2013年高考試題：理科數學新課標卷
★啟用前
2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試()
數學(理科)
注意事項：
1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前考生將自己的姓名\準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置。
2. 回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號標黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3. 答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4. 考試結束，將試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，則M∩N=(）
（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝
（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}
（2）設復數z滿足（1-i）z=2 i，則z=（）
（A）-1+i（B）-1-i（C）1+i（D）1-i
（3）等比數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β。直線l滿足l⊥m，l⊥n， ，則（）
（A）α∥β且l∥α （B）α⊥β且l⊥β
（C）α與β相交，且交線垂直于l（D）α與β相交，且交線平行于l
（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展開式中x2的系數為5，則ɑ=（ ）
（A）-4（B）-3
（C）-2 （D）-1
（6）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=
（A） （B）
（C） （D）
（7）一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分
別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四
面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視
圖可以為
(A) (B) (C) (D)
（8）設a=log36,b=log510,c=log714,則
（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c
（9）已知a＞0，x，y滿足約束條件 ,若z=2x+y的小值為1，則a=
(A) (B) (C)1(D)2
（10）已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是
（A） xα∈R,f(xα)=0
（B）函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形
（C）若xα是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間（-∞,xα）單調遞減
（D）若x0是f（x）的極值點，則
（11）設拋物線y2=3px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為
（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x
（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x
（12）已知點A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是
（A）（0，1）(B) ( C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題，每個試題考生都必修作答。第22題~第24題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 =_______.
（14）從n個正整數1，2，…，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為 ，則n=________.
（15）設θ為第二象限角，若 ，則 =_________.
（16）等差數列{an}的前n項和為Sn ，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的小值為________.
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB。
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的大值。
（18）如圖，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，
AA1=AC=CB= AB。
（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值
（19）（本小題滿分12分）
經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元。根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示。經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品。以x（單位：t，
100≤x≤150）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤。
（Ⅰ）將T表示為x的函數
（Ⅱ）根據直方圖估計利潤T，不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，
需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若x ）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入 的利潤T的數學期望。
(20)(本小題滿分12分)
平面直角坐標系xOy中，過橢圓M： (a>b>0)右焦點的直線x+y- =0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為
(Ι)求M的方程
（Ⅱ）C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的大值
（21）（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=ex-ln(x+m)
(Ι)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調性；
（Ⅱ）當m≤2時，證明f(x)>0
請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一部分，做答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講
如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD
于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，
且BCAE=DCAF，B、E、F、C四點共圓。
（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（2）若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點的圓
的面積與△ABC外接圓面積的比值。
（23）（本小題滿分10分）選修4——4；坐標系與參數方程
已知動點P，Q都在曲線C： 上，對應參數分別為β=α
與α=2π為（0＜α＜2π）M為PQ的中點。
（Ⅰ）求M的軌跡的參數方程
（Ⅱ）將M到坐標原點的距離d表示為a的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點。
（24）（本小題滿分10分）選修4——5；不等式選講
設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
★啟用前
2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試()
數學(理科)
注意事項：
1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前考生將自己的姓名\準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置。
2. 回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號標黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3. 答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
4. 考試結束，將試題卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，則M∩N=(）
（A）｛0，1，2｝ （B）｛-1，0，1，2｝
（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}
（2）設復數z滿足（1-i）z=2 i，則z=（）
（A）-1+i（B）-1-i（C）1+i（D）1-i
（3）等比數列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（）
（A） （B） （C） （D）
（4）已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β。直線l滿足l⊥m，l⊥n， ，則（）
（A）α∥β且l∥α （B）α⊥β且l⊥β
（C）α與β相交，且交線垂直于l（D）α與β相交，且交線平行于l
（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展開式中x2的系數為5，則ɑ=（ ）
（A）-4（B）-3
（C）-2 （D）-1
（6）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N=10，那么輸出的S=
（A） （B）
（C） （D）
（7）一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分
別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四
面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視
圖可以為
(A) (B) (C) (D)
（8）設a=log36,b=log510,c=log714,則
（A）c＞b＞a （B）b＞c＞a （C）a＞c＞b (D)a＞b＞c
（9）已知a＞0，x，y滿足約束條件 ,若z=2x+y的小值為1，則a=
(A) (B) (C)1(D)2
（10）已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是
（A） xα∈R,f(xα)=0
（B）函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形
（C）若xα是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間（-∞,xα）單調遞減
（D）若x0是f（x）的極值點，則
（11）設拋物線y2=3px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為
（A）y2=4x或y2=8x （B）y2=2x或y2=8x
（C）y2=4x或y2=16x （D）y2=2x或y2=16x
（12）已知點A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是
（A）（0，1）(B) ( C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題，每個試題考生都必修作答。第22題~第24題為選考題，考生根據要求作答。
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。
（13）已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則 =_______.
（14）從n個正整數1，2，…，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為 ，則n=________.
（15）設θ為第二象限角，若 ，則 =_________.
（16）等差數列{an}的前n項和為Sn ，已知S10=0，S15 =25，則nSn 的小值為________.
三．解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
△ABC在內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB。
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的大值。
（18）如圖，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，
AA1=AC=CB= AB。
（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD
（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值
（19）（本小題滿分12分）
經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元。根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如右圖所示。經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品。以x（單位：t，
100≤x≤150）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤。
（Ⅰ）將T表示為x的函數
（Ⅱ）根據直方圖估計利潤T，不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，
需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若x ）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入 的利潤T的數學期望。
(20)(本小題滿分12分)
平面直角坐標系xOy中，過橢圓M： (a>b>0)右焦點的直線x+y- =0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為
(Ι)求M的方程
（Ⅱ）C,D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的大值
（21）（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=ex-ln(x+m)
(Ι)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調性；
（Ⅱ）當m≤2時，證明f(x)>0
請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一部分，做答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修4-1幾何證明選講
如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD
于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，
且BCAE=DCAF，B、E、F、C四點共圓。
（1）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（2）若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點的圓
的面積與△ABC外接圓面積的比值。
（23）（本小題滿分10分）選修4——4；坐標系與參數方程
已知動點P，Q都在曲線C： 上，對應參數分別為β=α
與α=2π為（0＜α＜2π）M為PQ的中點。
（Ⅰ）求M的軌跡的參數方程
（Ⅱ）將M到坐標原點的距離d表示為a的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點。
（24）（本小題滿分10分）選修4——5；不等式選講
設a，b，c均為正數，且a+b+c=1，證明：
（Ⅰ）
（Ⅱ）