以下是為大家整理的關于《高一數(shù)學競賽專題培訓講解》的文章，供大家學習參考！
方程理論及應用
一． 一元同余方程
1． 形式： 不能整除 ………………（1）
2． 討論 的解
分析：1）
設 是模m的完系，因為 ，所以 也是模m的完系。因此，其中必有且只有一個樹與零同余，即 ，即（1）有解。
由（1）得： ，由歐拉定理知： ，所以
2） ＞1
設（1）有解，則d︱b；反過來，設d︱b，因為 ，所以 ……（2）有解，所以（1）有解。所以，（1）和（2）是等價的。下面求（2）的解即可。但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我們在（2）的所有解中來求（1）的所有不相同的解。
設（2） 的解為： ，則所以形如 （t為任意整數(shù)）的數(shù)都是（2）的解，因此這些數(shù)中所有關于模m不同余的數(shù)就是（1）的所有解。
因為當 ……（3）時，有 ，所以 ；反之也成立，所以（3）成立的充要條件是
因此，在所有形如 的數(shù)中只要t取關于模d不同余的數(shù)，所得到的數(shù)就關于模m不同余，所以 就是（1）的所有解。
定理1 一元同余方程中，
當 ，有解，
＞1， 有解 d︱b， ， 其中 是 的解。
定理2 （中國剩余定理）設 兩兩互質(zhì)，
則同余方程組 （4）
對于模 有解：
其中： ，
二． 二元不定方程。
1． 形式：
2．定理： 有解 ︱c
三．例題講解。
例1． 解同余式。
1）
2）
3）
4）
例2． 解同余方程組。
1） 2） 3）
例3． 求出小的正整數(shù)，它的一半是整數(shù)的平方，它的 是整數(shù)的三次方，它的 是整數(shù)的五次方。
例4． 解二元不定方程。
1）
2）求： 的整數(shù)解
高斯函數(shù)
一． 定義。
叫高斯函數(shù)，定義域為R，y是不超過x的大整數(shù)。
注：1）
2）
二． 性質(zhì)。
1） 定義： 為x的小數(shù)部分，所以
2） 是不減函數(shù)，當 時，
3） 中整數(shù)部分可以外拿，
4） 有
5） 若 則
6） 在 中，m的倍數(shù)有 個
三． 應用技巧。
1） 充分利用 的定義，根據(jù)定義，任意實數(shù) ，而0≤ ＜1，于是，將關于任意實數(shù)x的問題，歸結(jié)到討論區(qū)間（0，1）上的關于 的問題。
2） 有意識的利用 的性質(zhì)，特別是前四個性質(zhì)，因為這四個性質(zhì)是直接由定義派生出來的，可以說是函數(shù) 的本質(zhì)屬性的推論。
3） 充分利用典型區(qū)間，設m= ，p= ，則x=m+p，其中0≤p＜1，于是，問題歸納到在[0，1]上討論。為此需要對區(qū)間（0，1）進行劃分，分段討論，又常分成幾個相等的小段： ，于是問題的討論只要在典型區(qū)間 上進行即可。
四． 例題講解
例1． 任何實數(shù)x，y，
求證：
例2． 求：
例3． 設r是實數(shù)且滿足條件：
求： （第xx屆美國數(shù)學邀請賽AIME試題）
例4． 在數(shù)列 = 中每個奇數(shù)k出現(xiàn)k次，設有整數(shù)p,q,r存在，對所有正整數(shù)n，滿足 ，其中 表示不大于x的大整數(shù)，
求： 的值。（《數(shù)學通訊》問題征解題）