小學(xué)奧數(shù)頻道為大家整理的小學(xué)生奧數(shù)小升初入學(xué)模擬試題以及答案（七），供大家學(xué)習(xí)參考。
1.從甲地到乙地，如果車速每小時提高20千米，那么時間由4小時變?yōu)?小時。甲乙兩地相距 千米。
【答案】240
【解】3個小時多行20×3＝60（千米），這60千米原來需行1小時，所以兩地相距60×4＝240（千米）。
【另解】根據(jù)比例關(guān)系，原來與現(xiàn)在所用時間比為4︰3,則原來與現(xiàn)在的速度比為3︰4,所以按比例分配得，現(xiàn)在的速度為20÷（4-3）×4＝80（千米），所以路程為80×3＝240（千米）。
13. 某小學(xué)即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學(xué)可以任報兩項，那么要有 ___ 人報名參加運動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學(xué)報名參加的比賽項目相同.
【答案】46
【解】 十項比賽，每位同學(xué)可以任報兩項，那么有 ＝45種不同的報名方法．
那么，由抽屜原理知為 45+1＝46人報名時滿足題意．
14.
20. 如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π=3.14）
【答案】565.2立方厘米
【解】設(shè)三角形BOC以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是S，S等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。即：
S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，
2S=180π=565.2（立方厘米）
【提示】S也可以看做一個高為5厘米，上、下底面半徑是3、6厘米的圓臺的體積減去一個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。
4．如圖，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構(gòu)成的所有線段的長度均為整數(shù)，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是 。
【答案】5
【解】由A，B，C，D四個點所構(gòu)成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于點B是線段AD的中點，可以設(shè)線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x3。
對10500做質(zhì)因數(shù)分解：
10500=22×3×53×7，
所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,
所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.
5．設(shè)有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，…….如此下去，當(dāng)只有兩個水龍頭時，巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間少.這時間等于_________分鐘.
【答案】125分鐘
【解】 不難得知應(yīng)先安排所需時間較短的人打水．
不妨假設(shè)為：
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第一個水龍頭 |
第二個水龍頭 |
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第一個 |
A |
F |
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第二個 |
B |
G |
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第三個 |
C |
H |
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第四個 |
D |
I |
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第五個 |
E |
J |
顯然計算總時間時，A、F計算了5次，B、G計算了4次，C、H計算了3次，D、I計算了2次，E、J計算了1次．
那么A、F為1、2，B、G為3、4，C、H為5、6，D、I為7、8，E、J為9、10．
所以有短時間為(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分鐘．
評注：下面給出一排隊方式：
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第一個水龍頭 |
第二個水龍頭 |
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第一個 |
1 |
2 |
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第二個 |
3 |
4 |
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第三個 |
5 |
6 |
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第四個 |
7 |
8 |
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第五個 |
9 |
10 |
【提示】想象一下，如果你去理發(fā)店理發(fā)，只需要一分鐘，可能這時已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小時。這時，你請她讓你先理，她可能很輕松地答應(yīng)你了。
可是，如果反過來，你排隊在前，這位阿姨請你讓她先理，你很難同意她的要求，而且大家都認(rèn)為她的要求不合理，這是為什么呢？
可以看到，一個水龍頭時的等待總時間算法是：
S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E
所以，要想使總時間S小，則要A<B<C<D<E.
兩個水龍頭可參見排隊方法，但排隊方法不。有一個原則:
（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)
6.用140個棱長為1的小正方體粘成一個大的長方體，若拆下沿棱的小正方體，則余下92個小正方體(見右圖). 留下的多面體的表面積是________.
【答案】 142.
【解】大長方體的長、寬、高都大于2，否則所有的小正方體都在棱上，與題意不符. 140分解成3個大于2的自然數(shù)的乘積只有457，所以大長方體的長、寬、高分別是4，5，7，表面積是
(45+47+57)2=166.
拆下沿棱的小正方體后，對比原來的表面積，相當(dāng)于每個面減少4或每個角減少3，表面積為
166-46=142 或 166-38=142.
【提示】整體思考的經(jīng)典范例，一是從整體考慮前后表面積的變化關(guān)系，看變化可以簡化運算。
二是，如何看變化，本題可以用“陽光照面”法。
7. 在三位數(shù)中，個位、十位、百位都是一個數(shù)的平方的共有 個。
【答案】48
【解】百位有1、4、9三種選擇，十位、個位有0、1、4、9四種選擇。滿足題意的三位數(shù)共有
3×4×4＝48（個）。
8. 老師在黑板上寫了一個自然數(shù)。第一個同學(xué)說：“這個數(shù)是2的倍數(shù)?！钡诙€同學(xué)說：“這個數(shù)是3的倍數(shù)。”第三個同學(xué)說：“這個數(shù)是4的倍數(shù)。”……第十四個同學(xué)說：“這個數(shù)是15的倍數(shù)。”后，老師說：“在所有14個陳述中，只有兩個連續(xù)的陳述是錯誤的?！崩蠋煂懗龅男〉淖匀粩?shù)是 。
【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果這個數(shù)不是2，3，4，5，6，7的倍數(shù)，那么這個數(shù)也不是4，6，8，10，12，14的倍數(shù)，錯誤的陳述不是連續(xù)的，與題意不符。所以這個數(shù)是2，3，4，5，6，7的倍數(shù)。由此推知，這個數(shù)也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍數(shù)。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是連續(xù)的，所以這個數(shù)不是8和9的倍數(shù)。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的小公倍數(shù)是22×3×5×7×11×13=60060。
12.小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強(qiáng)。一天，他們和華教授圍著桌子打牌，華教授給他們出了道推理題。華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：
紅桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5
草花K，Q，9，4，6，lO 方塊A，9
華教授從這18張牌中挑出一張牌來，并把這張牌的點數(shù)告訴小王，把這張牌的花色告訴小李。然后，華教授問小王和小李，“你們能從已知的點數(shù)或花色中推斷出這張牌是什么牌嗎?
小王：“我不知道這張牌?！?BR> 小李：“我知道你不知道這張牌。”
小王：“現(xiàn)在我知道這張牌了?！?BR> 小李：“我也知道了?！?BR>
請問：這張牌是什么牌?
【答案】方塊9。
【解】小王知道這張牌的點數(shù)，小王說：“我不知道這張牌”，說明這張牌的點數(shù)只能是A，Q，4，9中的一個，因為其它的點數(shù)都只有一張牌。
如果這張牌的點數(shù)不是A，Q，4，9，那么小王就知道這張牌了，因為A，Q，4，9以外的點數(shù)全部在黑桃與草花中，如果這張牌是黑桃或草花，小王就有可能知道這張牌，所以小李說：“我知道你不知道這張牌”，說明這張牌的花色是紅桃或方塊。
現(xiàn)在的問題集中在紅桃和方塊的5張牌上。
因為小王知道這張牌的點數(shù)，小王說：“現(xiàn)在我知道這張牌了”，說明這張牌的點數(shù)不是A，否則小王還是判斷不出是紅桃A還是方塊A。
因為小李知道這張牌的花色，小李說：“我也知道了”，說明這張牌是方塊9。否則，花色是紅桃的話，小李判斷不出是紅桃Q還是紅桃4。
【提示】在邏輯推理中，要注意一個命題真時指向一個結(jié)論，而其逆命題也是明確的結(jié)論。
10.
【答案】
【解】將分子、分母分解因數(shù)：9633＝3×3211，35321=11×3211
【提示】用輾轉(zhuǎn)相除法更妙了。
12.已知三位數(shù)的各位數(shù)字之積等于10，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是 _____ 個.
【答案】6
【解】 因為10＝2×5，所以這些三位數(shù)只能由1、2、5組成，于是共有 ＝6個．
12. 下圖中有五個三角形，每個小三角形中的三個數(shù)的和都等于50，其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74，A9＋A3＋A5＋A10＝76，那么A2與A5的和是多少？
【答案】25
【解】 有A1+A2+A8＝50，
A9+A2+A3＝50，
A4+A3+A5＝50，
A10+A5+A6＝50，
A7+A8+A6＝50，
于是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6＝250，
即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7＝250.
有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7＝250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8＝50，其中A7＝25，所以A6+A8＝50－25＝25.
那么有A2+A5＝250－74－76－50－25＝25.
【提示】上面的推導(dǎo)完全正確，但我們?nèi)狈Ψ较蚋泻涂傮w把握性。
其實，我們看到這樣的數(shù)陣，第一感覺是看到這里5個50并不表示10個數(shù)之和，而是這10個數(shù)再加上內(nèi)圈5個數(shù)的和。這一點是明顯的感覺，也是重要的等量關(guān)系。
再“看問題定方向”，要求第2個數(shù)和第5個數(shù)的和，
說明跟內(nèi)圈另外三個數(shù)有關(guān)系，而其中第6個數(shù)和第8個數(shù)的和是50-25＝25,
再看第3個數(shù)，在加兩條直線第1、2、3、4個數(shù)和第9、3、5、10個數(shù)時，重復(fù)算到第3個數(shù)，
好戲開演：
74+76+50＋25+第2個數(shù)＋第5個數(shù)＝50×5
所以 第2個數(shù)＋第5個數(shù)＝25
一、填空題：
1 滿足下式的填法共有 種?
口口口口-口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本題相當(dāng)于求兩個兩位數(shù)a與b之和不小于100的算式有多少種。
a=10時，b在90 99之間，有10種；
a=11時，b在89 99之間，有11種；
……
a=99時，b在1 99之間，有99種。共有
10+11+12+……99=4905(種)。
【提示】算式謎跟計數(shù)問題結(jié)合，本題是一例。數(shù)學(xué)模型的類比聯(lián)想是解題關(guān)鍵。
4 在足球表面有五邊形和六邊形圖案(見右上圖)，每個五邊形與5個六邊形相連，每個六邊形與3個五邊形相連。那么五邊形和六邊形的簡整數(shù)比是_______ 。
【答案】3︰5。
【解】設(shè)有X個五邊形。每個五邊形與5個六邊形相連，這樣應(yīng)該有5X個六邊形，可是每個六邊形與3個五邊形相連，即每個六邊形被數(shù)了3遍，所以六邊形有 個。
6 用方格紙剪成面積是4的圖形，其形狀只能有以下七種：
如果用其中的四種拼成一個面積是16的正方形，那么，這四種圖形的編號和的大值是______．
【答案】19.
【解】為了得到編號和的大值，應(yīng)先利用編號大的圖形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)，(6)，(3)，(1)組成的面積是16的正方形：
顯然，編號和大的是圖1，編號和為7＋6＋5＋1＝19，再驗證一下，并無其它拼法．
【提示】注意從結(jié)果入手的思考方法。我們畫出面積16的正方形，先涂上陰影（６）（７），再涂出（５），經(jīng)過適當(dāng)變換，可知，只能利用（１）了。
而其它情況，用上（６）（７），和（４），則只要考慮（３）（５）這兩種情況是否可以。
10 設(shè)上題答數(shù)是a，a的個位數(shù)字是b．七個圓內(nèi)填入七個連續(xù)自然數(shù)，使每兩個相鄰圓內(nèi)的數(shù)之和等于連線上的已知數(shù)，那么寫A的圓內(nèi)應(yīng)填入_______．
【答案】A＝６
【解】如圖所示：
B＝A－4,
C＝B＋３，所以C＝A－１;
D=C＋3，所以D＝A＋２;
而A ＋D ＝14;
所以A＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本題要點在于推導(dǎo)隔一個圓的兩個圓的差，
從而得到后的和差關(guān)系來解題。
13 某個自然數(shù)被187除余52，被188除也余52，那么這個自然數(shù)被22除的余數(shù)是_______．
【答案】8
【解】這個自然數(shù)減去52后，就能被187和188整除，為了說明方便，這個自然數(shù)減去52后所得的數(shù)用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除；因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22整除，原來的自然數(shù)是M＋52，因為M能被22整除，當(dāng)考慮M＋52被22除后的余數(shù)時，只需要考慮52被22除后的余數(shù)． 52＝22×2＋8這個自然數(shù)被22除余8．
26 有一堆球，如果是10的倍數(shù)個，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍數(shù)個，就添加幾個球(不超過9個)，使這堆球成為10的倍數(shù)個，然后將這些球平均分成10堆，并且拿走9堆。這個過程稱為操作。如果初這堆球的個數(shù)為
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．
連續(xù)進(jìn)行操作，直至剩下1個球為止，那么共進(jìn)行了 次操作;共添加了 個球.
【答案】189次； 802個。
【解】這個數(shù)共有189位，每操作減少一位。操作188次后，剩下2，再操作，剩下1。共操作189次。這個189位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的過程知道，添加的球數(shù)相當(dāng)于將原來球數(shù)的每位數(shù)字都補(bǔ)成9，再添1個球。所以共添球
1899-900+1=802(個)。
30 有一種簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是693，如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從大到小排列，那么第二個分?jǐn)?shù)是______．
【答案】
【解】把693分解質(zhì)因數(shù)：693＝3×3×7×11．為了保證分子、分母不能約分(否則，約分后分子與分母之積就不是693)，相同質(zhì)因數(shù)要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母．分子從大到小排列是11，9，7，1，
8. 從1到100的自然數(shù)中，每次取出2個數(shù)，要使它們的和大于100，則共有 _____ 種取法.
【答案】2500
【解】 設(shè)選有a、b兩個數(shù)，且a＜b，
當(dāng)a為1時，b只能為100，1種取法；
當(dāng)a為2時，b可以為99、100，2種取法；
當(dāng)a為3時，b可以為98、99、100，3種取法；
當(dāng)a為4時，b可以為97、98、99、100，4種取法；
當(dāng)a為5時，b可以為96、97、98、99、100，5種取法；
…… …… ……
當(dāng)a為50時，b可以為51、52、53、…、99、100，50種取法；
當(dāng)a為51時，b可以為52、53、…、99、100，49種取法；
當(dāng)a為52時，b可以為53、…、99、100，48種取法；
…… …… ……
當(dāng)a為99時，b可以為100，1種取法．
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1＝502＝2500種取法．
【拓展】從1-100中，取兩個不同的數(shù)，使其和是9的倍數(shù)，有多少種不同的取法？
【解】從除以9的余數(shù)考慮，可知兩個不同的數(shù)除以9的余數(shù)之和為9。通過計算，易知除以9余1的有12種，余數(shù)為2-8的為11種，余數(shù)為0的有11種，但其中有11個不滿足題意：如9+9、18+18……，要減掉11。而余數(shù)為1的是12種，多了11種。這樣，可以看成，1-100種，每個數(shù)都對應(yīng)11種情況。
11×100÷2=550種。除以2是因為1+8和8+1是相同的情況。
二、解答題：
1．小紅到商店買一盒花球，一盒白球，兩盒球的數(shù)量相等，花球原價是2元錢3個，白球原價是2元錢5個．新年優(yōu)惠，兩種球的售價都是4元錢8個，結(jié)果小紅少花了5元錢，那么，她一共買了多少個球？
【答案】150個
【解】
用矩形圖來分析，如圖。
容易得，
解得:
所以 2x=150
2．22名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競賽，已知家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有一名男老師，那么在這22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家長和老師共22人，家長比老師多，家長就不少于12人，老師不多于10人，媽媽和爸爸不少于12人，媽媽比爸爸多，媽媽不少于7人．女老師比媽媽多2人，女老師不少于7＋2＝9(人)．女老師不少于9人，老師不多于10人，就得出男老師至多1人，但題中指出，至少有1名男老師，因此，男老師是1人，女老師就不多于9人，前面已有結(jié)論，女老師不少于9人，因此，女老師有9人，而媽媽有7人，那么爸爸人數(shù)是：22-9-1-7＝5(人) 在這22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本題多次運用值問題思考方法，且巧借半差關(guān)系，得出不等式的范圍。
正反結(jié)合討論的方法也有體現(xiàn)。
3．甲、乙、丙三人現(xiàn)在歲數(shù)的和是113歲，當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時，丙是38歲，當(dāng)乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時，甲是17歲，那么乙現(xiàn)在是多大歲數(shù)？
【答案】32歲
【解】如圖。
設(shè)過x年，甲17歲，得：
解得 x=10,
某個時候，甲17-10=7歲，乙7×2=14歲，丙38歲，年齡和為59歲，
所以到現(xiàn)在每人還要加上（113-59）÷3=18（歲）
所以乙現(xiàn)在14+18=32（歲）。
7. 甲、乙兩班的學(xué)生人數(shù)相等，各有一些學(xué)生參加數(shù)學(xué)選修課，甲班參加數(shù)學(xué)選修課的人數(shù)恰好是乙班沒有參加的人數(shù)的1/3，乙班參加數(shù)學(xué)選修課的人數(shù)恰好是甲班沒有參加的人數(shù)的1/4。那么甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的幾分之幾?
【答案】
【解】：設(shè)甲班沒參加的是4x人，乙班沒參加的是3y人
那么甲班參加的人數(shù)是y人，乙班參加的人數(shù)是x人
根據(jù)條件兩班人數(shù)相等，所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
因此4x:3y=8:9 故那么甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的
【另解】列一元方程：可假設(shè)兩班人數(shù)都為“1”，設(shè)甲班參加的為x，則甲班未參加的為（1-x）；則乙班未參加的為3x，則乙班參加的為（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求x=3/11。
【提示】方程演算、設(shè)而不求、量化思想都有了，這道題不錯。
目標(biāo)班
真卷七
一、填空題：
31 滿足下式的填法共有 種?
口口口口-口口口=口口
【答案】4905。
【解】由右式知，本題相當(dāng)于求兩個兩位數(shù)a與b之和不小于100的算式有多少種。
a=10時，b在90 99之間，有10種；
a=11時，b在89 99之間，有11種；
……
a=99時，b在1 99之間，有99種。共有
10+11+12+……99=4905(種)。
【提示】算式謎跟計數(shù)問題結(jié)合，本題是一例。數(shù)學(xué)模型的類比聯(lián)想是解題關(guān)鍵。
34 在足球表面有五邊形和六邊形圖案(見右上圖)，每個五邊形與5個六邊形相連，每個六邊形與3個五邊形相連。那么五邊形和六邊形的簡整數(shù)比是_______ 。
【答案】3︰5。
【解】設(shè)有X個五邊形。每個五邊形與5個六邊形相連，這樣應(yīng)該有5X個六邊形，可是每個六邊形與3個五邊形相連，即每個六邊形被數(shù)了3遍，所以六邊形有 個。
36 用方格紙剪成面積是4的圖形，其形狀只能有以下七種：
如果用其中的四種拼成一個面積是16的正方形，那么，這四種圖形的編號和的大值是______．
【答案】19.
【解】為了得到編號和的大值，應(yīng)先利用編號大的圖形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)，(6)，(3)，(1)組成的面積是16的正方形：
顯然，編號和大的是圖1，編號和為7＋6＋5＋1＝19，再驗證一下，并無其它拼法．
【提示】注意從結(jié)果入手的思考方法。我們畫出面積16的正方形，先涂上陰影（６）（７），再涂出（５），經(jīng)過適當(dāng)變換，可知，只能利用（１）了。
而其它情況，用上（６）（７），和（４），則只要考慮（３）（５）這兩種情況是否可以。
40 設(shè)上題答數(shù)是a，a的個位數(shù)字是b．七個圓內(nèi)填入七個連續(xù)自然數(shù)，使每兩個相鄰圓內(nèi)的數(shù)之和等于連線上的已知數(shù)，那么寫A的圓內(nèi)應(yīng)填入_______．
【答案】A＝６
【解】如圖所示：
B＝A－4,
C＝B＋３，所以C＝A－１;
D=C＋3，所以D＝A＋２;
而A ＋D ＝14;
所以A＝（14－2）÷2＝6.
【提示】本題要點在于推導(dǎo)隔一個圓的兩個圓的差，
從而得到后的和差關(guān)系來解題。
43 某個自然數(shù)被187除余52，被188除也余52，那么這個自然數(shù)被22除的余數(shù)是_______．
【答案】8
【解】這個自然數(shù)減去52后，就能被187和188整除，為了說明方便，這個自然數(shù)減去52后所得的數(shù)用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除；因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22整除，原來的自然數(shù)是M＋52，因為M能被22整除，當(dāng)考慮M＋52被22除后的余數(shù)時，只需要考慮52被22除后的余數(shù)． 52＝22×2＋8這個自然數(shù)被22除余8．
56 有一堆球，如果是10的倍數(shù)個，就平均分成10堆，并且拿走9堆；如果不是10的倍數(shù)個，就添加幾個球(不超過9個)，使這堆球成為10的倍數(shù)個，然后將這些球平均分成10堆，并且拿走9堆。這個過程稱為操作。如果初這堆球的個數(shù)為
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．
連續(xù)進(jìn)行操作，直至剩下1個球為止，那么共進(jìn)行了 次操作;共添加了 個球.
【答案】189次； 802個。
【解】這個數(shù)共有189位，每操作減少一位。操作188次后，剩下2，再操作，剩下1。共操作189次。這個189位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是
(1+2+3+…+9)20=900。
由操作的過程知道，添加的球數(shù)相當(dāng)于將原來球數(shù)的每位數(shù)字都補(bǔ)成9，再添1個球。所以共添球
1899-900+1=802(個)。
60 有一種簡真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的乘積都是693，如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從大到小排列，那么第二個分?jǐn)?shù)是______．
【答案】
【解】把693分解質(zhì)因數(shù)：693＝3×3×7×11．為了保證分子、分母不能約分(否則，約分后分子與分母之積就不是693)，相同質(zhì)因數(shù)要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母．分子從大到小排列是11，9，7，1，
68 在1，2，…，1997這1997個數(shù)中，選出一些數(shù)，使得這些數(shù)中的每兩個數(shù)的和都能被22整除，那么，這樣的數(shù)多能選出______個．
【答案】91
【解】有兩種選法：(1)選出所有22的整數(shù)倍的數(shù)，即：22，22×2，22×3，…，22×90＝1980，共90個數(shù)；(2)選出所有11的奇數(shù)倍的數(shù)，即：11，11＋22×1，11＋22×2…，11＋22×90＝1991，共91個數(shù)，所以，這樣的數(shù)多能選出91個．
二、解答題：
1．小紅到商店買一盒花球，一盒白球，兩盒球的數(shù)量相等，花球原價是2元錢3個，白球原價是2元錢5個．新年優(yōu)惠，兩種球的售價都是4元錢8個，結(jié)果小紅少花了5元錢，那么，她一共買了多少個球？
【答案】150個
【解】
用矩形圖來分析，如圖。
容易得，
解得:
所以 2x=150
2．22名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)競賽，已知家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有一名男老師，那么在這22人中，共有爸爸多少人？
【答案】5人
【解】家長和老師共22人，家長比老師多，家長就不少于12人，老師不多于10人，媽媽和爸爸不少于12人，媽媽比爸爸多，媽媽不少于7人．女老師比媽媽多2人，女老師不少于7＋2＝9(人)．女老師不少于9人，老師不多于10人，就得出男老師至多1人，但題中指出，至少有1名男老師，因此，男老師是1人，女老師就不多于9人，前面已有結(jié)論，女老師不少于9人，因此，女老師有9人，而媽媽有7人，那么爸爸人數(shù)是：22-9-1-7＝5(人) 在這22人中，爸爸有5人．
【提示】妙，本題多次運用值問題思考方法，且巧借半差關(guān)系，得出不等式的范圍。
正反結(jié)合討論的方法也有體現(xiàn)。
3．甲、乙、丙三人現(xiàn)在歲數(shù)的和是113歲，當(dāng)甲的歲數(shù)是乙的歲數(shù)的一半時，丙是38歲，當(dāng)乙的歲數(shù)是丙的歲數(shù)的一半時，甲是17歲，那么乙現(xiàn)在是多大歲數(shù)？
【答案】32歲
【解】如圖。
設(shè)過x年，甲17歲，得：
解得 x=10,
某個時候，甲17-10=7歲，乙7×2=14歲，丙38歲，年齡和為59歲，
所以到現(xiàn)在每人還要加上（113-59）÷3=18（歲）
所以乙現(xiàn)在14+18=32（歲）。
11.甲、乙兩班的學(xué)生人數(shù)相等，各有一些學(xué)生參加數(shù)學(xué)選修課，甲班參加數(shù)學(xué)選修課的人數(shù)恰好是乙班沒有參加的人數(shù)的1/3，乙班參加數(shù)學(xué)選修課的人數(shù)恰好是甲班沒有參加的人數(shù)的1/4。那么甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的幾分之幾?
【答案】
【解】：設(shè)甲班沒參加的是4x人，乙班沒參加的是3y人
那么甲班參加的人數(shù)是y人，乙班參加的人數(shù)是x人
根據(jù)條件兩班人數(shù)相等，所以4x+y=3y+x
3x=2y x:y=2:3
因此4x:3y=8:9 故那么甲班沒有參加的人數(shù)是乙班沒有參加的人數(shù)的
【另解】列一元方程：可假設(shè)兩班人數(shù)都為“1”，設(shè)甲班參加的為x，則甲班未參加的為（1-x）；則乙班未參加的為3x，則乙班參加的為（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求x=3/11。
【提示】方程演算、設(shè)而不求、量化思想都有了，這道題不錯。
2007年重點中學(xué)入學(xué)試卷分析系列七
24. 的數(shù)學(xué)家斯蒂芬 巴納赫于1945年8月31日去世，他在世時的某年的年齡恰好是該年份的算術(shù)平方根(該年的年份是他該年年齡的平方數(shù)).則他出生的年份是 _____ ，他去世時的年齡是 ______ .
【答案】1892年;53歲。
【解】 首先找出在小于1945，大于1845的完全平方數(shù)，有1936＝442，1849＝432，顯然只有1936符合實際，所以斯蒂芬 巴納赫在1936年為44歲．
那么他出生的年份為1936－44＝1892年．
他去世的年齡為1945－1892＝53歲．
【提示】要點是：確定范圍，另外要注意的“潛臺詞”：年份與相應(yīng)年齡對應(yīng)，則有年份－年齡＝出生年份。
36. 某小學(xué)即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學(xué)可以任報兩項，那么要有 ___ 人報名參加運動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學(xué)報名參加的比賽項目相同.
【答案】46
【解】 十項比賽，每位同學(xué)可以任報兩項，那么有 ＝45種不同的報名方法．
那么，由抽屜原理知為 45+1＝46人報名時滿足題意．
37.
43. 如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π=3.14）
【答案】565.2立方厘米
【解】設(shè)三角形BOC以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的立體的體積是S，S等于高為10厘米，底面半徑是6厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。即：
S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，
2S=180π=565.2（立方厘米）
【提示】S也可以看做一個高為5厘米，上、下底面半徑是3、6厘米的圓臺的體積減去一個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積。
4．如圖，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構(gòu)成的所有線段的長度均為整數(shù)，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是 。
【答案】5
【解】由A，B，C，D四個點所構(gòu)成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于點B是線段AD的中點，可以設(shè)線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x3。
對10500做質(zhì)因數(shù)分解：
10500=22×3×53×7，
所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,
所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.
5．甲乙兩地相距60公里，自行車和摩托車同時從甲地駛向乙地.摩托車比自行車早到4小時，已知摩托車的速度是自行車的3倍，則摩托車的速度是 ______ .
【答案】30公里/小時
【解】 記摩托車到達(dá)乙地所需時間為“1”，則自行車所需時間為“3”，有4小時對應(yīng)“3”－“1”＝“2”，所以摩托車到乙地所需時間為4÷2＝2小時．摩托車的速度為60÷2＝30公里/小時．
【提示】這是本質(zhì)的行程中比例關(guān)系的應(yīng)用，注意份數(shù)對應(yīng)思想。
6. 一輛汽車把貨物從城市運往山區(qū)，往返共用了20小時，去時所用時間是回來的1.5倍，去時每小時比回來時慢12公里.這輛汽車往返共行駛了 _____ 公里.
【答案】576
【解】 記去時時間為“1.5”，那么回來的時間為“1”．
所以回來時間為20÷(1.5+1)＝8小時，則去時時間為1.5×8＝12小時．
根據(jù)反比關(guān)系，往返時間比為1.5︰1＝3︰2,則往返速度為2：3,
按比例分配，知道去的速度為12÷（3-2）×2＝24（千米）
所以往返路程為24×12×2＝576（千米）。
7. 有70個數(shù)排成一排，除兩頭兩個數(shù)外，每個數(shù)的3倍恰好等于它兩邊兩個數(shù)之和.已知前兩個數(shù)是0和1，則后一個數(shù)除以6的余數(shù)是 ______ .
【答案】4
【解】 顯然我們只關(guān)系除以6的余數(shù)，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……
有從第1數(shù)開始，每12個數(shù)對于6的余數(shù)一循環(huán)，
因為70÷12＝5……10，
所以第70個數(shù)除以6的余數(shù)為循環(huán)中的第10個數(shù)，即4．
【提示】找規(guī)律，原始數(shù)據(jù)的生成也是關(guān)鍵，細(xì)節(jié)決定成敗。
8. 老師在黑板上寫了一個自然數(shù)。第一個同學(xué)說：“這個數(shù)是2的倍數(shù)?！钡诙€同學(xué)說：“這個數(shù)是3的倍數(shù)?！钡谌齻€同學(xué)說：“這個數(shù)是4的倍數(shù)?！薄谑膫€同學(xué)說：“這個數(shù)是15的倍數(shù)?！焙?，老師說：“在所有14個陳述中，只有兩個連續(xù)的陳述是錯誤的。”老師寫出的小的自然數(shù)是 。
【答案】60060
【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果這個數(shù)不是2，3，4，5，6，7的倍數(shù)，那么這個數(shù)也不是4，6，8，10，12，14的倍數(shù)，錯誤的陳述不是連續(xù)的，與題意不符。所以這個數(shù)是2，3，4，5，6，7的倍數(shù)。由此推知，這個數(shù)也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍數(shù)。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是連續(xù)的，所以這個數(shù)不是8和9的倍數(shù)。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的小公倍數(shù)是22×3×5×7×11×13=60060。
16.小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強(qiáng)。一天，他們和華教授圍著桌子打牌，華教授給他們出了道推理題。華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：
紅桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5
草花K，Q，9，4，6，lO 方塊A，9
華教授從這18張牌中挑出一張牌來，并把這張牌的點數(shù)告訴小王，把這張牌的花色告訴小李。然后，華教授問小王和小李，“你們能從已知的點數(shù)或花色中推斷出這張牌是什么牌嗎?
小王：“我不知道這張牌?！?BR> 小李：“我知道你不知道這張牌?！?BR> 小王：“現(xiàn)在我知道這張牌了?！?BR> 小李：“我也知道了?！?BR> 請問：這張牌是什么牌?
【答案】方塊9。
【解】小王知道這張牌的點數(shù)，小王說：“我不知道這張牌”，說明這張牌的點數(shù)只能是A，Q，4，9中的一個，因為其它的點數(shù)都只有一張牌。
如果這張牌的點數(shù)不是A，Q，4，9，那么小王就知道這張牌了，因為A，Q，4，9以外的點數(shù)全部在黑桃與草花中，如果這張牌是黑桃或草花，小王就有可能知道這張牌，所以小李說：“我知道你不知道這張牌”，說明這張牌的花色是紅桃或方塊。
現(xiàn)在的問題集中在紅桃和方塊的5張牌上。
因為小王知道這張牌的點數(shù)，小王說：“現(xiàn)在我知道這張牌了”，說明這張牌的點數(shù)不是A，否則小王還是判斷不出是紅桃A還是方塊A。
因為小李知道這張牌的花色，小李說：“我也知道了”，說明這張牌是方塊9。否則，花色是紅桃的話，小李判斷不出是紅桃Q還是紅桃4。
【提示】在邏輯推理中，要注意一個命題真時指向一個結(jié)論，而其逆命題也是明確的結(jié)論。
10.從1到100的自然數(shù)中，每次取出2個數(shù)，要使它們的和大于100，則共有 _____ 種取法.
【答案】2500
【解】 設(shè)選有a、b兩個數(shù)，且a＜b，
當(dāng)a為1時，b只能為100，1種取法；
當(dāng)a為2時，b可以為99、100，2種取法；
當(dāng)a為3時，b可以為98、99、100，3種取法；
當(dāng)a為4時，b可以為97、98、99、100，4種取法；
當(dāng)a為5時，b可以為96、97、98、99、100，5種取法；
…… …… ……
當(dāng)a為50時，b可以為51、52、53、…、99、100，50種取法；
當(dāng)a為51時，b可以為52、53、…、99、100，49種取法；
當(dāng)a為52時，b可以為53、…、99、100，48種取法；
…… …… ……
當(dāng)a為99時，b可以為100，1種取法．
所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1＝502＝2500種取法．
【拓展】從1-100中，取兩個不同的數(shù)，使其和是9的倍數(shù)，有多少種不同的取法？
【解】從除以9的余數(shù)考慮，可知兩個不同的數(shù)除以9的余數(shù)之和為9。通過計算，易知除以9余1的有12種，余數(shù)為2-8的為11種，余數(shù)為0的有11種，但其中有11個不滿足題意：如9+9、18+18……，要減掉11。而余數(shù)為1的是12種，多了11種。這樣，可以看成，1-100種，每個數(shù)都對應(yīng)11種情況。
11×100÷2=550種。除以2是因為1+8和8+1是相同的情況。
14.已知三位數(shù)的各位數(shù)字之積等于10，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是 _____ 個.
【答案】6
【解】 因為10＝2×5，所以這些三位數(shù)只能由1、2、5組成，于是共有 ＝6個．
12. 下圖中有五個三角形，每個小三角形中的三個數(shù)的和都等于50，其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74，A9＋A3＋A5＋A10＝76，那么A2與A5的和是多少？
【答案】25
【解】 有A1+A2+A8＝50，
A9+A2+A3＝50，
A4+A3+A5＝50，
A10+A5+A6＝50，
A7+A8+A6＝50，
于是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6＝250，
即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7＝250.
有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7＝250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8＝50，其中A7＝25，所以A6+A8＝50－25＝25.
那么有A2+A5＝250－74－76－50－25＝25.
【提示】上面的推導(dǎo)完全正確，但我們?nèi)狈Ψ较蚋泻涂傮w把握性。
其實，我們看到這樣的數(shù)陣，第一感覺是看到這里5個50并不表示10個數(shù)之和，而是這10個數(shù)再加上內(nèi)圈5個數(shù)的和。這一點是明顯的感覺，也是重要的等量關(guān)系。
再“看問題定方向”，要求第2個數(shù)和第5個數(shù)的和，
說明跟內(nèi)圈另外三個數(shù)有關(guān)系，而其中第6個數(shù)和第8個數(shù)的和是50-25＝25,
再看第3個數(shù)，在加兩條直線第1、2、3、4個數(shù)和第9、3、5、10個數(shù)時，重復(fù)算到第3個數(shù)，
好戲開演：
74+76+50＋25+第2個數(shù)＋第5個數(shù)＝50×5
所以 第2個數(shù)＋第5個數(shù)＝25
13.下面有三組數(shù)
(1) ，1.5， (2)0.7，1.55 (3) ， ，1.6，
從每組數(shù)中取出一個數(shù)，把取出的三個數(shù)相乘，那么所有不同取法的三個數(shù)乘積的和是多少？
【答案】720
【鋪墊】在一個6×5的方格中，上面一行依次填寫0、1、3、5、7、9；在左一列依次填寫0、2、4、6、8，其余每個格子中的數(shù)字等于與他同一行中左邊的數(shù)字與同一列中上面的數(shù)字之和。問：依次填滿數(shù)字以后，這30個數(shù)字之和是多少？
【解】思路同原題。（2+4+6+8）×6+（1+3+5+7+9）×5=245
因為原題較復(fù)雜，也可先講此題，然后再講原題。
【解】 ＝16×2.25×20＝720．
【提示】推導(dǎo)這部分內(nèi)容，可別忘了幫學(xué)生復(fù)習(xí)一下求一個數(shù)所有約數(shù)和的公式。融會貫通的機(jī)會來了。
家 庭 作 業(yè)
1.
【答案】
【解】將分子、分母分解因數(shù)：9633＝3×3211，35321=11×3211
【提示】用輾轉(zhuǎn)相除法更妙了。
14. 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)時他們的速度比是3：2，他們第相遇后，甲的速度提高了20％，乙的速度提高了30％，這樣，當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離A還有14千米，那么，A、B兩地間的距離是多少千米？
【答案】45千米
【解】設(shè)A、B兩地間的距離是5段，根據(jù)兩人速度比是3∶2，當(dāng)他們第相遇時，甲走3段，乙走了2段，此后，甲還要走2段，乙還要走3段．當(dāng)甲、乙分別提高速度后，再者之比是：
【提示】題目很老套了。但考慮方法的靈活性，可以作不同方法的練習(xí)。
本題還可以用通比（或者稱作連比）來解。
14÷(27-13)×(27+18)=45(千米)
20. 新年聯(lián)歡會上，六年級一班的21名同學(xué)參加猜謎活動，他們一共猜對了44條謎語.那么21名同學(xué)中，至少有_______人猜對的謎語一樣多.
【答案】5
【解】 我們應(yīng)該使得猜對的謎語的條數(shù)盡可能的均勻分布，有：
0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4＝(0+1+2+3+4)×4＝40，現(xiàn)在還有1個人還有4條謎語，0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+4＝44．
所以此時有5個人猜對的謎語一樣多，均為4條．
不難驗證至少有5人猜對的謎語一樣多．
此題難點在入手點，即思考方法，可由學(xué)生發(fā)言，由其發(fā)言引出問題，讓學(xué)生們把他們的意見充分表達(dá)出來，再在老師的啟發(fā)下，糾正問題，解決問題。這樣講法要比老師直接切入解題要好。
【提示】注意如果沒有人數(shù)限制，則這里的“至少”應(yīng)該是1個人。結(jié)合21人，應(yīng)該找到方向了。
26. 某一個工程甲單獨做50天可以完成，乙單獨做75天可以完成，現(xiàn)在兩人合作，但途中乙因事離開了幾天，從開工后40天把這個工程做完，則乙中途離開了 ____ 天.
【答案】25
【解】 乙中途離開，但是甲從始至終工作了40天，完成的工程量為整個工程的40× ＝ ．
那么剩下的1－ ＝ 由乙完成，乙需 ÷ ＝15天完成，所以乙離開了40－15＝25天．
30. 從時鐘指向4點整開始，再經(jīng)過________分鐘，時針、分針正好第重合.
【答案】
【解】 方法一：4點整時，時針、分針相差20小格，所以分針需追上時針20小格，記分針的速度為“1”，則時針的速度為“ ”，那么有分針需20÷ ＝ ．
方法二：我們知道：標(biāo)準(zhǔn)的時鐘，時針、分針的夾角每 分鐘重復(fù)，顯然0:00時時針、分針重合．
有1: ，2: ，3: ，4: ……均有時針、分針重合，所以從4點開始，再過 時針、分針第重合．
【拓展】4點到5點的時間里，時針和分針成直角，在什么時間？
這是時鐘和行程相結(jié)合的一個類型，可用原題的方法一求解。難度不大。但是要注意題目有兩個答案，即時針和分針重合和時針、分針位于時針兩側(cè)的情形。
38. 設(shè)有十個人各拿著一只提桶同時到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，…….如此下去，當(dāng)只有兩個水龍頭時，巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間少.這時間等于_________分鐘.
【答案】125
【解】 不難得知應(yīng)先安排所需時間較短的人打水．
不妨假設(shè)為：
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第一個水龍頭 |
第二個水龍頭 |
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第一個 |
A |
F |
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第二個 |
B |
G |
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第三個 |
C |
H |
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第四個 |
D |
I |
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第五個 |
E |
J |
顯然計算總時間時，A、F計算了5次，B、G計算了4次，C、H計算了3次，D、I計算了2次，E、J計算了1次．
那么A、F為1、2，B、G為3、4，C、H為5、6，D、I為7、8，E、J為9、10．
所以有短時間為(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分鐘．
評注：下面給出一排隊方式：
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第一個水龍頭 |
第二個水龍頭 |
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第一個 |
1 |
2 |
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第二個 |
3 |
4 |
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第三個 |
5 |
6 |
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第四個 |
7 |
8 |
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第五個 |
9 |
10 |
【提示】想象一下，如果你去理發(fā)店理發(fā)，只需要一分鐘，可能這時已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小時。這時，你請她讓你先理，她可能很輕松地答應(yīng)你了。
可是，如果反過來，你排隊在前，這位阿姨請你讓她先理，你很難同意她的要求，而且大家都認(rèn)為她的要求不合理，這是為什么呢？
可以看到，一個水龍頭時的等待總時間算法是：
S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E
所以，要想使總時間S小，則要A<B<C<D<E.
兩個水龍頭可參見排隊方法，但排隊方法不。有一個原則:
（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)
45. 有一列數(shù)，第一個數(shù)是133，第二個數(shù)是57，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的平均數(shù)，那么，第16個數(shù)的整數(shù)部分是_______．
【答案】82
【解】由已知：第三個數(shù)＝(133＋57)÷2＝95，第四個數(shù)＝(57＋95)÷2＝75，第五個數(shù)＝(76＋95)÷2＝85.5，第六個數(shù)＝(85.5＋76)÷2＝80.75，第七個數(shù)＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125，第八個數(shù)＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375，第九個數(shù)＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．第十個數(shù)＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，從第十一個數(shù)開始，以后任何一個數(shù)都在82.53125與82.234375之間，所以，這些數(shù)的整數(shù)部分都是82，那么，第16個數(shù)的整數(shù)部分也是82．