第二節(jié) 離散程度的測度
離散程度是指數(shù)據(jù)之間的差異程度或頻數(shù)分布的分散程度。
集中趨勢的測試值是對數(shù)據(jù)一般水平的一個概括性變量，它對一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢的測試值對該組數(shù)據(jù)的代表性就越差，離散程度越小，其代表性就越好。
離散程度的測度，主要包括極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。
(一)極差
1、含義：極差是簡單的變異指標(biāo)。它就是總體或分布大的標(biāo)志值與小的標(biāo)志值之差，又稱全距，用R表示。
2、計算公式
3、極差反映的是變量分布的變異范圍或離散幅度，在總體中任何兩個單位的標(biāo)志值之差都不可能超過極差。極差計算簡單，含義直觀，運用方便。但它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況，同時易受極端值的影響。
(二)標(biāo)準(zhǔn)差和方差
1、含義：方差：總體所有單位標(biāo)志值與其平均數(shù)離差之平方的平均數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根，用 表示。
2、計算：
(1)未整理的原始數(shù)據(jù)
(2)用于分組數(shù)據(jù)
標(biāo)準(zhǔn)差和方差是應(yīng)用廣泛的統(tǒng)計離散程度的測度方法。
見教材207頁。
(三)離散系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù))
1、極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對值，其數(shù)值大小收到變量值水平高低和計量單位的影響。
2、為消除變量值水平高低和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散系數(shù)。
離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來計算的，因此也稱標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)之比，是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對指標(biāo)，用 表示。
離散系數(shù)主要是用于比較對不同組別數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就小。
【例題14：2008年單選題】標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的()之比。
A算數(shù)平均數(shù)
B極值
C眾數(shù)
D幾何平均數(shù)
答案：A
【例題15：2004年單選題】某學(xué)校學(xué)生的平均年齡為20歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3歲;該校教師的平均年齡為38歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3 歲。比較該校學(xué)生年齡和教師年齡的離散程度，則( )。
A.學(xué)生年齡和教師年齡的離散程度相同
B.教師年齡的離散程度大一些
C.教師年齡的離散程度是學(xué)生年齡離散程度的1.9倍
D.學(xué)生年齡的離散程度大一些
答案：D
解析：平均值不同的情況下，用離散系數(shù)比較離散程度。
學(xué)生年齡的離散系數(shù)=3/20*100%=15%
教師年齡的離散系數(shù)=3/38*100%=7.89%
離散系數(shù)大的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就小。
【例題16：2005年、2004年單選題】如果兩組數(shù)據(jù)是以不同計量單位來表示的，則比較其離散程度的測度值是( )。
A.離散系數(shù)
B.標(biāo)準(zhǔn)差
C.方差
D.極差
答案：A
解析：為消除變量值水平高低和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散系數(shù)
【例題17：課后題第15題】反映數(shù)據(jù)離散程度的絕對值的指標(biāo)是( )
A算術(shù)平均數(shù)
B 極差
C方差
D 離散系數(shù)
E 標(biāo)準(zhǔn)差
答案：BCE
離散程度是指數(shù)據(jù)之間的差異程度或頻數(shù)分布的分散程度。
集中趨勢的測試值是對數(shù)據(jù)一般水平的一個概括性變量，它對一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢的測試值對該組數(shù)據(jù)的代表性就越差，離散程度越小，其代表性就越好。
離散程度的測度，主要包括極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。
(一)極差
1、含義：極差是簡單的變異指標(biāo)。它就是總體或分布大的標(biāo)志值與小的標(biāo)志值之差，又稱全距，用R表示。
2、計算公式
3、極差反映的是變量分布的變異范圍或離散幅度，在總體中任何兩個單位的標(biāo)志值之差都不可能超過極差。極差計算簡單，含義直觀，運用方便。但它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況，同時易受極端值的影響。
(二)標(biāo)準(zhǔn)差和方差
1、含義：方差：總體所有單位標(biāo)志值與其平均數(shù)離差之平方的平均數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根，用 表示。
2、計算：
(1)未整理的原始數(shù)據(jù)
(2)用于分組數(shù)據(jù)
標(biāo)準(zhǔn)差和方差是應(yīng)用廣泛的統(tǒng)計離散程度的測度方法。
見教材207頁。
(三)離散系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù))
1、極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對值，其數(shù)值大小收到變量值水平高低和計量單位的影響。
2、為消除變量值水平高低和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散系數(shù)。
離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來計算的，因此也稱標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。它是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)之比，是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對指標(biāo)，用 表示。
離散系數(shù)主要是用于比較對不同組別數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就小。
【例題14：2008年單選題】標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的()之比。
A算數(shù)平均數(shù)
B極值
C眾數(shù)
D幾何平均數(shù)
答案：A
【例題15：2004年單選題】某學(xué)校學(xué)生的平均年齡為20歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3歲;該校教師的平均年齡為38歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3 歲。比較該校學(xué)生年齡和教師年齡的離散程度，則( )。
A.學(xué)生年齡和教師年齡的離散程度相同
B.教師年齡的離散程度大一些
C.教師年齡的離散程度是學(xué)生年齡離散程度的1.9倍
D.學(xué)生年齡的離散程度大一些
答案：D
解析：平均值不同的情況下，用離散系數(shù)比較離散程度。
學(xué)生年齡的離散系數(shù)=3/20*100%=15%
教師年齡的離散系數(shù)=3/38*100%=7.89%
離散系數(shù)大的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就小。
【例題16：2005年、2004年單選題】如果兩組數(shù)據(jù)是以不同計量單位來表示的，則比較其離散程度的測度值是( )。
A.離散系數(shù)
B.標(biāo)準(zhǔn)差
C.方差
D.極差
答案：A
解析：為消除變量值水平高低和計量單位不同對離散程度測度值的影響，需要計算離散系數(shù)
【例題17：課后題第15題】反映數(shù)據(jù)離散程度的絕對值的指標(biāo)是( )
A算術(shù)平均數(shù)
B 極差
C方差
D 離散系數(shù)
E 標(biāo)準(zhǔn)差
答案：BCE