2014高考數(shù)學(xué)押題:幾何證明
1.幾何證明選做題)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,則PE= .
解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,
又∠A=∠C,
得∠PED=∠A,
∠P為△DPE與△EPA的公共角,
所以△PED∽△PAE, =,PE2=PD·PA.
由PD=2,DA=1,
得PA=3,PE=.
答案:
2.如圖,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,則AE= .
解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,則=,AE===2.
答案:2
3.如圖,☉O和☉O′相交于A,B兩點(diǎn),過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D兩點(diǎn),連結(jié)DB并延長交☉O于點(diǎn)E.證明:
(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
證明:(1)由AC與☉O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,
同理∠ACB=∠DAB,
所以△ACB∽△DAB,從而=,
即AC·BD=AD·AB.
(2)由AD與☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,
又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.
從而=,
即AE·BD=AD·AB,
結(jié)合(1)的結(jié)論,AC=AE.
直線和圓的位置關(guān)系
1.如圖,在圓內(nèi)接梯形ABCD中,AB∥DC.過點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E.若AB=AD=5,BE=4,則弦BD的長為 .
解析:因?yàn)锳E是圓的切線,
AB∥DC,
所以BC=AD=AB=5,
又BE=4,
則EA2=EB×EC=4×9=36,
EA=6.
由∠CDB=∠CAB=∠ACB=∠BAE,
即∠CDB=∠BAE,∠DCB=∠ABE,
得△DCB∽△ABE,則=,
則BD==.
答案:
2.如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EF⊥DB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DF·DB= .
解析:∵Rt△DEF∽Rt△DBE,
∴=,即DE2=DF·DB,
又由相交弦定理得DE2=AE·EB=1×5=5,
∴DF·DB=5.
答案:5
3.如圖,已知AB和AC是圓的兩條弦,過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,FB=1,EF=,則線段CD的長為 .
解析:由相交弦定理知AF×FB=EF×FC,
又∵AF=3,FB=1,EF=,
∴FC=2,
又∵FC∥BD,∴==,∴BD=,
又∵==,∴AD=4CD.
又由切割線定理知DB2=DC·DA,
∴=4CD2,∴CD=.
答案:
4.如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則BD= cm.
解析:法一 Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5.
如圖,連接CD,則CD⊥AB.
由射影定理得BC2=BD·AB,
即42=5·BD,
∴BD=(cm).
法二 ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AC為☉O的直徑,
∴AB=5,BC為☉O的切線,AB為☉O的割線,
∴BC2=BD·AB,∴42=5·BD,
∴BD=(cm).
答案:
5.如圖,直線AB為圓的切線,切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點(diǎn)F,求△BCF外接圓的半徑.
(1)證明:連接DE,交BC于點(diǎn)G.
由弦切角定理得,
∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又DB⊥BE,
所以DE為直徑,
則∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂線,
所以BG=.
設(shè)DE的中點(diǎn)為O,連接BO,
則∠BOG=60°.
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圓的半徑等于.
6.如圖所示,AB為☉O直徑,直線CD與☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
證明: (1)由直線CD與☉O相切,
得∠CEB=∠EAB.
由AB為☉O的直徑,
得AE⊥EB,
從而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得
∠FEB+∠EBF=,
從而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,
∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,
得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
7. (選修41:幾何證明選講)如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四點(diǎn)共圓.
(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;
(2)若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.
(1)證明:因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知=,故△CDB∽△AEF,
所以∠DBC=∠EFA.
因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.
(2)解:連接CE,因?yàn)椤螩BE=90°,
所以過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,
故過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.
8.如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根.
(1)證明:C,B, D,E四點(diǎn)共圓;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.
(1)證明:連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,
AD·AB=mn=AE·AC,
即=.
又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
∴∠ACB+∠EDB=180°,
∴C、B、D、E四點(diǎn)共圓.
(2)解:m=4,n=6時(shí),方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.
取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過G、F作AC、AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH.
因?yàn)镃、B、D、E四點(diǎn)共圓,
∴C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.
由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,
從而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,
故C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.
相似三角形的判定與性質(zhì)
1.如圖所示,AB是半徑等于3的☉O的直徑,CD是☉O的弦,BA,DC的延長線交于點(diǎn)P,若PA=4,PC=5,則∠CBD= .
解析:連接AC,DO,OC,
可得△PAC∽△PDB,
∴=.
∴PD=8,CD=3.
又OC=OD=3,∴△OCD為等邊三角形.
∴∠COD=60°,∴∠CBD=∠COD=30°.
答案:30°
2．如圖所示,已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上,CA切圓O于A點(diǎn),∠ACB的平分線CD交AE于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)D.
(1)求∠ADF的度數(shù);
(2)若AB=AC,求AC∶BC.
解:(1)∵AC為圓O的切線,
∴∠B=∠EAC,
又∵CD是∠ACB的平分線,
∴∠ACD=∠DCB,
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.
又∵BE為圓O的直徑,∴∠DAE=90°,
∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.
(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,
∴△ACE∽△BCA,
∴=.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,
∴在Rt△ABE中, =tan B=tan 30°=,
∴==.
3.如圖所示,AB是☉O的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E,F為BA延長線上一點(diǎn),且BD·BE=BA·BF,求證:
(1)EF⊥FB;
(2)∠DFB+∠DBC=90°.
證明:(1)連接AD.
在△ADB和△EFB中,
∵BD·BE=BA·BF,
∴=.
又∠DBA=∠FBE,
∴△ADB∽△EFB,
又∵AB為☉O直徑,
∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.
(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,
∴E、F、A、D四點(diǎn)共圓,
∴∠DFB=∠AEB.
又AB是☉O的直徑,則∠ACB=90°,
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.
直線和圓的位置關(guān)系
1.如圖所示,PC與圓O相切于點(diǎn)C,直線PO交圓O于A,B兩點(diǎn),弦CD垂直AB于E,則下面結(jié)論中,錯誤的結(jié)論是( )
(A)△BEC∽△DEA
(B)∠ACE=∠ACP
(C)DE2=OE·EP
(D)PC2=PA·AB
解析:由切割線定理可知PC2=PA·PB,所以選項(xiàng)D錯誤,故選D.
答案:D
2.如圖所示,AB是☉O的直徑,P是AB延長線上的一點(diǎn),過P作☉O的切線,切點(diǎn)為C,PC=2,若∠CAP=30°,則PB= .
解析:連接OC,因?yàn)镻C=2,∠CAP=30°,
所以O(shè)C=2tan 30°=2,則AB=2OC=4,
由切割線定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),
解得PB=2.
答案:2
3.如圖所示,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,
AE= AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;
(2)若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.
(1)證明:∵AE=AB,∴BE=AB.
又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,
∴∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四點(diǎn)共圓.
(2)解:如圖所示,取AE的中點(diǎn)G,連接GD,則AG=GE=AE.
∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.
∵AD=AC=,∠DAE=60°,
∴△AGD為正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心,且圓G的半徑為.
由于A,E,F,D四點(diǎn)共圓,即A,E,F,D四點(diǎn)共圓G,其半徑為.
綜合檢測
1.如圖所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,則圓O的半徑OC的長為 .
解析:取BD的中點(diǎn)M,連接OM,OB,
則OM⊥BD,因?yàn)锽D=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,
所以O(shè)M2=AO2-AM2=90-81=9,所以半徑OB====5,即OC=5.
答案:5
2.如圖所示,圓O的直徑AB=8,C為圓周上一點(diǎn),BC=4,過C作圓O的切線l,過A作直線l的垂線AD,D為垂足,AD與圓O交于點(diǎn)E,則線段AE的長為 .
解析:如圖所示,連接OE,OC.
∵直線l與圓O相切于點(diǎn)C,
∴OC⊥l.
又∵AD⊥l,
∴OC∥AD,
∴∠DAB=∠COB.
又圓O的直徑AB=8,BC=4,
∴△COB為等邊三角形,
∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,
∴△AEO也為等邊三角形,
∴AE=OA=4.
答案:4
3.如圖所示,已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切點(diǎn),過PM的中點(diǎn)N,作割線NAB,交圓于A、B兩點(diǎn),連接PA并延長,交圓O于點(diǎn)C,連接PB交圓O于點(diǎn)D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
證明:(1)∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點(diǎn),
∴MN2=PN2=NA·NB, ∴=,
又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.
∵M(jìn)C=BC, ∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP.
(2)∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD,
∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,
∵PM是圓O的切線,∴∠PMA=∠MCP,
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,
∴四邊形PMCD是平行四邊形.
4.如圖所示,銳角三角形ABC的內(nèi)心為I,過點(diǎn)A作直線BI的垂線,垂足為H,點(diǎn)E為圓I與邊CA的切點(diǎn).
(1)求證A,I,H,E四點(diǎn)共圓;
(2)若∠C=50°,求∠IEH的度數(shù).
解:(1)由圓I與AC相切于點(diǎn)E得IE⊥AC,結(jié)合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四點(diǎn)共圓.
(2)由(1)知A,I,H,E四點(diǎn)共圓,所以∠IEH=∠HAI.由題意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=
(∠ABC+∠BAC)= (180°-∠C)=90°-∠C,結(jié)合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-
(90°-∠C)=∠C,所以∠IEH=∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.
1.幾何證明選做題)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn)P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,則PE= .
解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,
又∠A=∠C,
得∠PED=∠A,
∠P為△DPE與△EPA的公共角,
所以△PED∽△PAE, =,PE2=PD·PA.
由PD=2,DA=1,
得PA=3,PE=.
答案:
2.如圖,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,則AE= .
解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,則=,AE===2.
答案:2
3.如圖,☉O和☉O′相交于A,B兩點(diǎn),過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D兩點(diǎn),連結(jié)DB并延長交☉O于點(diǎn)E.證明:
(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
證明:(1)由AC與☉O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,
同理∠ACB=∠DAB,
所以△ACB∽△DAB,從而=,
即AC·BD=AD·AB.
(2)由AD與☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,
又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.
從而=,
即AE·BD=AD·AB,
結(jié)合(1)的結(jié)論,AC=AE.
直線和圓的位置關(guān)系
1.如圖,在圓內(nèi)接梯形ABCD中,AB∥DC.過點(diǎn)A作圓的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E.若AB=AD=5,BE=4,則弦BD的長為 .
解析:因?yàn)锳E是圓的切線,
AB∥DC,
所以BC=AD=AB=5,
又BE=4,
則EA2=EB×EC=4×9=36,
EA=6.
由∠CDB=∠CAB=∠ACB=∠BAE,
即∠CDB=∠BAE,∠DCB=∠ABE,
得△DCB∽△ABE,則=,
則BD==.
答案:
2.如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,EF⊥DB,垂足為F,若AB=6,AE=1,則DF·DB= .
解析:∵Rt△DEF∽Rt△DBE,
∴=,即DE2=DF·DB,
又由相交弦定理得DE2=AE·EB=1×5=5,
∴DF·DB=5.
答案:5
3.如圖,已知AB和AC是圓的兩條弦,過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,FB=1,EF=,則線段CD的長為 .
解析:由相交弦定理知AF×FB=EF×FC,
又∵AF=3,FB=1,EF=,
∴FC=2,
又∵FC∥BD,∴==,∴BD=,
又∵==,∴AD=4CD.
又由切割線定理知DB2=DC·DA,
∴=4CD2,∴CD=.
答案:
4.如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D,則BD= cm.
解析:法一 Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5.
如圖,連接CD,則CD⊥AB.
由射影定理得BC2=BD·AB,
即42=5·BD,
∴BD=(cm).
法二 ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AC為☉O的直徑,
∴AB=5,BC為☉O的切線,AB為☉O的割線,
∴BC2=BD·AB,∴42=5·BD,
∴BD=(cm).
答案:
5.如圖,直線AB為圓的切線,切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上,∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.
(1)證明:DB=DC;
(2)設(shè)圓的半徑為1,BC=,延長CE交AB于點(diǎn)F,求△BCF外接圓的半徑.
(1)證明:連接DE,交BC于點(diǎn)G.
由弦切角定理得,
∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又DB⊥BE,
所以DE為直徑,
則∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂線,
所以BG=.
設(shè)DE的中點(diǎn)為O,連接BO,
則∠BOG=60°.
從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圓的半徑等于.
6.如圖所示,AB為☉O直徑,直線CD與☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連接AE,BE.證明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
證明: (1)由直線CD與☉O相切,
得∠CEB=∠EAB.
由AB為☉O的直徑,
得AE⊥EB,
從而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得
∠FEB+∠EBF=,
從而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,
∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
類似可證:Rt△ADE≌Rt△AFE,
得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
7. (選修41:幾何證明選講)如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四點(diǎn)共圓.
(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;
(2)若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.
(1)證明:因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知=,故△CDB∽△AEF,
所以∠DBC=∠EFA.
因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.
(2)解:連接CE,因?yàn)椤螩BE=90°,
所以過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,
故過B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.
8.如圖所示,D,E分別為△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),且不與△ABC的頂點(diǎn)重合.已知AE的長為m,AC的長為n,AD,AB的長是關(guān)于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根.
(1)證明:C,B, D,E四點(diǎn)共圓;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圓的半徑.
(1)證明:連接DE,根據(jù)題意在△ADE和△ACB中,
AD·AB=mn=AE·AC,
即=.
又∠DAE=∠CAB,從而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
∴∠ACB+∠EDB=180°,
∴C、B、D、E四點(diǎn)共圓.
(2)解:m=4,n=6時(shí),方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.
取CE的中點(diǎn)G,DB的中點(diǎn)F,分別過G、F作AC、AB的垂線,兩垂線相交于H點(diǎn),連接DH.
因?yàn)镃、B、D、E四點(diǎn)共圓,
∴C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的圓心為H,半徑為DH.
由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,
從而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,
故C、B、D、E四點(diǎn)所在圓的半徑為5.
相似三角形的判定與性質(zhì)
1.如圖所示,AB是半徑等于3的☉O的直徑,CD是☉O的弦,BA,DC的延長線交于點(diǎn)P,若PA=4,PC=5,則∠CBD= .
解析:連接AC,DO,OC,
可得△PAC∽△PDB,
∴=.
∴PD=8,CD=3.
又OC=OD=3,∴△OCD為等邊三角形.
∴∠COD=60°,∴∠CBD=∠COD=30°.
答案:30°
2．如圖所示,已知C點(diǎn)在圓O直徑BE的延長線上,CA切圓O于A點(diǎn),∠ACB的平分線CD交AE于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)D.
(1)求∠ADF的度數(shù);
(2)若AB=AC,求AC∶BC.
解:(1)∵AC為圓O的切線,
∴∠B=∠EAC,
又∵CD是∠ACB的平分線,
∴∠ACD=∠DCB,
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.
又∵BE為圓O的直徑,∴∠DAE=90°,
∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.
(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,
∴△ACE∽△BCA,
∴=.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,
∴在Rt△ABE中, =tan B=tan 30°=,
∴==.
3.如圖所示,AB是☉O的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點(diǎn)E,F為BA延長線上一點(diǎn),且BD·BE=BA·BF,求證:
(1)EF⊥FB;
(2)∠DFB+∠DBC=90°.
證明:(1)連接AD.
在△ADB和△EFB中,
∵BD·BE=BA·BF,
∴=.
又∠DBA=∠FBE,
∴△ADB∽△EFB,
又∵AB為☉O直徑,
∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.
(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,
∴E、F、A、D四點(diǎn)共圓,
∴∠DFB=∠AEB.
又AB是☉O的直徑,則∠ACB=90°,
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.
直線和圓的位置關(guān)系
1.如圖所示,PC與圓O相切于點(diǎn)C,直線PO交圓O于A,B兩點(diǎn),弦CD垂直AB于E,則下面結(jié)論中,錯誤的結(jié)論是( )
(A)△BEC∽△DEA
(B)∠ACE=∠ACP
(C)DE2=OE·EP
(D)PC2=PA·AB
解析:由切割線定理可知PC2=PA·PB,所以選項(xiàng)D錯誤,故選D.
答案:D
2.如圖所示,AB是☉O的直徑,P是AB延長線上的一點(diǎn),過P作☉O的切線,切點(diǎn)為C,PC=2,若∠CAP=30°,則PB= .
解析:連接OC,因?yàn)镻C=2,∠CAP=30°,
所以O(shè)C=2tan 30°=2,則AB=2OC=4,
由切割線定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),
解得PB=2.
答案:2
3.如圖所示,在正△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC, AB上,且AD=AC,
AE= AB,BD,CE相交于點(diǎn)F.
(1)求證:A,E,F,D四點(diǎn)共圓;
(2)若正△ABC的邊長為2,求A,E,F,D所在圓的半徑.
(1)證明:∵AE=AB,∴BE=AB.
又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,
∴∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四點(diǎn)共圓.
(2)解:如圖所示,取AE的中點(diǎn)G,連接GD,則AG=GE=AE.
∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.
∵AD=AC=,∠DAE=60°,
∴△AGD為正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心,且圓G的半徑為.
由于A,E,F,D四點(diǎn)共圓,即A,E,F,D四點(diǎn)共圓G,其半徑為.
綜合檢測
1.如圖所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,則圓O的半徑OC的長為 .
解析:取BD的中點(diǎn)M,連接OM,OB,
則OM⊥BD,因?yàn)锽D=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,
所以O(shè)M2=AO2-AM2=90-81=9,所以半徑OB====5,即OC=5.
答案:5
2.如圖所示,圓O的直徑AB=8,C為圓周上一點(diǎn),BC=4,過C作圓O的切線l,過A作直線l的垂線AD,D為垂足,AD與圓O交于點(diǎn)E,則線段AE的長為 .
解析:如圖所示,連接OE,OC.
∵直線l與圓O相切于點(diǎn)C,
∴OC⊥l.
又∵AD⊥l,
∴OC∥AD,
∴∠DAB=∠COB.
又圓O的直徑AB=8,BC=4,
∴△COB為等邊三角形,
∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,
∴△AEO也為等邊三角形,
∴AE=OA=4.
答案:4
3.如圖所示,已知圓O外有一點(diǎn)P,作圓O的切線PM,M為切點(diǎn),過PM的中點(diǎn)N,作割線NAB,交圓于A、B兩點(diǎn),連接PA并延長,交圓O于點(diǎn)C,連接PB交圓O于點(diǎn)D,若MC=BC.
(1)求證:△APM∽△ABP;
(2)求證:四邊形PMCD是平行四邊形.
證明:(1)∵PM是圓O的切線,NAB是圓O的割線,N是PM的中點(diǎn),
∴MN2=PN2=NA·NB, ∴=,
又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.
∵M(jìn)C=BC, ∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP.
(2)∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD,
∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,
∵PM是圓O的切線,∴∠PMA=∠MCP,
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC,
∴MC∥PD,
∴四邊形PMCD是平行四邊形.
4.如圖所示,銳角三角形ABC的內(nèi)心為I,過點(diǎn)A作直線BI的垂線,垂足為H,點(diǎn)E為圓I與邊CA的切點(diǎn).
(1)求證A,I,H,E四點(diǎn)共圓;
(2)若∠C=50°,求∠IEH的度數(shù).
解:(1)由圓I與AC相切于點(diǎn)E得IE⊥AC,結(jié)合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四點(diǎn)共圓.
(2)由(1)知A,I,H,E四點(diǎn)共圓,所以∠IEH=∠HAI.由題意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=
(∠ABC+∠BAC)= (180°-∠C)=90°-∠C,結(jié)合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-
(90°-∠C)=∠C,所以∠IEH=∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.