一、選擇題（每小題6分，共30分）
1．王老師組織學(xué)生舉行了一次手抄報(bào)活動，最后把十名優(yōu)秀者的手抄報(bào)粘合在一起，在教室里展出．如圖1，已知每張報(bào)紙長為38cm，寬為28cm，粘合部分的紙為2cm寬，則這10張報(bào)紙粘合后的長度為（ ?。?BR> A．360cm B．362cm C．364cm D．380cm
2．電腦上有一個(gè)有趣的“掃雷”游戲，圖2是掃雷游戲的一部分，說明：圖中數(shù)字2表示在以該數(shù)字為中心的周邊8個(gè)方格中有2個(gè)地雷，小旗表示該方格已被探明有地雷，現(xiàn)在還剩下A、B、C三個(gè)方格未被探明，其它地方為安全區(qū)（包括有數(shù)字的方格），則A、B、C三個(gè)方格中有地雷的概率的方格是（ ?。?BR> A．A B．B C．C D．無法確定
3．緊跟2006年第xx屆世界杯足球賽的步伐，師大學(xué)生也舉行了足球比賽，下表是師范大學(xué)四個(gè)系舉行足球單循環(huán)賽的成績：
數(shù)學(xué) 中文 教育 化學(xué)
數(shù)學(xué) × 0∶1② 3∶2 0∶0
中文 1∶0① × 1∶1 3∶0
教育 2∶3 1∶1 × 4∶1
化學(xué) 0∶0 0∶3 1∶4 ×
表中成績欄中的比為行中所有球隊(duì)比賽的進(jìn)球之比．如①表示中文系與數(shù)學(xué)系的比賽中，中文系以1∶0獲勝;②表示與①同一場比賽，數(shù)學(xué)系輸給了中文系．按規(guī)定，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，按得分由多到少排名次，則此次比賽的冠軍隊(duì)是（ ?。?BR> A．?dāng)?shù)學(xué)系 B．中文系 C．教育系 D．化學(xué)系
4．如圖3，A、B、C是固定在桌子上的三根立柱，其中A柱上穿有三個(gè)大小不同的圓片，下面圓片的直徑總比上面的大．現(xiàn)想將這三個(gè)圓片移到B柱上，要求每次只能移動一片(叫移動一次)，被移動的圓片只能放入A、B、C三個(gè)柱之一且較大的圓片不能疊在小圓片的上面，那么完成這件事至少要移動圓片的次數(shù)是（ ?。?BR> A．6 B．7 C．8 D．9
5．秋天的一個(gè)周末，王明的大學(xué)同學(xué)去幫王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同學(xué)（包括王明）繼續(xù)摘梨，一半同學(xué)把梨搬運(yùn)到果園外的車上以備運(yùn)走，結(jié)果梨都摘完了，而需搬運(yùn)的梨還留下一個(gè)人一天的工作量．如果每個(gè)人每搬運(yùn)兩筐梨的時(shí)間就能摘一筐梨，那么王明和他的同學(xué)共（ ?。?BR> A．4人 B．6人 C．8人 D．10人
二、填空題(每小題6分，共30分)
6．王英和張昊今年6月份剛畢業(yè)，同去一家公司進(jìn)行面試，主管人員對王英和張昊的打分如下表：
王英 張昊
專業(yè)知識 18 16
工作經(jīng)驗(yàn) 16 18
儀表形象 18 21
已知此公司對專業(yè)知識、工作經(jīng)驗(yàn)和儀表形象這三方面的重要性要求是6∶3∶1，那么
被錄用的可能性大．
7．如圖4，高娃承包了一塊三角形草地，他把草地分成東、南、西、北四塊分別牧羊，一段時(shí)間后他發(fā)現(xiàn)：西邊的草地可以放牧5只羊，南邊的草地可以放牧10只羊，東邊的草地可以放牧8只羊，則北邊那塊草地可以放牧 只羊．
8．為了美化環(huán)境，凈化城市的天空，某市要將建在西里（城中村）的一座高50m的煙囪拆除，由于煙囪附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若煙囪折斷時(shí)，頂端下來正好砸在距煙囪底部10m的地方最安全，那么按以上要求該煙囪應(yīng)從底部向上 米處折斷．
9．彈子盤為長方形ABCD，四角有洞，彈子從A出發(fā)，路線與小正方形的邊成45°角，撞到邊界即反彈（如圖5所示）．AB=4，AD=3，彈子最后落入B洞．那么，當(dāng)AB=9，AD=8時(shí)，彈子最后落入 洞，在落入洞之前，撞擊BC邊 次．
10．In figure 6，Suppose A is Mary＇s home． B is Mary＇s school． Mary walks to school every day ．From the map we know that there are many shortest ways to the school ．How many do you know?(Just from A to B)
Answer: ?。?BR> 三、解答題（每小題15分，共60分）
11．李紅和張靜的移動電話收費(fèi)方式不同，她們都認(rèn)為自己所用的卡收費(fèi)低．已知李紅用的“便民卡”與張靜用的“如意卡”每月（30天）的通話時(shí)間x（分鐘）與通話費(fèi)y（元）的關(guān)系如圖7．
請你計(jì)算一下，李紅和張靜的說法誰對？根據(jù)一個(gè)月內(nèi)使用情況分析哪種卡便宜？
12．如圖8是一層樓梯ABC的剖面示意圖，請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解釋，為什么樓的每層樓梯ABC的往復(fù)轉(zhuǎn)折處的回廊BD都在每層樓高EF的中間位置，這樣的設(shè)計(jì)有什么現(xiàn)實(shí)意義？
13．建筑業(yè)有這樣一個(gè)規(guī)定：房屋的窗戶面積應(yīng)小于房屋內(nèi)地面的面積．根據(jù)采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地面面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比例越大，住宅的采光條件越好．
問：（1）如果同時(shí)增加相等的窗戶和地面的面積，房屋的采光條件是變好還是變壞？請說明理由．
（2）通過（1）的解答，你發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)論是什么？請寫出來．
14．如圖9，某班進(jìn)行拔河比賽，一共有兩個(gè)老師，一個(gè)男老師，一個(gè)女老師，六個(gè)學(xué)生，三個(gè)男學(xué)生，三個(gè)女學(xué)生．其中每個(gè)男學(xué)生的力量相同，每個(gè)女學(xué)生的力量相同．
如果有三場比賽的結(jié)果是：
第一場：一個(gè)男老師為一方，五個(gè)同學(xué)（兩男三女）為另一方進(jìn)行比賽，男老師輸了；
第二場：女老師為一方，五個(gè)同學(xué)（一男四女）為另一方進(jìn)行比賽，女老師贏了；
第三場：男老師加一個(gè)男同學(xué)為一方，女老師與三個(gè)女同學(xué)為另一方進(jìn)行比賽，男老師一方贏了．
問：女老師加兩個(gè)男同學(xué)與男老師加上三個(gè)女同學(xué)進(jìn)行比賽，結(jié)果將會怎么樣？為什么？
四、開放題（本題30分）
15．中國古代的兵法是我國前人無數(shù)心血與智慧的結(jié)晶，它里面也蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)思想，如“李代桃僵”．
原文是“桃生露井上，李樹生桃旁，蟲來嗤根，李樹代桃僵．樹木身相代，兄弟還相忘？”原話說，李樹替桃樹受蟲蛀，原比喻兄弟間應(yīng)友愛相幫，后來轉(zhuǎn)喻為互相替代，代換．在軍事謀略中，這是常用之計(jì)．等量代換也是思考數(shù)學(xué)問題的常用方法．
那么，請同學(xué)們編寫一道用等量代換的思考方式解題的數(shù)學(xué)題目，并說明解題思路，寫出詳細(xì)的解題過程．
第xx屆“學(xué)用杯”全國數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽
八年級初賽(B)卷試題參考答案
一、1． B
2． A
3． B
4． B
5． C
二、6．王英
7． 22
8． 24
9． D，4
10． 200
三、11．解：設(shè)便民卡的通話時(shí)間與通話費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系為 ，
由 過(0，30)，(30，35)兩點(diǎn)可得
．
設(shè)如意卡的通話時(shí)間與通話費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系為 ，
由 過(0，0)，(30，15)兩點(diǎn)可得
．
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．
因此李紅和張靜的說法都不正確．
當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為90分鐘時(shí)，使用兩種卡費(fèi)用一樣；
當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間少于90分鐘時(shí)，使用如意卡(張靜用的卡)便宜；
當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間多于90分鐘時(shí)，使用便民卡(李紅用的卡)便宜；
12．如右圖，過回廊BD的端點(diǎn)B作BD的垂線l，并作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′C交直線l于O點(diǎn)，連接AO，分別過A、C作AG、CH垂直于l，垂足分別為G、H．
則有 ，
根據(jù)實(shí)際情況，應(yīng)有 ．
由軸對稱性質(zhì)可知：
，
由此可得 ．
所以 ．
即O為GH的中點(diǎn)時(shí)，折線AOC為最短(兩點(diǎn)C、A′之間線段CA′最短)
現(xiàn)實(shí)意義：只有當(dāng)樓梯ABC的往復(fù)轉(zhuǎn)折處的回廊BD建在每層樓高的中間位置時(shí)，樓梯ABC的長度最短，這樣就最省料，最經(jīng)濟(jì)（造價(jià)最低）．
13．(1)房屋的采光條件變好．理由：設(shè)原來窗戶的面積為 ，地面的面積為 ，且 ，當(dāng)窗戶的面積和地面的面積同時(shí)增加的面積為 時(shí)， 變?yōu)?，而 ，所以采光條件變好．
(2)結(jié)論：對于一個(gè)分式， ，如果這個(gè)分式的分子，分母同時(shí)增加 ，分式的值將增大．
14．解：女老師加兩男同學(xué)一方將戰(zhàn)勝男老師加三個(gè)女同學(xué)一方．
理由：設(shè)A代表男老師，B代表女老師，C代表男同學(xué)，D代表女同學(xué)；不等式中較大的一端代表獲勝方．
已知 ①
②
①、②兩式相加，得 ③
從③式兩端同時(shí)減去 ，得 ④
又已知 ， ⑤
④、⑤兩式相加，得 ⑥
從⑥式兩端同時(shí)減去 ，得 ，即 ⑦
④、⑦兩式相加，得 ．
四、15．答案不惟一
（此題為開放題，要求題目的解法中須用到等量代換，編寫出符合題意的題目即可得15分，說明解題思路得20分，寫出詳細(xì)過程，得滿分）
1．王老師組織學(xué)生舉行了一次手抄報(bào)活動，最后把十名優(yōu)秀者的手抄報(bào)粘合在一起，在教室里展出．如圖1，已知每張報(bào)紙長為38cm，寬為28cm，粘合部分的紙為2cm寬，則這10張報(bào)紙粘合后的長度為（ ?。?BR> A．360cm B．362cm C．364cm D．380cm
2．電腦上有一個(gè)有趣的“掃雷”游戲，圖2是掃雷游戲的一部分，說明：圖中數(shù)字2表示在以該數(shù)字為中心的周邊8個(gè)方格中有2個(gè)地雷，小旗表示該方格已被探明有地雷，現(xiàn)在還剩下A、B、C三個(gè)方格未被探明，其它地方為安全區(qū)（包括有數(shù)字的方格），則A、B、C三個(gè)方格中有地雷的概率的方格是（ ?。?BR> A．A B．B C．C D．無法確定
3．緊跟2006年第xx屆世界杯足球賽的步伐，師大學(xué)生也舉行了足球比賽，下表是師范大學(xué)四個(gè)系舉行足球單循環(huán)賽的成績：
數(shù)學(xué) 中文 教育 化學(xué)
數(shù)學(xué) × 0∶1② 3∶2 0∶0
中文 1∶0① × 1∶1 3∶0
教育 2∶3 1∶1 × 4∶1
化學(xué) 0∶0 0∶3 1∶4 ×
表中成績欄中的比為行中所有球隊(duì)比賽的進(jìn)球之比．如①表示中文系與數(shù)學(xué)系的比賽中，中文系以1∶0獲勝;②表示與①同一場比賽，數(shù)學(xué)系輸給了中文系．按規(guī)定，勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，按得分由多到少排名次，則此次比賽的冠軍隊(duì)是（ ?。?BR> A．?dāng)?shù)學(xué)系 B．中文系 C．教育系 D．化學(xué)系
4．如圖3，A、B、C是固定在桌子上的三根立柱，其中A柱上穿有三個(gè)大小不同的圓片，下面圓片的直徑總比上面的大．現(xiàn)想將這三個(gè)圓片移到B柱上，要求每次只能移動一片(叫移動一次)，被移動的圓片只能放入A、B、C三個(gè)柱之一且較大的圓片不能疊在小圓片的上面，那么完成這件事至少要移動圓片的次數(shù)是（ ?。?BR> A．6 B．7 C．8 D．9
5．秋天的一個(gè)周末，王明的大學(xué)同學(xué)去幫王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同學(xué)（包括王明）繼續(xù)摘梨，一半同學(xué)把梨搬運(yùn)到果園外的車上以備運(yùn)走，結(jié)果梨都摘完了，而需搬運(yùn)的梨還留下一個(gè)人一天的工作量．如果每個(gè)人每搬運(yùn)兩筐梨的時(shí)間就能摘一筐梨，那么王明和他的同學(xué)共（ ?。?BR> A．4人 B．6人 C．8人 D．10人
二、填空題(每小題6分，共30分)
6．王英和張昊今年6月份剛畢業(yè)，同去一家公司進(jìn)行面試，主管人員對王英和張昊的打分如下表：
王英 張昊
專業(yè)知識 18 16
工作經(jīng)驗(yàn) 16 18
儀表形象 18 21
已知此公司對專業(yè)知識、工作經(jīng)驗(yàn)和儀表形象這三方面的重要性要求是6∶3∶1，那么
被錄用的可能性大．
7．如圖4，高娃承包了一塊三角形草地，他把草地分成東、南、西、北四塊分別牧羊，一段時(shí)間后他發(fā)現(xiàn)：西邊的草地可以放牧5只羊，南邊的草地可以放牧10只羊，東邊的草地可以放牧8只羊，則北邊那塊草地可以放牧 只羊．
8．為了美化環(huán)境，凈化城市的天空，某市要將建在西里（城中村）的一座高50m的煙囪拆除，由于煙囪附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若煙囪折斷時(shí)，頂端下來正好砸在距煙囪底部10m的地方最安全，那么按以上要求該煙囪應(yīng)從底部向上 米處折斷．
9．彈子盤為長方形ABCD，四角有洞，彈子從A出發(fā)，路線與小正方形的邊成45°角，撞到邊界即反彈（如圖5所示）．AB=4，AD=3，彈子最后落入B洞．那么，當(dāng)AB=9，AD=8時(shí)，彈子最后落入 洞，在落入洞之前，撞擊BC邊 次．
10．In figure 6，Suppose A is Mary＇s home． B is Mary＇s school． Mary walks to school every day ．From the map we know that there are many shortest ways to the school ．How many do you know?(Just from A to B)
Answer: ?。?BR> 三、解答題（每小題15分，共60分）
11．李紅和張靜的移動電話收費(fèi)方式不同，她們都認(rèn)為自己所用的卡收費(fèi)低．已知李紅用的“便民卡”與張靜用的“如意卡”每月（30天）的通話時(shí)間x（分鐘）與通話費(fèi)y（元）的關(guān)系如圖7．
請你計(jì)算一下，李紅和張靜的說法誰對？根據(jù)一個(gè)月內(nèi)使用情況分析哪種卡便宜？
12．如圖8是一層樓梯ABC的剖面示意圖，請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解釋，為什么樓的每層樓梯ABC的往復(fù)轉(zhuǎn)折處的回廊BD都在每層樓高EF的中間位置，這樣的設(shè)計(jì)有什么現(xiàn)實(shí)意義？
13．建筑業(yè)有這樣一個(gè)規(guī)定：房屋的窗戶面積應(yīng)小于房屋內(nèi)地面的面積．根據(jù)采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地面面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比例越大，住宅的采光條件越好．
問：（1）如果同時(shí)增加相等的窗戶和地面的面積，房屋的采光條件是變好還是變壞？請說明理由．
（2）通過（1）的解答，你發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)論是什么？請寫出來．
14．如圖9，某班進(jìn)行拔河比賽，一共有兩個(gè)老師，一個(gè)男老師，一個(gè)女老師，六個(gè)學(xué)生，三個(gè)男學(xué)生，三個(gè)女學(xué)生．其中每個(gè)男學(xué)生的力量相同，每個(gè)女學(xué)生的力量相同．
如果有三場比賽的結(jié)果是：
第一場：一個(gè)男老師為一方，五個(gè)同學(xué)（兩男三女）為另一方進(jìn)行比賽，男老師輸了；
第二場：女老師為一方，五個(gè)同學(xué)（一男四女）為另一方進(jìn)行比賽，女老師贏了；
第三場：男老師加一個(gè)男同學(xué)為一方，女老師與三個(gè)女同學(xué)為另一方進(jìn)行比賽，男老師一方贏了．
問：女老師加兩個(gè)男同學(xué)與男老師加上三個(gè)女同學(xué)進(jìn)行比賽，結(jié)果將會怎么樣？為什么？
四、開放題（本題30分）
15．中國古代的兵法是我國前人無數(shù)心血與智慧的結(jié)晶，它里面也蘊(yùn)含著許多的數(shù)學(xué)思想，如“李代桃僵”．
原文是“桃生露井上，李樹生桃旁，蟲來嗤根，李樹代桃僵．樹木身相代，兄弟還相忘？”原話說，李樹替桃樹受蟲蛀，原比喻兄弟間應(yīng)友愛相幫，后來轉(zhuǎn)喻為互相替代，代換．在軍事謀略中，這是常用之計(jì)．等量代換也是思考數(shù)學(xué)問題的常用方法．
那么，請同學(xué)們編寫一道用等量代換的思考方式解題的數(shù)學(xué)題目，并說明解題思路，寫出詳細(xì)的解題過程．
第xx屆“學(xué)用杯”全國數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽
八年級初賽(B)卷試題參考答案
一、1． B
2． A
3． B
4． B
5． C
二、6．王英
7． 22
8． 24
9． D，4
10． 200
三、11．解：設(shè)便民卡的通話時(shí)間與通話費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系為 ，
由 過(0，30)，(30，35)兩點(diǎn)可得
．
設(shè)如意卡的通話時(shí)間與通話費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系為 ，
由 過(0，0)，(30，15)兩點(diǎn)可得
．
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ．
因此李紅和張靜的說法都不正確．
當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為90分鐘時(shí)，使用兩種卡費(fèi)用一樣；
當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間少于90分鐘時(shí)，使用如意卡(張靜用的卡)便宜；
當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間多于90分鐘時(shí)，使用便民卡(李紅用的卡)便宜；
12．如右圖，過回廊BD的端點(diǎn)B作BD的垂線l，并作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′C交直線l于O點(diǎn)，連接AO，分別過A、C作AG、CH垂直于l，垂足分別為G、H．
則有 ，
根據(jù)實(shí)際情況，應(yīng)有 ．
由軸對稱性質(zhì)可知：
，
由此可得 ．
所以 ．
即O為GH的中點(diǎn)時(shí)，折線AOC為最短(兩點(diǎn)C、A′之間線段CA′最短)
現(xiàn)實(shí)意義：只有當(dāng)樓梯ABC的往復(fù)轉(zhuǎn)折處的回廊BD建在每層樓高的中間位置時(shí)，樓梯ABC的長度最短，這樣就最省料，最經(jīng)濟(jì)（造價(jià)最低）．
13．(1)房屋的采光條件變好．理由：設(shè)原來窗戶的面積為 ，地面的面積為 ，且 ，當(dāng)窗戶的面積和地面的面積同時(shí)增加的面積為 時(shí)， 變?yōu)?，而 ，所以采光條件變好．
(2)結(jié)論：對于一個(gè)分式， ，如果這個(gè)分式的分子，分母同時(shí)增加 ，分式的值將增大．
14．解：女老師加兩男同學(xué)一方將戰(zhàn)勝男老師加三個(gè)女同學(xué)一方．
理由：設(shè)A代表男老師，B代表女老師，C代表男同學(xué)，D代表女同學(xué)；不等式中較大的一端代表獲勝方．
已知 ①
②
①、②兩式相加，得 ③
從③式兩端同時(shí)減去 ，得 ④
又已知 ， ⑤
④、⑤兩式相加，得 ⑥
從⑥式兩端同時(shí)減去 ，得 ，即 ⑦
④、⑦兩式相加，得 ．
四、15．答案不惟一
（此題為開放題，要求題目的解法中須用到等量代換，編寫出符合題意的題目即可得15分，說明解題思路得20分，寫出詳細(xì)過程，得滿分）