專題8：平面幾何基礎(chǔ)
一、選擇題
1.（2012浙江湖州3分）△ABC中的三條中位線圍成的三角形周長(zhǎng)是15cm，則△ABC的周長(zhǎng)為【 】
A．60cm B．45cm C．30cm D． cm
【答案】C。
【考點(diǎn)】三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)。
【分析】∵三角形的中位線平行且等于底邊的一半，
∴△ABC三條中位線圍成的三角形與△ABC相似，且相似比是 。
∵△ABC中的三條中位線圍成的三角形周長(zhǎng)是15cm，
∴△ABC的周長(zhǎng)為30cm。故選C。
2. （2012浙江嘉興、舟山4分）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，則∠A等于【 】
A． 40° B． 60° C． 80° D． 90°
【答案】A。
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用（幾何問(wèn)題），三角形內(nèi)角和定理。
【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=x+20°，則x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°。故選A。
3. （2012浙江麗水、金華3分）如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，先沿南偏東30°方向走到B點(diǎn)，再沿南偏東60°方向走到C點(diǎn)．這時(shí)，∠ABC的度數(shù)是【 】
A．120° B．135° C．150° D．160°
【答案】 C。
【考點(diǎn)】方向角，平行線的性質(zhì)。
【分析】由題意得：∠1＝30°，∠2＝60°，
∵AE∥BF，∴∠1＝∠4＝30°。
∵∠2＝60°，∴∠3＝90°－60°＝30°。
∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°。故選C。
4. （2012浙江臺(tái)州4分）如圖，點(diǎn)D、E、F分別為∠ABC三邊的中點(diǎn)，若△DEF的周長(zhǎng)為10，則△ABC的周長(zhǎng)為【 】
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C。
【考點(diǎn)】三角形中位線定理。
【分析】由已知，點(diǎn)D、E、F分別為∠ABC三邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，得AB、BC、AC分別是FE、DF、DE的兩倍。因此，由△DEF的周長(zhǎng)為10，得△ABC的周長(zhǎng)為20。故選C。
5. （2012浙江義烏3分）如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)是偶數(shù)，則第三邊長(zhǎng)可以是【 】
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C。
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系。
【分析】由題意，令第三邊為x，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8。
∵第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，∴第三邊長(zhǎng)是4或6。
∴三角形的三邊長(zhǎng)可以為3、5、4或3、5、6。故選C。
二、填空題
1. （2012浙江湖州4分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，∠A=46°，∠1=52°，則∠2= ▲ 度．
【答案】98。
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)。
【分析】∵∠DEC是△ADE的外角，∠A=46°，∠1=52°，∴∠DEC=∠A+∠1=46°+52°=98°。
∵DE∥BC，∴∠2=∠DEC=98°。
2. （2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為 ▲ ?。?BR> 【答案】4。
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)。
【分析】作DE⊥AB，則DE即為所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，
∴CD=DE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）。
∵CD=4，∴DE=4。
3. （2012浙江寧波3分）如圖，AE∥BD，C是BD上的點(diǎn)，且AB=BC，∠ACD=110°，則∠EAB=
▲ 度．
【答案】40。
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，平角定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)。
【分析】∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC。
∵∠ACD=110°，∴∠ACB=∠BAC=70°。∴∠B=∠40°，
∵AE∥BD，∴∠EAB=40°。
4. （2012浙江義烏4分）如圖，已知a∥b，小亮把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為 ▲ ．
【答案】50°。
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角。
【分析】如圖，∵∠1=40°，∴∠3=180°﹣∠1﹣45°=180°﹣40°﹣90°=50°。
∵a∥b，∴∠2=∠3=50°。
5. （2012浙江義烏4分）正n邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為60°，則n的值為 ▲ ?。?BR> 【答案】6。
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角，多邊形內(nèi)角和定理。
【分析】∵正n邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為60°，∴其內(nèi)角的度數(shù)為：180°﹣60°=120°。
∴由（n－2）•1800=1200解得n=6。
三、解答題
1. （2012浙江杭州8分）如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長(zhǎng)度為a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．
（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC（要求：使點(diǎn)A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法）；
（2）記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說(shuō)明 ．
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜邊。
∴AC是△ABC外接圓的直徑，則半徑為 。
∵△ABC的外接圓的面積為S圓，∴S圓= 。
又∵△ABC的面積S△ABC= ×3a×4a=6a2。
∴ 。
【考點(diǎn)】作圖（三角形），勾股定理逆定理，圓周角定理，三角形的外接圓與外心。
【分析】（1）在數(shù)軸上截取AC=5a，再以A，C為圓心3a，4a為半徑，畫(huà)弧交點(diǎn)為B，連接AB，BC，則△ABC即為所求。
（2）由三邊，根據(jù)勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)知AC是△ABC外接圓的直徑。從而求出圓和三角形面積即可求出二者的比值。
2. （2012浙江紹興8分）如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于 EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M。
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數(shù)；
（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN。
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。
由作法知，AM是∠ACB的平分線，∴∠AMB= ∠CAB=33°。
（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。∴∠CAN=∠CMN。
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。
【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定。
【分析】（1）由作法知，AM是∠ACB的平分線，由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，得∠CAB=66°，從而求得∠MAB的度數(shù)。
（2）要證△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共邊，故只要再有一邊或一角相等即可，考慮到AB∥CD和AM是∠ACB的平分線，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。
從而得證。
3. （2012浙江溫州8分）如圖，在方格紙中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)及A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，現(xiàn)以A,B,C,D,E中的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，
（1）在圖甲中畫(huà)出一個(gè)三角形與△PQR全等；
（2）在圖乙中畫(huà)出一個(gè)三角形與△PQR面積相等 但不全等.
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
【考點(diǎn)】作圖（復(fù)雜作圖），全等圖形。
【分析】（1）過(guò)A作AE∥PQ，過(guò)E作EB∥PR，再順次連接A、E、B。（答案不）
（2）∵△PQR面積是： ×QR×PQ=6，∴連接BA，BA長(zhǎng)為3，再連接AD、BD，三角形的面積也是6，但是兩個(gè)三角形不全等。（答案不）
一、選擇題
1.（2012浙江湖州3分）△ABC中的三條中位線圍成的三角形周長(zhǎng)是15cm，則△ABC的周長(zhǎng)為【 】
A．60cm B．45cm C．30cm D． cm
【答案】C。
【考點(diǎn)】三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)。
【分析】∵三角形的中位線平行且等于底邊的一半，
∴△ABC三條中位線圍成的三角形與△ABC相似，且相似比是 。
∵△ABC中的三條中位線圍成的三角形周長(zhǎng)是15cm，
∴△ABC的周長(zhǎng)為30cm。故選C。
2. （2012浙江嘉興、舟山4分）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，則∠A等于【 】
A． 40° B． 60° C． 80° D． 90°
【答案】A。
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用（幾何問(wèn)題），三角形內(nèi)角和定理。
【分析】設(shè)∠A=x，則∠B=2x，∠C=x+20°，則x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°。故選A。
3. （2012浙江麗水、金華3分）如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，先沿南偏東30°方向走到B點(diǎn)，再沿南偏東60°方向走到C點(diǎn)．這時(shí)，∠ABC的度數(shù)是【 】
A．120° B．135° C．150° D．160°
【答案】 C。
【考點(diǎn)】方向角，平行線的性質(zhì)。
【分析】由題意得：∠1＝30°，∠2＝60°，
∵AE∥BF，∴∠1＝∠4＝30°。
∵∠2＝60°，∴∠3＝90°－60°＝30°。
∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°。故選C。
4. （2012浙江臺(tái)州4分）如圖，點(diǎn)D、E、F分別為∠ABC三邊的中點(diǎn)，若△DEF的周長(zhǎng)為10，則△ABC的周長(zhǎng)為【 】
A．5 B．10 C．20 D．40
【答案】C。
【考點(diǎn)】三角形中位線定理。
【分析】由已知，點(diǎn)D、E、F分別為∠ABC三邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，得AB、BC、AC分別是FE、DF、DE的兩倍。因此，由△DEF的周長(zhǎng)為10，得△ABC的周長(zhǎng)為20。故選C。
5. （2012浙江義烏3分）如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊長(zhǎng)是偶數(shù)，則第三邊長(zhǎng)可以是【 】
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C。
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系。
【分析】由題意，令第三邊為x，則5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8。
∵第三邊長(zhǎng)為偶數(shù)，∴第三邊長(zhǎng)是4或6。
∴三角形的三邊長(zhǎng)可以為3、5、4或3、5、6。故選C。
二、填空題
1. （2012浙江湖州4分）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，∠A=46°，∠1=52°，則∠2= ▲ 度．
【答案】98。
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)。
【分析】∵∠DEC是△ADE的外角，∠A=46°，∠1=52°，∴∠DEC=∠A+∠1=46°+52°=98°。
∵DE∥BC，∴∠2=∠DEC=98°。
2. （2012浙江嘉興、舟山5分）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若CD=4，則點(diǎn)D到斜邊AB的距離為 ▲ ?。?BR> 【答案】4。
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)。
【分析】作DE⊥AB，則DE即為所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，
∴CD=DE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）。
∵CD=4，∴DE=4。
3. （2012浙江寧波3分）如圖，AE∥BD，C是BD上的點(diǎn)，且AB=BC，∠ACD=110°，則∠EAB=
▲ 度．
【答案】40。
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)，平角定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)。
【分析】∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC。
∵∠ACD=110°，∴∠ACB=∠BAC=70°。∴∠B=∠40°，
∵AE∥BD，∴∠EAB=40°。
4. （2012浙江義烏4分）如圖，已知a∥b，小亮把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為 ▲ ．
【答案】50°。
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)，補(bǔ)角。
【分析】如圖，∵∠1=40°，∴∠3=180°﹣∠1﹣45°=180°﹣40°﹣90°=50°。
∵a∥b，∴∠2=∠3=50°。
5. （2012浙江義烏4分）正n邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為60°，則n的值為 ▲ ?。?BR> 【答案】6。
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角，多邊形內(nèi)角和定理。
【分析】∵正n邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為60°，∴其內(nèi)角的度數(shù)為：180°﹣60°=120°。
∴由（n－2）•1800=1200解得n=6。
三、解答題
1. （2012浙江杭州8分）如圖，是數(shù)軸的一部分，其單位長(zhǎng)度為a，已知△ABC中，AB=3a，BC=4a，AC=5a．
（1）用直尺和圓規(guī)作出△ABC（要求：使點(diǎn)A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)出作法）；
（2）記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說(shuō)明 ．
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）∵AB2+BC2=AC2=5a2，∴△ABC是直角三角形，且AC是斜邊。
∴AC是△ABC外接圓的直徑，則半徑為 。
∵△ABC的外接圓的面積為S圓，∴S圓= 。
又∵△ABC的面積S△ABC= ×3a×4a=6a2。
∴ 。
【考點(diǎn)】作圖（三角形），勾股定理逆定理，圓周角定理，三角形的外接圓與外心。
【分析】（1）在數(shù)軸上截取AC=5a，再以A，C為圓心3a，4a為半徑，畫(huà)弧交點(diǎn)為B，連接AB，BC，則△ABC即為所求。
（2）由三邊，根據(jù)勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)知AC是△ABC外接圓的直徑。從而求出圓和三角形面積即可求出二者的比值。
2. （2012浙江紹興8分）如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于 EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M。
（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數(shù)；
（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN。
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°。
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°。
由作法知，AM是∠ACB的平分線，∴∠AMB= ∠CAB=33°。
（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA。∴∠CAN=∠CMN。
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC。
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）。
【考點(diǎn)】平行的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定。
【分析】（1）由作法知，AM是∠ACB的平分線，由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，得∠CAB=66°，從而求得∠MAB的度數(shù)。
（2）要證△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共邊，故只要再有一邊或一角相等即可，考慮到AB∥CD和AM是∠ACB的平分線，有∠CAN=∠MAB =∠CMN。
從而得證。
3. （2012浙江溫州8分）如圖，在方格紙中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)及A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，現(xiàn)以A,B,C,D,E中的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)三角形，
（1）在圖甲中畫(huà)出一個(gè)三角形與△PQR全等；
（2）在圖乙中畫(huà)出一個(gè)三角形與△PQR面積相等 但不全等.
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
【考點(diǎn)】作圖（復(fù)雜作圖），全等圖形。
【分析】（1）過(guò)A作AE∥PQ，過(guò)E作EB∥PR，再順次連接A、E、B。（答案不）
（2）∵△PQR面積是： ×QR×PQ=6，∴連接BA，BA長(zhǎng)為3，再連接AD、BD，三角形的面積也是6，但是兩個(gè)三角形不全等。（答案不）