初中奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)練習(xí)題

以下是為大家整理的初中奧數(shù)數(shù)論基礎(chǔ)練習(xí)題的文章，供大家學(xué)習(xí)參考！
    內(nèi)容與方法：整除性、分解定理、質(zhì)數(shù)與合數(shù)，公約數(shù)與公倍數(shù)、高斯函數(shù)、勾股數(shù)、不定方程、同余、剩余類、歐拉定理與費(fèi)爾馬定理、平方和問題、p進(jìn)制
    1、在電腦屏幕上給出一個正2011邊形，它的頂點(diǎn)分別被涂成黑、白兩色；某程序執(zhí)
    行這樣的操作：每次可選中多邊形連續(xù)的a個頂點(diǎn)（其中a是小于2011的一個固定的正整數(shù)），一按鼠標(biāo)鍵，將會使這a個頂點(diǎn)“黑白顛倒”，即黑點(diǎn)變白，而白點(diǎn)變黑；
    (1)、證明：如果a為奇數(shù)，則可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成白色，也可以經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有頂點(diǎn)都變成黑色；
    (2)、當(dāng)a為偶數(shù)時，是否也能經(jīng)過有限次這樣的操作，使得所有的頂點(diǎn)都變成一色？
    00
    證明你的結(jié)論．
    2、試求x7y2011的所有正整數(shù)(x,y)．
    2
    2
    3、如果正整數(shù)a可表為：a235(m,n,kN)，就稱a為好數(shù)．證明：
    1a1
    3
    mnk
    存在2012個互異好數(shù)a1,a2,,a2012，滿足：
    
    1a2
    3
    
    1a2011
    3
    
    1a2012
    3
    ．
    4、設(shè)n4，若n元正整數(shù)集合M滿足：對任何整數(shù)k，都存在a,bM，ab，
    使得ak與bk是不互質(zhì)的數(shù)，就稱M為“好集”．
    證明：若M為“好集”，且M中所有元素之和為2011，則存在cM，使得從M中刪去元素c后，所得到的集MM\c仍為“好集”．
    n
    n
    2012
    5、設(shè)數(shù)n為正奇數(shù)，滿足n
    k
    k1
    ，證明：n
    2
    k
    k1
    2013
    ．
    6、設(shè)T(n)為正整數(shù)n
    的正因數(shù)的個數(shù)，證明：T(n)
    2
    2
    2
    7、設(shè)P1,2,3,為全體正整數(shù)的平方所構(gòu)成的集合，如果正整數(shù)n能表成集
    合P中的若干個（至少一個）互異元素之和，就稱“數(shù)n具有P結(jié)構(gòu)”，記為nP；證明：不具有P結(jié)構(gòu)的正整數(shù)只有有限多個．
    8、對于給定的有限項(xiàng)的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,,an,進(jìn)行如下操作：如果jk，并且aj
    不整除ak，那么將aj,ak分別換成(aj,ak)和[aj,ak]；
    證明：這個過程是有限的，并且最終的結(jié)果是的．
    9、若正整數(shù)m,n,k滿足：mnk1，證明：存在x1,x2,y1,y2N，使以下三式：
    mx1y1, nx2y2, kx1x2y1y2 同時成立.
    p12
    2
    2
    2
    2
    2
    10、若p4n1為質(zhì)數(shù)，則
    r1
    r2p1
    ，（即 p4k2
    ． pn）
    k1
    2n
    11、設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，a,b是小于p的正整數(shù)，證明：abp的必要充分條件是：對
    2an2bn
    任何小于p的正整數(shù)n，均有正奇數(shù). （其中方括號表示取整.）
    pp
    12、設(shè)正整數(shù)a的各位數(shù)字全由1和2組成，由其中任意k k2個連續(xù)數(shù)位上的數(shù)
    字所組成的k位數(shù)，稱為數(shù)a的一個“k段”；若數(shù)a的任兩個“k段”都不相同．
    證明：對于具有這種性質(zhì)的正整數(shù)a，其開初的一個“k1段”和最后的一個“k1段”必定相同.
    13、設(shè)正整數(shù)m,n2，對于任一個n元整數(shù)集Aa1,a2,,an，取其中每一對不
    同的數(shù)ai,aj，ji，作差 ajai（其中有些差可能是相等的），由這Cn個差按遞增順
    2
    序所排成的一個整數(shù)數(shù)列，稱為集合A的“衍生數(shù)列”，記為A，衍生數(shù)列A中能被m整除的數(shù)的個數(shù)記為Am．
    證明：對于任一正整數(shù)m2，n元整數(shù)集Aa1,a2,,an及其下標(biāo)（即前n個正整數(shù)）構(gòu)成的集B1,2,,n所對應(yīng)的“衍生數(shù)列”A,B，滿足不等式：AmBm．
    14、若三角形的三條邊長皆為有理數(shù)，且有一個內(nèi)角的角度數(shù)也是有理數(shù)，試求該內(nèi)
    角度數(shù)的所有可能的值．并給出所有這種三角形邊長的一般表達(dá)式．
    15、證明：如果正整數(shù)N可以表示為都是3的倍數(shù)的三個整數(shù)的平方和，那么N也可以表示為都不是3的倍數(shù)的三個整數(shù)的平方和．
    16、對于互質(zhì)的正整數(shù)m,n，求公約數(shù)(57,57)所有可能的值． p
    17、試求所有的質(zhì)數(shù)p3，具有如下性質(zhì)：對任何質(zhì)數(shù)qp，數(shù)pq不能被
    q
    m
    m
    n
    n
    任何質(zhì)數(shù)的平方整除．
    18、數(shù)列a0,a1,a2,滿足：a02,ak12ak1,kN；
    2
    證明：若有奇質(zhì)數(shù)p及某項(xiàng)an，使得pan，則2
    n3
    p1．
    2
    試求不小于9的最小正整數(shù)n，滿足：對任給的n個整數(shù)a1,a2,,an（可以相同），19、
    總存在9個數(shù)ai,ai,,ai,(1i1i2i9n)以及bi4,7,(i1,2,,9)，使得
    1
    2
    9
    b1ai1b2ai2b9ai9為9的倍數(shù)．
    20、設(shè)集合M257,,，如果數(shù)a能表成集M中的若干個元素之
    
    
    
    和，并且這些元素之間沒有倍數(shù)關(guān)系，則稱數(shù)a具有屬于集M的單純分拆D，記為aDM ．
    10
    、試確定，當(dāng)a250，且a3,6,31時，必有aD
    M
    ；
    20
    、證明：對異于3,6,31的任何正整數(shù)a，都有aD