù)：由1，2與3；1，3與5；2，3與4；3，4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個(gè))不同的三位數(shù)，共可組成(個(gè))不同的三位數(shù)；
⑷ 四位數(shù)：可由1，2，4，5這四個(gè)數(shù)字組成，有(個(gè))不同的四位數(shù)；
⑸ 五位數(shù)：可由1，2，3，4，5組成，共有(個(gè))不同的五位數(shù)．
由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177(個(gè))能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù)．
2．難度：★★
用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè)數(shù)？
【解析】從高位到低位逐層分類(lèi)：
⑴ 千位上排1，2，3或4時(shí)，千位有4種選擇，而百、十、個(gè)位可以從0~9中除千位已確定的數(shù)字之外的9個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從9個(gè)元素中取3個(gè)的排列問(wèn)題，所以百、十、個(gè)位可有(種)排列方式．由乘法原理，有(個(gè))．
⑵ 千位上排5，百位上排0~4時(shí)，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字中選擇．也就是從8個(gè)元素中取2個(gè)的排列問(wèn)題，即，由乘法原理，有(個(gè))．
⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有(個(gè))．
⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排時(shí)8，比5687小的數(shù)的個(gè)位可以選擇0，1，2，3，4共5個(gè)．
綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016+280+42+5=2343(個(gè))，故比5687小是第2344個(gè)四位數(shù)。