數(shù)學(xué)（文）試題
本試題卷分第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（必考題和選考題兩部分）?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上（答題注意事項見答題卡），在本試題卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共1 2小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={ }，下圖中陰影部分所表示的集合為
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{1} C．{0，1}
2．復(fù)數(shù) ，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于
A ．第一象限 B．第二象限 C．第二象限 D．第四象限
3．在用二分法求方程 的一個近似解時，已將一根鎖定在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為
A．（1，4，2） B．（1，1，4） C．（1， ） D．
4．已知命題 使得 命題 ，下列命題為真的是
A．p q B．（ C． D．
5．某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
A． B． C． D．
6．設(shè)函數(shù) 是
A．最小正周期為 的奇函數(shù)
B．最小正周期為 的偶函數(shù)
C．最 小正 周期為 的奇函數(shù)
D．最小正周期為 的偶函數(shù)
7．如圖是計算函數(shù) 的值的程序框圖，在①、②、③處分別應(yīng)填入的是
A．y=ln（一x），y=0，y=2x
B．y=0，y=2x，y=In（一x）
C．y=ln（一x），y=2z，y=0
D．y=0，y=ln（一x），y=2x
8．如果數(shù)列 是首項為1，公比為
的等比數(shù)列，則 等于
A． B．—32
C． D．32
9．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 的圖象，可能正確的是
10．已知a，b是平面內(nèi) 兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足
（a-c）•（b一c）=0，則|c|的值是
A．1 B． C．2 D．
11．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點(diǎn)，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6則該球的表面積為
A．16 B．24 C．32 D．48
12．過雙曲線 的右頂點(diǎn)A作斜率為一1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C，若A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第2l題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22 ～24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13． 已知函數(shù) 的值是 。
14．已知函數(shù) 上的奇函數(shù)，且 的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng) 時， ．
15．已知圓 過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心C到直線 距離的最小值等于 ．
16． 已知函數(shù) 處取得極值，若 的最小值是 。
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知
（I）求證：a，c，b成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最 大內(nèi)角為120°，求△ABC的面積．
18．（本小題滿分1 2分）
如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中。AB =AA1，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥C1D．
（I）求證：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一點(diǎn)P，使直線PB1⊥平面AC1D?若存在，找出這個點(diǎn)，并加以證明；若不存在，請說明理由．
19．（本小題滿分12分）
某種商品在50個不同地區(qū)的零售價格全部介于13元與18元
之間，將各地價格按如下方式分成五組：第一組 [13，14）；
第二組[14，15），……，第五組[17，18]。右圖是按上述分
組方法得到的頻率分布直方圖．
（I）求價格在[16，17）內(nèi)的地區(qū)數(shù)，并估計該商品價格的
中位數(shù)（精確到0．1）；
（Ⅱ）設(shè)m、 n表示某兩個地區(qū)的零售價格，且已知
m， ，求事件“|m-n|>l”的概率．
20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的方程為 左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別 為k1，k2， ，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù) 和函數(shù) 在區(qū)間 上均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程 有解，求實數(shù)m的值。
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做．則按所做的第一題記分．做答時請寫清題號。
22．（本小題滿分10分）選修4一1：幾何證明選講
在 ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F(xiàn)． 使得DE=BE，F(xiàn)E=CE，又點(diǎn)O是△ADF的外心。
（Ⅰ）證明：D，E，F(xiàn)，O四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）證明：O在∠DEF的平分線上．
23．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相 同的長度單位。且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為
（I）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）,求 的最小值．
24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
設(shè)函數(shù) =
（I ）求函數(shù) 的最小值m；
（II）若不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案
一、選擇題（每小題5 分，共60分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A A B B D D D D C
二、填空題（每小題5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答題（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化為
，
所以 ， 3分
所以 ， 所以 .
由正弦定理得， ， 所以a，c，b成等差數(shù)列. ………6分
（Ⅱ）由 得 且a為邊,
由 ，得： ，從而 , …10分
所以 . 12分
（18）（Ⅰ）證明：因為ABC－A1B1C1是正三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD．又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD⊥BC，所以D是BC的中點(diǎn)． 3分
如圖，連接A1C，設(shè)與AC1相交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為A1C的中點(diǎn)．
連接DE，則在 中，因為D、E分別是BC、A1C的中點(diǎn)，所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D內(nèi)，A1B不在平面AC1D內(nèi)，所以A1B∥平面AC1D． ……6分
（Ⅱ）解：存在這樣的點(diǎn)P，且點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)． …7分
下面證明：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD．
設(shè)PB1與C1D相交于點(diǎn)Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，
因為∠QC1B1＝∠CDC1，從而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D．因為AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D． …12分
（19）解：（Ⅰ）價格在[16,17﹚內(nèi)的頻數(shù)為1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32，
所以價格在[16,17﹚內(nèi)的地區(qū)數(shù)為50×0.32＝16，…2分
設(shè)價格中位數(shù)為x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，解得：x=15≈15.7（元） 5分
（Ⅱ）由直方 圖知，價格在 的地區(qū)數(shù)為 ，記為 、 、 ；價格在 的地區(qū)數(shù)為 ，記為 若 時，有 ， ， 3種情況；
若 時，有 6種情況；若 分別在 和 內(nèi)時，
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
共有12種情況. 10分所以基本事件總數(shù)為21種，
事件“ ”所包含的基本事件個數(shù)有12種.
…12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,設(shè) , ,由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
得 . …2分又因為 ， ， ，
又 所以 ，所以所求橢圓的方程為 . ……6分
（Ⅱ）顯然直線 的斜率 存在，設(shè)直線方程為 ， ，
由 得 ，即 ，
，
， …8分
由 得， ，又 ， ，
則 ， ，
， …10分
那么 ，
則直線直線 過定點(diǎn) . ……12分
（21）解：（Ⅰ）因為 ，
故當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ，
要使 在 上遞增，必須 ，因為 ，
要使 在 上遞增，必須 ，即 ，
由上得出，當(dāng) 時 ， 在 上均為增函數(shù). ……6分
（Ⅱ）方程 有解 有解，
設(shè) ，所以 （ ）
隨 變化如下表：
遞減 極小值
遞增
由于在 上， 只有一個極小值，所以 的最小值為 ，
故當(dāng) 時，方程 有解． …………12分
（22）證明：（Ⅰ）如圖，
=180°-2∠A．因此∠A是銳角，從而 的外心與頂點(diǎn)A在DF的同側(cè)，
∠ DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F(xiàn)，O四點(diǎn)共圓． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF平分線上． …10分
（23）解:（Ⅰ）由 得 ，化為直角坐標(biāo)方程為 ，即 . ……………4分
（Ⅱ）將 的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得
由 ，故可設(shè) 是上述方程的兩根，
所以 ，又直線 過點(diǎn) ，故結(jié)合t的幾何意義得
=
所以 的最小值為 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
顯然，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) 的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 恒成立，
由于 ，
等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立，
故 ，解之得 或
所以實數(shù) 的取值范圍為 或 …… ………10分
本試題卷分第1卷（選擇題）和第Ⅱ卷（必考題和選考題兩部分）?？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上（答題注意事項見答題卡），在本試題卷上答題無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共1 2小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={ }，下圖中陰影部分所表示的集合為
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{1} C．{0，1}
2．復(fù)數(shù) ，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于
A ．第一象限 B．第二象限 C．第二象限 D．第四象限
3．在用二分法求方程 的一個近似解時，已將一根鎖定在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為
A．（1，4，2） B．（1，1，4） C．（1， ） D．
4．已知命題 使得 命題 ，下列命題為真的是
A．p q B．（ C． D．
5．某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為
A． B． C． D．
6．設(shè)函數(shù) 是
A．最小正周期為 的奇函數(shù)
B．最小正周期為 的偶函數(shù)
C．最 小正 周期為 的奇函數(shù)
D．最小正周期為 的偶函數(shù)
7．如圖是計算函數(shù) 的值的程序框圖，在①、②、③處分別應(yīng)填入的是
A．y=ln（一x），y=0，y=2x
B．y=0，y=2x，y=In（一x）
C．y=ln（一x），y=2z，y=0
D．y=0，y=ln（一x），y=2x
8．如果數(shù)列 是首項為1，公比為
的等比數(shù)列，則 等于
A． B．—32
C． D．32
9．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 的圖象，可能正確的是
10．已知a，b是平面內(nèi) 兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足
（a-c）•（b一c）=0，則|c|的值是
A．1 B． C．2 D．
11．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點(diǎn)，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6則該球的表面積為
A．16 B．24 C．32 D．48
12．過雙曲線 的右頂點(diǎn)A作斜率為一1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B，C，若A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第2l題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22 ～24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13． 已知函數(shù) 的值是 。
14．已知函數(shù) 上的奇函數(shù)，且 的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng) 時， ．
15．已知圓 過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心C到直線 距離的最小值等于 ．
16． 已知函數(shù) 處取得極值，若 的最小值是 。
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知
（I）求證：a，c，b成等差數(shù)列；
（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最 大內(nèi)角為120°，求△ABC的面積．
18．（本小題滿分1 2分）
如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中。AB =AA1，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥C1D．
（I）求證：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一點(diǎn)P，使直線PB1⊥平面AC1D?若存在，找出這個點(diǎn)，并加以證明；若不存在，請說明理由．
19．（本小題滿分12分）
某種商品在50個不同地區(qū)的零售價格全部介于13元與18元
之間，將各地價格按如下方式分成五組：第一組 [13，14）；
第二組[14，15），……，第五組[17，18]。右圖是按上述分
組方法得到的頻率分布直方圖．
（I）求價格在[16，17）內(nèi)的地區(qū)數(shù)，并估計該商品價格的
中位數(shù)（精確到0．1）；
（Ⅱ）設(shè)m、 n表示某兩個地區(qū)的零售價格，且已知
m， ，求事件“|m-n|>l”的概率．
20．（本小題滿分12分）已知橢圓C的方程為 左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為4，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，滿足
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，2）分別作直線PA，PB交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別 為k1，k2， ，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出直線AB的斜率k的取值范圍。
21．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若函數(shù) 和函數(shù) 在區(qū)間 上均為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若方程 有解，求實數(shù)m的值。
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做．則按所做的第一題記分．做答時請寫清題號。
22．（本小題滿分10分）選修4一1：幾何證明選講
在 ABC的邊AB，BC，CA上分別取D，E，F(xiàn)． 使得DE=BE，F(xiàn)E=CE，又點(diǎn)O是△ADF的外心。
（Ⅰ）證明：D，E，F(xiàn)，O四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）證明：O在∠DEF的平分線上．
23．（本小題滿分10分）選修4～4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相 同的長度單位。且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為
（I）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,2）,求 的最小值．
24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
設(shè)函數(shù) =
（I ）求函數(shù) 的最小值m；
（II）若不等式 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案
一、選擇題（每小題5 分，共60分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A A B B D D D D C
二、填空題（每小題5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答題（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化為
，
所以 ， 3分
所以 ， 所以 .
由正弦定理得， ， 所以a，c，b成等差數(shù)列. ………6分
（Ⅱ）由 得 且a為邊,
由 ，得： ，從而 , …10分
所以 . 12分
（18）（Ⅰ）證明：因為ABC－A1B1C1是正三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD．又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD⊥BC，所以D是BC的中點(diǎn)． 3分
如圖，連接A1C，設(shè)與AC1相交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為A1C的中點(diǎn)．
連接DE，則在 中，因為D、E分別是BC、A1C的中點(diǎn)，所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D內(nèi)，A1B不在平面AC1D內(nèi)，所以A1B∥平面AC1D． ……6分
（Ⅱ）解：存在這樣的點(diǎn)P，且點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn)． …7分
下面證明：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD．
設(shè)PB1與C1D相交于點(diǎn)Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，
因為∠QC1B1＝∠CDC1，從而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D．因為AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D． …12分
（19）解：（Ⅰ）價格在[16,17﹚內(nèi)的頻數(shù)為1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32，
所以價格在[16,17﹚內(nèi)的地區(qū)數(shù)為50×0.32＝16，…2分
設(shè)價格中位數(shù)為x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，解得：x=15≈15.7（元） 5分
（Ⅱ）由直方 圖知，價格在 的地區(qū)數(shù)為 ，記為 、 、 ；價格在 的地區(qū)數(shù)為 ，記為 若 時，有 ， ， 3種情況；
若 時，有 6種情況；若 分別在 和 內(nèi)時，
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
共有12種情況. 10分所以基本事件總數(shù)為21種，
事件“ ”所包含的基本事件個數(shù)有12種.
…12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,設(shè) , ,由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
得 . …2分又因為 ， ， ，
又 所以 ，所以所求橢圓的方程為 . ……6分
（Ⅱ）顯然直線 的斜率 存在，設(shè)直線方程為 ， ，
由 得 ，即 ，
，
， …8分
由 得， ，又 ， ，
則 ， ，
， …10分
那么 ，
則直線直線 過定點(diǎn) . ……12分
（21）解：（Ⅰ）因為 ，
故當(dāng) 時， ，當(dāng) 時， ，
要使 在 上遞增，必須 ，因為 ，
要使 在 上遞增，必須 ，即 ，
由上得出，當(dāng) 時 ， 在 上均為增函數(shù). ……6分
（Ⅱ）方程 有解 有解，
設(shè) ，所以 （ ）
隨 變化如下表：
遞減 極小值
遞增
由于在 上， 只有一個極小值，所以 的最小值為 ，
故當(dāng) 時，方程 有解． …………12分
（22）證明：（Ⅰ）如圖，
=180°-2∠A．因此∠A是銳角，從而 的外心與頂點(diǎn)A在DF的同側(cè)，
∠ DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F(xiàn)，O四點(diǎn)共圓． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF平分線上． …10分
（23）解:（Ⅰ）由 得 ，化為直角坐標(biāo)方程為 ，即 . ……………4分
（Ⅱ）將 的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得
由 ，故可設(shè) 是上述方程的兩根，
所以 ，又直線 過點(diǎn) ，故結(jié)合t的幾何意義得
=
所以 的最小值為 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
顯然，函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
所以函數(shù) 的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 恒成立，
由于 ，
等號當(dāng)且僅當(dāng) 時成立，
故 ，解之得 或
所以實數(shù) 的取值范圍為 或 …… ………10分