2013年國考行測數(shù)學(xué)運(yùn)算中的集合容斥問題

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    三集合容斥問題主要有以下三種題型:
      1、三集合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式
    

      2、三集合圖示標(biāo)數(shù)型(文氏圖或者叫做韋恩圖法)
      a.特別注意“滿足某條件”和“只滿足某條件”的區(qū)別;
      b.特別注意有沒有“三個條件都不滿足的情形”;
      3、三集合整體重復(fù)型核心公式
      三集合容斥問題中,有些條件未知時,就不能直接使用標(biāo)準(zhǔn)型公式,而是運(yùn)用整體重復(fù)型公式同樣可以解答。特別當(dāng)題目中說明分別滿足一種、兩種、三種條件的個數(shù)時,使用整體重復(fù)型公式。并且,三集合整體重復(fù)型公式是現(xiàn)在國家公務(wù)員考試考查三集合容斥問題的重點(diǎn)。另外,可利用尾數(shù)法進(jìn)行快速求解。
    

      原理:在三集合題型中,假設(shè)滿足三個條件的元素數(shù)量分別時A、B和C,而至少滿足三個條件之一的元素的總量為W。其中,滿足一個條件的元素數(shù)量為x,滿足兩個條件的元素數(shù)量為y,滿足三個條件的元素數(shù)量為z,根據(jù)右圖可以得到下滿兩個等式:
      W=x+y+z
      A+B+C=x×1+y×2+z×3
      通過幾個例題闡述三集合容斥的相關(guān)內(nèi)容:
      【例1】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽,38人喜歡看戲劇,52人喜歡看電影,既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人,既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人,三種都喜歡看的有12人,則只喜歡看電影的有(  )。
      A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
      【解析】設(shè)A=喜歡看球賽的人58,B=喜歡看戲劇的人38,C=喜歡看電影的人52,則有:
      A∩B=既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人18
      B∩C=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人16
      A∩B∩C=三種都喜歡看的人12
      A∪B∪C=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種100
      由集合運(yùn)算公式可知:C∩A = A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)
      =148-(100+18+16-12)=26
      所以,只喜歡看電影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C
      =52-16-26+12=22
      注:這道題運(yùn)用公式運(yùn)算比較復(fù)雜,運(yùn)用文氏畫圖法我們很快就可以看出結(jié)果。文氏解法如下:
    
    

      由題意知:(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100, 解得 x=14; 則只喜歡看電影的人有 36-x=22。
      【例2】外語學(xué)校有英語、法語、日語教師共27人,其中只能教英語的有8人,只能教日語的有6人,能教英、日語的有5人,能教法、日語的有3人,能教英、法語的有4人,三種都能教的有2人,則只能教法語的有(  )。
      A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
      解析:首先采用公式法解決此題,設(shè)A=英語教師8+5+4-2=15,B=法語教師,C=日語教師6+5+3-2=12,(但應(yīng)注意的是在做題之前,我們首先必須了解公式中A,B,C三個集合所代表的含義,并非A=8,C=6.),則C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
      =27-15-12+5+3+4-2=10,那么只能教法語的教師=10-3-4+2=5
      另外,此題如果用韋恩圖法會相當(dāng)簡單,設(shè)只能教法語的人數(shù)為X,則依題意得韋恩圖(見下圖):
    
    由題意我們有 27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。

      【例3】某高校對一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中,準(zhǔn)備參加注冊會計師考試的有63人,準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人,準(zhǔn)備參加計算機(jī)考試的有47人,三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人,準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人,不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?( )
      A.120 B.144 C.177 D.192
      【解析】根據(jù)題意,分別已知兩種條件、三種條件都滿足的個數(shù),設(shè)所有準(zhǔn)備參加考試的學(xué)生人數(shù)為W,只準(zhǔn)備參加一門考試的學(xué)生人數(shù)為X。使用三集合整體重復(fù)型公式:
      W=X+46+24
      63+89+47=X+2×46+3×24
      根據(jù)尾數(shù)法,解得x尾數(shù)是5,W尾數(shù)是5。因此,學(xué)生總數(shù)=W+15,尾數(shù)為0,選A。
      【例4】某市對52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢,其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格,10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo),9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格,同時兩項不合格的有7種,有1種產(chǎn)品這三項都不合格。則三項全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種?()
      A. 37 B. 36 C. 35 D. 34
      【解析】根據(jù)題意,分別已知滿足一種條件、兩種條件的個數(shù),設(shè)一項不合格的為X,所有不合格產(chǎn)品為W。使用三集合整體重復(fù)型公式:
      W=X+7+1
      8+9+10=X+2×7+3×1
      根據(jù)尾數(shù)法,解得X尾數(shù)為0,W尾數(shù)為8。 因此,全合格的產(chǎn)品數(shù)=總數(shù)-W = 52-W,尾數(shù)為4,選D。
      通過華圖公務(wù)員考試研究中心列舉的幾個三集合例題可以發(fā)現(xiàn),對于容斥問題首先判斷題型,是三集合元素已知的題目,還是三集合整體重復(fù)型題目。三集合標(biāo)準(zhǔn)型公式和整體重復(fù)型公式的適用情況是不同的:標(biāo)準(zhǔn)型公式適用于各項條件都明確給出的情況,而整體重復(fù)型公式適用于分別給出滿足一種、兩種、三種條件的個數(shù),因?yàn)檫@三者之間沒有任何包含關(guān)系。區(qū)分好兩種情形,特別是整體重復(fù)型公式,三集合容斥問題就迎刃而解了。