一.選擇題
1．（2012•廣州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（ ?。?BR> A． B． C． D．
考點： 勾股定理；點到直線的距離；三角形的面積。
專題： 計算題。
分析： 根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，然后過C作CD垂直于AB，由直角三角形的面積可以由兩直角邊乘積的一半來求，也可以由斜邊AB乘以斜邊上的高CD除以2來求，兩者相等，將AC，AB及BC的長代入求出CD的長，即為C到AB的距離．
解答： 解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AB= =15，
過C作CD⊥AB，交AB于點D，
又S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD= = = ，
則點C到AB的距離是 ．
故選A
點評： 此題考查了勾股定理，點到直線的距離，以及三角形面積的求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
2.（2012畢節(jié)）如圖.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E式垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是（ ）
A.2 B.2 C.4 D. 4
解析：求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，
求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，
∵DE垂直平分斜邊AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB= ，在△ABC中，由勾股定理得：AC= = ，故選A．
點評：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點的應用，主要考查學生運用這些定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，難度適中．
3.（2012湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB邊上的中線，則CD的長是（ ）
A.20 B.10 C.5 D.
【解析】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故CD= AB= ×10=5.
【答案】選：C．
【點評】此題考查的是直角三角形的性質，屬于基礎題。
4.（2012安徽）在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2、4、3，則原直角三角形紙片的斜邊長是（ ）
A.10 B. C. 10或 D.10或
解析：考慮兩種情況．要分清從斜邊中點向哪個邊沿著垂線段過去裁剪的.
解答：解：如下圖， ，
故選C．
點評：在幾何題沒有給出圖形時，有的同學會忽略掉其中一種情況，錯選A或B；故解決本題先畫出圖形，運用數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想進行解答，避免出現(xiàn)漏解．
5. （2012•荊門）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（ ?。?BR> A． B． C． D．
解析：根據(jù)勾股定理，AB= =2 ，
BC= = ，
AC= = ，
所以△ABC的三邊之比為 ：2 ： =1：2： ，
A、三角形的三邊分別為2， = ， =3 ，三邊之比為2： ：3 = ： ：3，故本選項錯誤；
B、三角形的三邊分別為2，4， =2 ，三邊之比為2：4：2 =1：2： ，故本選項正確；
C、三角形的三邊分別為2，3， = ，三邊之比為2：3： ，故本選項錯誤；
D、三角形的三邊分別為 = ， = ，4，三邊之比為 ： ：4，故本選項錯誤．
故選B．
6. ( 2012巴中)如圖3，已知AD是△ABC的
BC邊上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是( )
A.AB=AC B.∠BAC=900
C.BD=AC D.∠B=450
【解析】由條件A,與直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”
可判定△ABD≌△ACD，其它條件均不能使
△ABD≌△ACD，故選A
【答案】A
【點評】本題考查直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”應用.
二.填空題
7.( 2012巴中)已知a、b、c是△ABC的三邊長,且滿足關系c2-a2-b2 +|a-b|=0,則△ABC的形狀為______
【解析】由關系c2-a2-b2 +|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 應填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【點評】本題考查非負數(shù)的一個性質: “兩個非負數(shù)之和為零時,這兩個非負數(shù)同時為零.”及勾股定理逆定理的應用.
8（2012瀘州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，則BC= .
解析：在直角三角形中，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊
的一半，所以BC= AB= ×6=3（cm）.
答案：3cm.
點評：30°所對的直角邊等于斜邊的一半，是直角三角形性質，
要注意前提條件是直角三角形.
9.（2012青島）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm.
【解析】將圓柱展開，AB= ．
【答案】15
【點評】本題考查圓柱的側面展開為矩形，關鍵是在矩形上找出A和B兩點的位置，據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果．“化曲面為平面”，利用勾股定理解決．要注意展開后有一直角邊長是9cm而不是18 cm.
10．（2012河北）如圖7， 相交于點 ， 于點 ，若 ，則 等于 ．
對頂角相等，直角三角形兩銳角互余
觀察圖形得知 與 是對頂角， ，又在 中，兩銳角互余，
11.（2012南州）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點M的坐標為（ ）
A、（2，0） B、（ ） C、（ ） D、（ ）
解析：在 中， ，所以 ，所以 ，故 .
答案：C.
點評：本題考查矩形、勾股定理、圓弧及數(shù)軸知識，是一道綜合性的題目，比較簡單，難度較小.
12．（2012臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE= cm．
考點：直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質。
解答：解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中， ，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3cm．
故答案為：3．
13.（2012陜西）如圖，從點 發(fā)出的一束光，經 軸反射，過點 ，則這束光從點 到點 所經過路徑的長為 ．
【解析】設這一束光與 軸交與點 ，作點 關于 軸的對稱點 ，過 作 軸
于點 ．由反射的性質，知 這三點在同一條直線上．再由軸對稱的性質知 ．則 ．
由題意得 ， ，由勾股定理，得 ．所以 ．
【答案】
【點評】本題從物理學角度綜合考查了平面直角坐標系中點的坐標應用、
軸對稱性質以及勾股定理等.難度中等
14．（2012•資陽）直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是 10或8?。?BR> 考點： 三角形的外接圓與外心；勾股定理。
專題： 探究型。
分析： 直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況：①16為斜邊長；②16和12為兩條直角邊長，由勾股定理易求得此直角三角形的斜邊長，進而可求得外接圓的半徑．
解答： 解：由勾股定理可知：
①當直角三角形的斜邊長為16時，這個三角形的外接圓半徑為8；
②當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長= =20，
因此這個三角形的外接圓半徑為10．
綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于8或10．
故答案為：10或8．
點評： 本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．
15．（2012無錫） 如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中點．現(xiàn)將△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，F(xiàn)G交AC于H，則GH的長等于 3 cm．
考點：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質；平移的性質。
分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性質推知GH∥CD；最后根據(jù)平行線截線段成比例列出比例式，即可求得GH的長度．
解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中點，
∴AD=BD=CD=AB=4cm；
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，
∴GH∥CD，GD=1cm，
∴ = ，即 = ，
解得，GH=3cm；
故答案是：3．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、平移的性質．運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得相關線段的長度是解答此題的關鍵．
16.(2012黔西南州)如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，則四邊形ACEB的周長為______________．
【解析】由于∠ACB=90°，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四邊形ACED是平行四邊形，所以DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD2―DE2=23．又因為D是BC的中點，所以 BC=2CD=43．
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC2+BC2=213．
因為D是BC的中點，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四邊形ACEB的周長=AC+CE+BE+BA=10+213．
【答案】10＋213．
【點評】本題是一個幾何的綜合計算題，盡管難度不大，但綜合考查了平行四邊形、垂直平分線的性質和判定，理清思路，找準圖形中的相等線段，并不難解決．
三.解答題
17．（2012菏澤）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：
（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；
（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與△ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）．
考點：作圖—相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。
解答：解：（1）根據(jù)勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5；
顯然有AB2+AC2=BC2，
根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC 為直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
根據(jù)勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5，
DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ．
= = = ，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如圖：連接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，
AB=2 ，AC= ，BC=5，
∴ = = = ，
∴，△ABC∽△P2P4 P5．
2011年全國各地中考數(shù)學真題分類匯編
第24章 直角三角形與勾股定理
一、選擇題
1. （2011山東濱州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,則邊AC的長約為(精確到0.1)（ ）
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
【答案】C
2. （2011山東煙臺，7,4分）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）是（ ）
A2m B.3m
C.6m D.9m
【答案】C
3. （2011臺灣全區(qū)，29）已知小龍、阿虎兩人均在同一地點，若小龍向北直走160公尺，再向東直走
80公尺后，可到神仙百貨，則阿虎向西直走多少公尺后，他與神仙百貨的距離為340公尺？
A． 100 B． 180 C． 220 D． 260
【答案】Ｃ
4. （2011湖北黃石，7，3分）將一個有45度角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖(3)，則三角板的邊的長為
A. 3cm B. 6cm C. 3 cm D. 6 cm
【答案】D
5. （2011貴州貴陽，7，3分）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是
（第7題圖）
（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7
【答案】D
6. （2011河北，9，3分）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分別在AB,AC上，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
7.
8.
二、填空題
1. （2011山東德州13,4分）下列命題中，其逆命題成立的是______________．（只填寫序號）
①同旁內角互補，兩直線平行；
②如果兩個角是直角，那么它們相等；
③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；
④如果三角形的三邊長a，b，c滿足 ，那么這個三角形是直角三角形．
【答案】① ④
2. （2011浙江溫州，16，5分）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1,S2，S3．
若S1，S2，S3＝10，則S2的值是 ．
【答案】
3. (2011重慶綦江，16，4分) 一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長為2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 當正方形DEFH運動到什么位置,即當AE＝ 米時,有DC＝AE＋BC.
【答案】：
4. （2011四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么 ”的逆命題改寫成“如果……，那么……”的形式：
。
【答案】如果三角形三邊長a，b，c，滿足 ，那么這個三角形是直角三角形
5. （2011江蘇無錫，16，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD = 5cm，
則EF = _________cm．
【答案】5
6. （2011廣東肇慶，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，則AB＝ ▲ ．
【答案】15
7. （2011貴州安順，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，那么△ADC′的面積是 ．
【答案】6cm2
8. （2011山東棗莊，15，4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若 =14cm，則陰影部分的面積是________cm2.
【答案】
9.
10．
三、解答題
1. （2011四川廣安，28，10分）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造．測得兩直角邊長為6m、8m.現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴建后的等腰三角形花圃的周長．
【答案】由題意可得，花圃的周長=8+8+ =16+
2. （2011四川綿陽23，12）
王偉準備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.
(1)請用a表示第三條邊長；
(2)問第一條邊長可以為7米嗎？為什么?請說明理由，并求出a的取值范圍；
(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法;若不能，請說明理由.
【答案】(1)第一條邊為a,第二條邊為2a+2,第三條邊為30-a-（2a+2）=28-3a
(2)不可以是7，∵第一條邊為7，第二條邊為16，第三條邊為7，不滿足三邊之間的關系，不可以構成三角形。132＞a＞5
(3)5,12,13,可以圍成一個滿足條件的直角三角形
4. （2011四川樂山25，12分）如圖,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,點E在AC上,BE交CD于點G,EF⊥BE交AB于點F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n為實數(shù)).試探究線段EF與EG的數(shù)量關系.
1． 如圖(14.2),當m=1,n=1時,EF與EG的數(shù)量關系是
證明:
2． 如圖(14.3),當m=1,n為任意實數(shù)時,EF與EG的數(shù)量關系是
證明
3． 如圖(14.1),當m,n均為任意實數(shù)時,EF與EG的數(shù)量關系是
(寫出關系式,不必證明)
5. （2011四川樂山18，3分）如圖，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數(shù)。
【答案】
解：∵AD平分∠CAD
∴∠CAD=∠BAD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD,∠B=∠BAD
∴∠CAD=∠BAD=∠B
∵在RtΔABC中，∠C=90º
∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º
∴∠B=30º
6. （2011山東棗莊，21，8分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1）畫線段AD∥BC且使AD =BC，連接CD；
（2）線段AC的長為 ，CD的長為 ，AD的長為 ；
（3）△ACD為 三角形，四邊形ABCD的面積為 ；
（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是 ．
解：（1）如圖； ……………………………1分
（2） ， ，5； ………………4分
（3）直角，10； ……………………6分
（4） ． ……………………………8分
2010年全國各地中考數(shù)學真題分類匯編
第24章 直角三角形與勾股定理
一、選擇題
1．（2010 浙江臺州市）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，點P是邊BC上的動點，
則AP長不可能是(▲)
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
2．（2010山東臨沂）如圖， 和 都是邊長為4的等邊三角形，點 、 、 在同一條直線上，連接 ，則 的長為
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
3．（2010 四川瀘州）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，則該三角形為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C． 鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
4．（2010 廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6 cm、BC＝8 cm，
現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為
（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm
【答案】B
5．（2010廣西南寧）圖1中，每個小正方形的邊長為1， 的三邊 的大小關系式：
（A） （B）
（C） （D） 圖1
【答案】C
6．（2010廣東湛江）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
【答案】C
二、填空題
1．（10湖南益陽）如圖4，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E為AC中點，則DE＝ ?。?BR> 【答案】4
2．（2010遼寧丹東市）已知△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是 ．
【答案】
3．（2010 浙江省溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊_PQ上，那么APQR的周長等于 ．
【答案】
4．（2010四川宜賓）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，則邊BC的長為 ．
【答案】2
5．（2010湖北鄂州）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中點，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD= ，則AB= ．
【答案】12
6．（2010河南）如圖，Rt△ABC中，∠C= , ∠ABC= ，AB=6.點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B、C重合），且DA=DE，則AD的取值范圍是 .
【答案】2≦ AD < 3
7．（2010四川樂山）如圖（4），在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠ACD=40°,則∠EBC=______.
【答案】140°
8．（2010四川樂山）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值．圖（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S1，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S2¬，…，第n個正方形和第n個直角三角形的面積之和為Sn．設第一個正方形的邊長為1．
圖（6）
請解答下列問題：
（1）S1＝__________；
（2）通過探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn＝¬¬¬¬¬¬__________．
【答案】1＋38；(1＋38)•(34)n -1(n為整數(shù))
9．（2010 江蘇鎮(zhèn)江）如圖， ，DE過點C，且DE//AB，若 ，則
∠A= ，∠B= .
【答案】
10．（2010 廣西玉林、防城港）兩塊完全一樣的含30角的三角板重疊在一起，若繞長直角邊中點M轉動，使上面一塊的斜邊剛好過下面一塊的直角頂點，如圖6，∠A＝ ，AC＝10，則此時兩直角頂點C、 間的距離是 。
【答案】5
11．（2010 福建泉州南安）將一副三角板擺放成如圖所示，圖中 度．
【答案】120
12．（2010 廣西欽州市）一個承重架的結構如圖所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ ▲_°．
【答案】65
13．（2010 山東淄博）如圖是由4個邊長為1的正方形構成的“田字格”．只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為 的線段__________條.
【答案】8
14．（2010年山西）在 D是AB的中點，CD=4cm，
則AB= cm。
【答案】8
15．（2010黑龍江綏化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，則線段BD的長為 。
【答案】4或 或
三、解答題
1．（2010浙江杭州） (本小題滿分10分)
如圖，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上.
(1) 求證：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD = BD，設BD = a，求BC的長.
【答案】
(1) ∵ BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上， ∴ DBA = CAE,
又∵ , ∴ △ABD∽△CAE. --- 4分
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ，
(第22題)
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴D =90°,
由（1）得 E =D = 90°,
∵ AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 ,
（第23題）
∴ BC = a . --- 6分
2．（2010 湖北孝感）（本題滿分10分）
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（3分）
以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以 為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；（4分）
利用圖2中的直角梯形，我們可以證明 其證明步驟如下：
= 。
又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小關系），即 ，
（3分）
【答案】
如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么
…………3分
說明：只有文字語言，沒有符號語言給2分。
≌
又
…………5分
整理，得 …………7分
…………10分
3．（2010 山東荷澤）（本題滿分8分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5㎝，求AB的長．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線
∴∠ABD＝∠CBD＝30°
∴AD＝DB
又∵Rt△CBD中，CD＝5㎝
∴BD＝10㎝
∴BC＝ ㎝，AC＝2BC＝ ㎝
1．（2012•廣州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（ ?。?BR> A． B． C． D．
考點： 勾股定理；點到直線的距離；三角形的面積。
專題： 計算題。
分析： 根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，然后過C作CD垂直于AB，由直角三角形的面積可以由兩直角邊乘積的一半來求，也可以由斜邊AB乘以斜邊上的高CD除以2來求，兩者相等，將AC，AB及BC的長代入求出CD的長，即為C到AB的距離．
解答： 解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，如圖所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根據(jù)勾股定理得：AB= =15，
過C作CD⊥AB，交AB于點D，
又S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD= = = ，
則點C到AB的距離是 ．
故選A
點評： 此題考查了勾股定理，點到直線的距離，以及三角形面積的求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
2.（2012畢節(jié)）如圖.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E式垂足，連接CD，若BD=1，則AC的長是（ ）
A.2 B.2 C.4 D. 4
解析：求出∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，
求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，
∵DE垂直平分斜邊AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，∴CD=2=AD，∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB= ，在△ABC中，由勾股定理得：AC= = ，故選A．
點評：本題考查了線段垂直平分線，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理等知識點的應用，主要考查學生運用這些定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，難度適中．
3.（2012湖州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB邊上的中線，則CD的長是（ ）
A.20 B.10 C.5 D.
【解析】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故CD= AB= ×10=5.
【答案】選：C．
【點評】此題考查的是直角三角形的性質，屬于基礎題。
4.（2012安徽）在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2、4、3，則原直角三角形紙片的斜邊長是（ ）
A.10 B. C. 10或 D.10或
解析：考慮兩種情況．要分清從斜邊中點向哪個邊沿著垂線段過去裁剪的.
解答：解：如下圖， ，
故選C．
點評：在幾何題沒有給出圖形時，有的同學會忽略掉其中一種情況，錯選A或B；故解決本題先畫出圖形，運用數(shù)形結合和分類討論的數(shù)學思想進行解答，避免出現(xiàn)漏解．
5. （2012•荊門）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（ ?。?BR> A． B． C． D．
解析：根據(jù)勾股定理，AB= =2 ，
BC= = ，
AC= = ，
所以△ABC的三邊之比為 ：2 ： =1：2： ，
A、三角形的三邊分別為2， = ， =3 ，三邊之比為2： ：3 = ： ：3，故本選項錯誤；
B、三角形的三邊分別為2，4， =2 ，三邊之比為2：4：2 =1：2： ，故本選項正確；
C、三角形的三邊分別為2，3， = ，三邊之比為2：3： ，故本選項錯誤；
D、三角形的三邊分別為 = ， = ，4，三邊之比為 ： ：4，故本選項錯誤．
故選B．
6. ( 2012巴中)如圖3，已知AD是△ABC的
BC邊上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是( )
A.AB=AC B.∠BAC=900
C.BD=AC D.∠B=450
【解析】由條件A,與直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”
可判定△ABD≌△ACD，其它條件均不能使
△ABD≌△ACD，故選A
【答案】A
【點評】本題考查直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”應用.
二.填空題
7.( 2012巴中)已知a、b、c是△ABC的三邊長,且滿足關系c2-a2-b2 +|a-b|=0,則△ABC的形狀為______
【解析】由關系c2-a2-b2 +|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ是等腰直角三角形. 應填等腰直角三角形.
【答案】等腰直角三角形
【點評】本題考查非負數(shù)的一個性質: “兩個非負數(shù)之和為零時,這兩個非負數(shù)同時為零.”及勾股定理逆定理的應用.
8（2012瀘州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，則BC= .
解析：在直角三角形中，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊
的一半，所以BC= AB= ×6=3（cm）.
答案：3cm.
點評：30°所對的直角邊等于斜邊的一半，是直角三角形性質，
要注意前提條件是直角三角形.
9.（2012青島）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm.
【解析】將圓柱展開，AB= ．
【答案】15
【點評】本題考查圓柱的側面展開為矩形，關鍵是在矩形上找出A和B兩點的位置，據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果．“化曲面為平面”，利用勾股定理解決．要注意展開后有一直角邊長是9cm而不是18 cm.
10．（2012河北）如圖7， 相交于點 ， 于點 ，若 ，則 等于 ．
對頂角相等，直角三角形兩銳角互余
觀察圖形得知 與 是對頂角， ，又在 中，兩銳角互余，
11.（2012南州）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點M的坐標為（ ）
A、（2，0） B、（ ） C、（ ） D、（ ）
解析：在 中， ，所以 ，所以 ，故 .
答案：C.
點評：本題考查矩形、勾股定理、圓弧及數(shù)軸知識，是一道綜合性的題目，比較簡單，難度較小.
12．（2012臨沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點E，使EC=BC，過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F，若EF=5cm，則AE= cm．
考點：直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質。
解答：解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中， ，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5﹣2=3cm．
故答案為：3．
13.（2012陜西）如圖，從點 發(fā)出的一束光，經 軸反射，過點 ，則這束光從點 到點 所經過路徑的長為 ．
【解析】設這一束光與 軸交與點 ，作點 關于 軸的對稱點 ，過 作 軸
于點 ．由反射的性質，知 這三點在同一條直線上．再由軸對稱的性質知 ．則 ．
由題意得 ， ，由勾股定理，得 ．所以 ．
【答案】
【點評】本題從物理學角度綜合考查了平面直角坐標系中點的坐標應用、
軸對稱性質以及勾股定理等.難度中等
14．（2012•資陽）直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是 10或8?。?BR> 考點： 三角形的外接圓與外心；勾股定理。
專題： 探究型。
分析： 直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況：①16為斜邊長；②16和12為兩條直角邊長，由勾股定理易求得此直角三角形的斜邊長，進而可求得外接圓的半徑．
解答： 解：由勾股定理可知：
①當直角三角形的斜邊長為16時，這個三角形的外接圓半徑為8；
②當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長= =20，
因此這個三角形的外接圓半徑為10．
綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于8或10．
故答案為：10或8．
點評： 本題考查的是直角三角形的外接圓半徑，重點在于理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．
15．（2012無錫） 如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中點．現(xiàn)將△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，F(xiàn)G交AC于H，則GH的長等于 3 cm．
考點：直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質；平移的性質。
分析：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性質推知GH∥CD；最后根據(jù)平行線截線段成比例列出比例式，即可求得GH的長度．
解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中點，
∴AD=BD=CD=AB=4cm；
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，
∴GH∥CD，GD=1cm，
∴ = ，即 = ，
解得，GH=3cm；
故答案是：3．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、平移的性質．運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得相關線段的長度是解答此題的關鍵．
16.(2012黔西南州)如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中點，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，則四邊形ACEB的周長為______________．
【解析】由于∠ACB=90°，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四邊形ACED是平行四邊形，所以DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD2―DE2=23．又因為D是BC的中點，所以 BC=2CD=43．
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC2+BC2=213．
因為D是BC的中點，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四邊形ACEB的周長=AC+CE+BE+BA=10+213．
【答案】10＋213．
【點評】本題是一個幾何的綜合計算題，盡管難度不大，但綜合考查了平行四邊形、垂直平分線的性質和判定，理清思路，找準圖形中的相等線段，并不難解決．
三.解答題
17．（2012菏澤）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：
（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；
（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與△ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）．
考點：作圖—相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定。
解答：解：（1）根據(jù)勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5；
顯然有AB2+AC2=BC2，
根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC 為直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
根據(jù)勾股定理，得AB=2 ，AC= ，BC=5，
DE=4 ，DF=2 ，EF=2 ．
= = = ，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如圖：連接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5= ，P2P4= ，P4P5=2 ，
AB=2 ，AC= ，BC=5，
∴ = = = ，
∴，△ABC∽△P2P4 P5．
2011年全國各地中考數(shù)學真題分類匯編
第24章 直角三角形與勾股定理
一、選擇題
1. （2011山東濱州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,則邊AC的長約為(精確到0.1)（ ）
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
【答案】C
2. （2011山東煙臺，7,4分）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長（計算時視管道為線，中心O為點）是（ ）
A2m B.3m
C.6m D.9m
【答案】C
3. （2011臺灣全區(qū)，29）已知小龍、阿虎兩人均在同一地點，若小龍向北直走160公尺，再向東直走
80公尺后，可到神仙百貨，則阿虎向西直走多少公尺后，他與神仙百貨的距離為340公尺？
A． 100 B． 180 C． 220 D． 260
【答案】Ｃ
4. （2011湖北黃石，7，3分）將一個有45度角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖(3)，則三角板的邊的長為
A. 3cm B. 6cm C. 3 cm D. 6 cm
【答案】D
5. （2011貴州貴陽，7，3分）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是
（第7題圖）
（A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7
【答案】D
6. （2011河北，9，3分）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分別在AB,AC上，將△ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處，若A′為CE的中點，則折痕DE的長為（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
7.
8.
二、填空題
1. （2011山東德州13,4分）下列命題中，其逆命題成立的是______________．（只填寫序號）
①同旁內角互補，兩直線平行；
②如果兩個角是直角，那么它們相等；
③如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等；
④如果三角形的三邊長a，b，c滿足 ，那么這個三角形是直角三角形．
【答案】① ④
2. （2011浙江溫州，16，5分）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1,S2，S3．
若S1，S2，S3＝10，則S2的值是 ．
【答案】
3. (2011重慶綦江，16，4分) 一個正方體物體沿斜坡向下滑動，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長為2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 當正方形DEFH運動到什么位置,即當AE＝ 米時,有DC＝AE＋BC.
【答案】：
4. （2011四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么 ”的逆命題改寫成“如果……，那么……”的形式：
。
【答案】如果三角形三邊長a，b，c，滿足 ，那么這個三角形是直角三角形
5. （2011江蘇無錫，16，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若CD = 5cm，
則EF = _________cm．
【答案】5
6. （2011廣東肇慶，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，則AB＝ ▲ ．
【答案】15
7. （2011貴州安順，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，使點C落在AB邊的C′點，那么△ADC′的面積是 ．
【答案】6cm2
8. （2011山東棗莊，15，4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若 =14cm，則陰影部分的面積是________cm2.
【答案】
9.
10．
三、解答題
1. （2011四川廣安，28，10分）某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造．測得兩直角邊長為6m、8m.現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形．求擴建后的等腰三角形花圃的周長．
【答案】由題意可得，花圃的周長=8+8+ =16+
2. （2011四川綿陽23，12）
王偉準備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.
(1)請用a表示第三條邊長；
(2)問第一條邊長可以為7米嗎？為什么?請說明理由，并求出a的取值范圍；
(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法;若不能，請說明理由.
【答案】(1)第一條邊為a,第二條邊為2a+2,第三條邊為30-a-（2a+2）=28-3a
(2)不可以是7，∵第一條邊為7，第二條邊為16，第三條邊為7，不滿足三邊之間的關系，不可以構成三角形。132＞a＞5
(3)5,12,13,可以圍成一個滿足條件的直角三角形
4. （2011四川樂山25，12分）如圖,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足為D,點E在AC上,BE交CD于點G,EF⊥BE交AB于點F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n為實數(shù)).試探究線段EF與EG的數(shù)量關系.
1． 如圖(14.2),當m=1,n=1時,EF與EG的數(shù)量關系是
證明:
2． 如圖(14.3),當m=1,n為任意實數(shù)時,EF與EG的數(shù)量關系是
證明
3． 如圖(14.1),當m,n均為任意實數(shù)時,EF與EG的數(shù)量關系是
(寫出關系式,不必證明)
5. （2011四川樂山18，3分）如圖，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數(shù)。
【答案】
解：∵AD平分∠CAD
∴∠CAD=∠BAD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD,∠B=∠BAD
∴∠CAD=∠BAD=∠B
∵在RtΔABC中，∠C=90º
∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º
∴∠B=30º
6. （2011山東棗莊，21，8分）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1）畫線段AD∥BC且使AD =BC，連接CD；
（2）線段AC的長為 ，CD的長為 ，AD的長為 ；
（3）△ACD為 三角形，四邊形ABCD的面積為 ；
（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是 ．
解：（1）如圖； ……………………………1分
（2） ， ，5； ………………4分
（3）直角，10； ……………………6分
（4） ． ……………………………8分
2010年全國各地中考數(shù)學真題分類匯編
第24章 直角三角形與勾股定理
一、選擇題
1．（2010 浙江臺州市）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，點P是邊BC上的動點，
則AP長不可能是(▲)
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
2．（2010山東臨沂）如圖， 和 都是邊長為4的等邊三角形，點 、 、 在同一條直線上，連接 ，則 的長為
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
3．（2010 四川瀘州）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，則該三角形為（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C． 鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
4．（2010 廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6 cm、BC＝8 cm，
現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為
（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm
【答案】B
5．（2010廣西南寧）圖1中，每個小正方形的邊長為1， 的三邊 的大小關系式：
（A） （B）
（C） （D） 圖1
【答案】C
6．（2010廣東湛江）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（ ）
A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.4，5，6
【答案】C
二、填空題
1．（10湖南益陽）如圖4，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E為AC中點，則DE＝ ?。?BR> 【答案】4
2．（2010遼寧丹東市）已知△ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰Rt△ADE，…，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是 ．
【答案】
3．（2010 浙江省溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理．在右圖的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，點H在邊QR上，點D，E在邊PR上，點G，F(xiàn)在邊_PQ上，那么APQR的周長等于 ．
【答案】
4．（2010四川宜賓）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，則邊BC的長為 ．
【答案】2
5．（2010湖北鄂州）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中點，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD= ，則AB= ．
【答案】12
6．（2010河南）如圖，Rt△ABC中，∠C= , ∠ABC= ，AB=6.點D在AB邊上，點E是BC邊上一點（不與點B、C重合），且DA=DE，則AD的取值范圍是 .
【答案】2≦ AD < 3
7．（2010四川樂山）如圖（4），在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠ACD=40°,則∠EBC=______.
【答案】140°
8．（2010四川樂山）勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值．圖（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹主干自下而上第一個正方形和第一個直角三角形的面積之和為S1，第二個正方形和第二個直角三角形的面積之和為S2¬，…，第n個正方形和第n個直角三角形的面積之和為Sn．設第一個正方形的邊長為1．
圖（6）
請解答下列問題：
（1）S1＝__________；
（2）通過探究，用含n的代數(shù)式表示Sn，則Sn＝¬¬¬¬¬¬__________．
【答案】1＋38；(1＋38)•(34)n -1(n為整數(shù))
9．（2010 江蘇鎮(zhèn)江）如圖， ，DE過點C，且DE//AB，若 ，則
∠A= ，∠B= .
【答案】
10．（2010 廣西玉林、防城港）兩塊完全一樣的含30角的三角板重疊在一起，若繞長直角邊中點M轉動，使上面一塊的斜邊剛好過下面一塊的直角頂點，如圖6，∠A＝ ，AC＝10，則此時兩直角頂點C、 間的距離是 。
【答案】5
11．（2010 福建泉州南安）將一副三角板擺放成如圖所示，圖中 度．
【答案】120
12．（2010 廣西欽州市）一個承重架的結構如圖所示，如果∠1＝155°，那么∠2＝_ ▲_°．
【答案】65
13．（2010 山東淄博）如圖是由4個邊長為1的正方形構成的“田字格”．只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為 的線段__________條.
【答案】8
14．（2010年山西）在 D是AB的中點，CD=4cm，
則AB= cm。
【答案】8
15．（2010黑龍江綏化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊，在△ABC外部作等腰直角三角形 ACD ，則線段BD的長為 。
【答案】4或 或
三、解答題
1．（2010浙江杭州） (本小題滿分10分)
如圖，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上.
(1) 求證：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD = BD，設BD = a，求BC的長.
【答案】
(1) ∵ BD∥AC，點B，A，E在同一條直線上， ∴ DBA = CAE,
又∵ , ∴ △ABD∽△CAE. --- 4分
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =2 BD ，
(第22題)
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴D =90°,
由（1）得 E =D = 90°,
∵ AE= BD , EC = AD = BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD + BD )2 + ( BD)2 = BD2 = 12a2 ,
（第23題）
∴ BC = a . --- 6分
2．（2010 湖北孝感）（本題滿分10分）
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（3分）
以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以 為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；（4分）
利用圖2中的直角梯形，我們可以證明 其證明步驟如下：
= 。
又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小關系），即 ，
（3分）
【答案】
如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么
…………3分
說明：只有文字語言，沒有符號語言給2分。
≌
又
…………5分
整理，得 …………7分
…………10分
3．（2010 山東荷澤）（本題滿分8分）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5㎝，求AB的長．
【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線
∴∠ABD＝∠CBD＝30°
∴AD＝DB
又∵Rt△CBD中，CD＝5㎝
∴BD＝10㎝
∴BC＝ ㎝，AC＝2BC＝ ㎝