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1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：選B 左邊=1+++…+==2-，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為( )
A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析：選C 等式的左端為1+a+a2+…+an+1，當(dāng)n=1時(shí)，左端=1+a+a2.
3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+的過程中，由n=k推導(dǎo)n=k+1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是____________.
解析：不等式的左邊增加的式子是+-=，故填.
答案：
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+1(nN*)，通過計(jì)算a1，a2，a3，a4，可猜想an=________.
解析：a1=1，a2=a1+1=，a3=a2+1=，a4=a3+1=.猜想an=.
答案：
9.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=________;當(dāng)n>4時(shí)，f(n)=________________(用n表示).
解析：f(3)=2，f(4)=f(3)+3=2+3=5，
f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)
=(n+1)(n-2).
答案：5 (n+1)(n-2)
10.用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式：
12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.
證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1，右邊=(-1)0·=1，原等式成立.
(2)假設(shè)n=k(kN*，k≥1)時(shí)，等式成立，
即有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2=(-1)k-1.
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，則有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k·(k+1)2
=(-1)k-1+(-1)k·(k+1)2=(-1)k·[-k+2(k+1)]=(-1)k.
n=k+1時(shí)，等式也成立，
由(1)(2)知對任意nN*，有12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.
11.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=a-2nan+2，n=1,2,3，….
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明);
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明.
解：(1)a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1.
(2)Sn==n2+2n，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n=6.
下證：n≥6(nN*)時(shí)都有2n>n2+2n.
n=6時(shí)，26>62+2×6，即64>48成立;
假設(shè)n=k(k≥6，kN*)時(shí)，2k>k2+2k成立，那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1)，即n=k+1時(shí)，不等式成立;
由可得，對于任意的n≥6(nN*)都有2n>n2+2n成立.
12.(2014·舟山模擬)若不等式++…+>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的值，并證明結(jié)論.
解：當(dāng)n=1時(shí)，++>，即>，所以a<26.
而a是正整數(shù)，所以取a=25，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
++…+>.
(1)當(dāng)n=1時(shí)，已證得不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，不等式成立，
即++…+>.
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有++…+
=++…++++-
>+.
因?yàn)?-=-
==>0，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有
++…+>，所以a的值等于25.
[沖擊]
已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，當(dāng)nN*時(shí)，an+2=an+1+an.求證：數(shù)列{an}的第4m+1項(xiàng)(mN*)能被3整除.
證明：(1)當(dāng)m=1時(shí)，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即當(dāng)m=1時(shí)，第4m+1項(xiàng)能被3整除.故命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，a4k+1能被3整除，則當(dāng)m=k+1時(shí)，
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.
顯然，3a4k+2能被3整除，又由假設(shè)知a4k+1能被3整除.所以3a4k+2+2a4k+1能被3整除.
即當(dāng)m=k+1時(shí)，a4(k+1)+1也能被3整除.命題也成立.
由(1)和(2)知，對于任意nN*，數(shù)列{an}中的第4m+1項(xiàng)能被3整除.
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+>(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：選B 左邊=1+++…+==2-，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”，在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為( )
A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
解析：選C 等式的左端為1+a+a2+…+an+1，當(dāng)n=1時(shí)，左端=1+a+a2.
3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+的過程中，由n=k推導(dǎo)n=k+1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是____________.
解析：不等式的左邊增加的式子是+-=，故填.
答案：
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+1(nN*)，通過計(jì)算a1，a2，a3，a4，可猜想an=________.
解析：a1=1，a2=a1+1=，a3=a2+1=，a4=a3+1=.猜想an=.
答案：
9.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=________;當(dāng)n>4時(shí)，f(n)=________________(用n表示).
解析：f(3)=2，f(4)=f(3)+3=2+3=5，
f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)
=(n+1)(n-2).
答案：5 (n+1)(n-2)
10.用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式：
12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.
證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1，右邊=(-1)0·=1，原等式成立.
(2)假設(shè)n=k(kN*，k≥1)時(shí)，等式成立，
即有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2=(-1)k-1.
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，則有12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k·(k+1)2
=(-1)k-1+(-1)k·(k+1)2=(-1)k·[-k+2(k+1)]=(-1)k.
n=k+1時(shí)，等式也成立，
由(1)(2)知對任意nN*，有12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1.
11.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=a-2nan+2，n=1,2,3，….
(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(不需證明);
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明.
解：(1)a2=5，a3=7，a4=9，猜想an=2n+1.
(2)Sn==n2+2n，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n=6.
下證：n≥6(nN*)時(shí)都有2n>n2+2n.
n=6時(shí)，26>62+2×6，即64>48成立;
假設(shè)n=k(k≥6，kN*)時(shí)，2k>k2+2k成立，那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1)，即n=k+1時(shí)，不等式成立;
由可得，對于任意的n≥6(nN*)都有2n>n2+2n成立.
12.(2014·舟山模擬)若不等式++…+>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的值，并證明結(jié)論.
解：當(dāng)n=1時(shí)，++>，即>，所以a<26.
而a是正整數(shù)，所以取a=25，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
++…+>.
(1)當(dāng)n=1時(shí)，已證得不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí)，不等式成立，
即++…+>.
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有++…+
=++…++++-
>+.
因?yàn)?-=-
==>0，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有
++…+>，所以a的值等于25.
[沖擊]
已知數(shù)列{an}滿足a1=0，a2=1，當(dāng)nN*時(shí)，an+2=an+1+an.求證：數(shù)列{an}的第4m+1項(xiàng)(mN*)能被3整除.
證明：(1)當(dāng)m=1時(shí)，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即當(dāng)m=1時(shí)，第4m+1項(xiàng)能被3整除.故命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，a4k+1能被3整除，則當(dāng)m=k+1時(shí)，
a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.
顯然，3a4k+2能被3整除，又由假設(shè)知a4k+1能被3整除.所以3a4k+2+2a4k+1能被3整除.
即當(dāng)m=k+1時(shí)，a4(k+1)+1也能被3整除.命題也成立.
由(1)和(2)知，對于任意nN*，數(shù)列{an}中的第4m+1項(xiàng)能被3整除.