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2014考研考試大綱 | 2014研究生招生簡(jiǎn)章 | 歷年考研試題及答案
七、無(wú)窮級(jí)數(shù)
考試內(nèi)容(適用于數(shù)學(xué)一)
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)，狄利克雷(Dirichlet)定理，函數(shù)在[-l,l]上的傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)在[0,l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).
考試內(nèi)容(適用于數(shù)學(xué)三)
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.
考試要求(適用于數(shù)學(xué)一)
1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.
2.掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.
3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法.
4.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.
5.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系.
6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.
7.理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.
8.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.
9.了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.
10.掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)與(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù).
11.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在[-l,l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0,l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式.
考試要求(適用于數(shù)學(xué)三)
1.了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念.
2.了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法.
3.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.
4.會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域.
5.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).
6.了解ex，sinx，cosx，ln(1+x)與(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式.
真題舉例
【例1】(2009年數(shù)一)：設(shè)an為曲線y=xn與y=xn+1(n=1,2,…)所圍成區(qū)域的面積,記S1=∑∞n=1an,S2=∑∞n=1a2n-1,求S1與S2的值.
參考答案：12，1-ln2.
【例2】(2009年數(shù)三)：冪級(jí)數(shù)∑∞n=1en-(-1)nn2xn的收斂半徑為.
參考答案：1e.
【例3】(2008年數(shù)三)：設(shè)銀行存款的年利率為r=0.05,并依年復(fù)利計(jì)算.某基金會(huì)希望通過(guò)存款A(yù)萬(wàn)元實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬(wàn)元,第二年提取28萬(wàn)元,…,第n年提取(10+9n)萬(wàn)元,并能按此規(guī)律一直提取下去,問(wèn)A至少應(yīng)為多少萬(wàn)元?
參考答案：3980.
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七、無(wú)窮級(jí)數(shù)
考試內(nèi)容(適用于數(shù)學(xué)一)
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，函數(shù)的傅里葉(Fourier)系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)，狄利克雷(Dirichlet)定理，函數(shù)在[-l,l]上的傅里葉級(jí)數(shù)，函數(shù)在[0,l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).
考試內(nèi)容(適用于數(shù)學(xué)三)
常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間(指開(kāi)區(qū)間)和收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法，初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.
考試要求(適用于數(shù)學(xué)一)
1.理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件.
2.掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件.
3.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法.
4.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.
5.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系.
6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念.
7.理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.
8.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.
9.了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件.
10.掌握ex，sinx，cosx，ln(1+x)與(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)為冪級(jí)數(shù).
11.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在[-l,l]上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0,l]上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫(xiě)出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式.
考試要求(適用于數(shù)學(xué)三)
1.了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念.
2.了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法.
3.了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法.
4.會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域.
5.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分)，會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).
6.了解ex，sinx，cosx，ln(1+x)與(1+x)α的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式.
真題舉例
【例1】(2009年數(shù)一)：設(shè)an為曲線y=xn與y=xn+1(n=1,2,…)所圍成區(qū)域的面積,記S1=∑∞n=1an,S2=∑∞n=1a2n-1,求S1與S2的值.
參考答案：12，1-ln2.
【例2】(2009年數(shù)三)：冪級(jí)數(shù)∑∞n=1en-(-1)nn2xn的收斂半徑為.
參考答案：1e.
【例3】(2008年數(shù)三)：設(shè)銀行存款的年利率為r=0.05,并依年復(fù)利計(jì)算.某基金會(huì)希望通過(guò)存款A(yù)萬(wàn)元實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬(wàn)元,第二年提取28萬(wàn)元,…,第n年提取(10+9n)萬(wàn)元,并能按此規(guī)律一直提取下去,問(wèn)A至少應(yīng)為多少萬(wàn)元?
參考答案：3980.