一、選擇題
1. (2014焠東濰坊，第12題3分)如圖，已知正方形ABCD，頂點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1).規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為變換.如此這樣，連續(xù)經(jīng)過(guò)2014次變換后，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)? )
A.(—2012,2) B.(一2012，一2) C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱;坐標(biāo)與圖形變化-平移.
專題：規(guī)律型.
分析：首先求出正方形對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(2，2)，然后根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得規(guī)律.
解答：∵正方形ABCD，點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1).∴M的坐標(biāo)變?yōu)?2,2)
∴根據(jù)題意得：第1次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-1，-2)，即(1，-2)，
第2次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2-2，2)，即(0，2)，
第3次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-3，-2)，即(-1，-2)，
第2014次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的為坐標(biāo)為(2-2014， 2)，即(-2012， 2)
故答案為A.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)稱與平移的性質(zhì).此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：第n次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為(2-n，-2)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為(2-n，2)是解此題的關(guān)鍵.
2.(2014山東濟(jì)南，第14題，3分)現(xiàn)定義一種變換：對(duì)于一個(gè)由有限個(gè)數(shù)組成的序列 ，將其中的每個(gè)數(shù)換成該數(shù)在 中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個(gè)新序列.例如序列 ：(4，2，3，4，2)，通過(guò)變換可得到新序列 ：(2，2，1，2，2).若 可以為任意序列，則下面的序列可以作為 的是
A.(1，2，1，2，2) B.(2，2，2，3，3)
C.(1，1，2，2，3) D.(1，2，1，1，2)
【解析】由于序列 含5個(gè)數(shù)，于是新序列中不能有3個(gè)2，所以A，B中所給序列不能作為 ; 又如果 中有3，則 中應(yīng)有3個(gè)3，所以C中所給序列也不能作為 ，故選D.
3. ( 2014纏罞賀州，第12題3分)張華在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+(x>0)的小值是2”.其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，矩形的周長(zhǎng)是2(x+);當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有x=(0>0)，解得x=1，這時(shí)矩形的周長(zhǎng)2(x+)=4小，因此x+(x>0)的小值是2.模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子 (x>0)的小值是( )
A. 2 B. 1 C. 6 D. 10
考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算;完全平方公式.
專題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)題意求出所求式子的小值即可.
解答： 解：得到x>0，得到 =x+≥2 =6，
則原式的小值為6.
故選C
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的混合運(yùn)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.
4. (2014泰州，第6題，3分)如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
考點(diǎn)： 解直角三角形
專題： 新定義.
分析： A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定;
B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定.
解答： 解：A、∵1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵12+12=( )2，是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、底邊上的高是 = ，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定義，故選項(xiàng)正確.
故選：D.
點(diǎn)評(píng)： 考查了解直角三角形，涉及三角形三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念.
二、填空題
1.(2014四川宜賓，第16題，3分)規(guī)定：sin(﹣x)=﹣sinx，cos(﹣x)=cosx，sin(x+y)=sinx撓漀猀礀+cosx猠椀渀礀.
據(jù)此判斷下列等式成立的是 ②③④ (寫(xiě)出所有正確的序號(hào))
①cos(﹣60°)=﹣;
②sin75°= ;
③sin2x=2sinx撓漀猀碭;
④sin(x﹣y)=sinx撓漀猀礀挀揾漀猀碭猠椀
3. (2014張罬骉州，第24題，10分)
【試題背景】已知：∥ ∥ ∥，平行線與 、 與 、 與之間的距離分別為 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在、 、 、這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”.
【探究1】 ⑴ 如圖1，正方形 為“格線四邊形”， 于點(diǎn) , 的反向延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn) . 求正方形 的邊長(zhǎng).
【探究2】 ⑵ 矩形 為“格線四邊形”，其長(zhǎng) ：寬 = 2 ：1 ，則矩形 的寬為 . (直接寫(xiě)出結(jié)果即可)
【探究3】 ⑶ 如圖2，菱形 為“格線四邊形”且∠ =60°，△ 是等邊三角形， 于點(diǎn) ， ∠ =90°，直線 分別交直線、于點(diǎn) 、 . 求證： .
【拓 展】 ⑷ 如圖3，∥，等邊三角形 的頂點(diǎn) 、 分別落在直線、上， 于點(diǎn) ，且 =4 ，∠ =90°，直線 分別交直線、于點(diǎn) 、 ，點(diǎn) 、 分別是線段 、 上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持 = ， 于點(diǎn) .
猜想： 在什么范圍內(nèi)， ∥ ?并說(shuō)明此時(shí) ∥ 的理由.
解析：(1) 如圖1，
∵BE⊥l , l ∥k ,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
又四邊形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,
∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),
∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= ,
∴正方形的邊長(zhǎng)是 .
(2)如圖2,3，
⊿ABE∽⊿BCF,
∴ 或
∵BF=d3=1 ,
∴AE= 或
∴AB= 或
AB=
∴矩形ABCD的寬為 或 .
(注意：要分2種情況討論)
(3)如圖4，
連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC,
又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等邊三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等邊三角形， ∴ AF=AE,
∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.
(4)如圖5，
當(dāng)2
理由如下：
連接AM,
∵AB⊥k , ∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD=90°,
∵⊿ABC是等邊三角形，
∴AB=AC ,
已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD;
在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，
，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),
∴ BM=CM ;
∴ME=MD,
∴ , ∴ED∥BC.
4. (2014夠彭浬州，第23題，12分)復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是實(shí)數(shù)).
教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫(xiě)到黑板上.
學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條：
①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)(1，0)點(diǎn);
②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn);
③當(dāng)x>1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小;
④若函數(shù)有大值，則大值比為正數(shù)，若函數(shù)有小值，則小值比為負(fù)數(shù).
教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由.后簡(jiǎn)單寫(xiě)出解決問(wèn)題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題
分析： ①將(1，0)點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷;
②首先考慮，函數(shù)為函數(shù)的情況，從而可判斷為假;
③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷;
④當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為函數(shù)，無(wú)大之和小值，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷.
解答： 解：①真，將(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，
解得：k=0.
運(yùn)用方程思想;
②假，反例：k=0時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn).運(yùn)用舉反例的方法;
③假，如k=1，﹣ =，當(dāng)x>1時(shí)，先減后增;運(yùn)用舉反例的方法;
④真，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)無(wú)大、小值;
k≠0時(shí)，y= =﹣ ，
∴當(dāng)k>0時(shí)，有小值，小值為負(fù);
當(dāng)k<0時(shí)，有大值，大值為正.運(yùn)用分類討論思想.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結(jié)合考察了數(shù)學(xué)解題過(guò)程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學(xué)們注意思考、理解，難度一般.
ny.
考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義;特殊角的三角函數(shù)值.
專題： 新定義.
分析： 根據(jù)已知中的定義以及特殊角的三角函數(shù)值即可判斷.
解答： 解：①cos(﹣60°)=cos60°=，命題錯(cuò)誤;
②sin75°=sin(30°+45°)=sin30°撓漀猀45°+cos30°猠椀渀45°=× + × = + = ，命題正確;
③sin2x=sinx撓漀猀碭+cosx猠椀渀碭倀㈥猀椀渀碭撓漀猀碭，故命題正確;
④sin(x﹣y)=sinx撓漀猀(﹣y)+cosx猠椀渀(﹣y)=sinx撓漀猀礀挀揾漀猀碭猠椀渀礀，命題正確.
故答案是：②③④.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查銳角三角函數(shù)以及特殊角的三角函數(shù)值，正確理解題目中的定義是關(guān)鍵.
2. (2014貴州黔西南州, 第20題3分)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)(m，n)，規(guī)定以下兩種變換：
(1)f(m，n)=(m，﹣n)，如f(2，1)=(2，﹣1);
(2)g(m，n)=(﹣m，﹣n)，如g (2，1)=(﹣2，﹣1)x k b 1 . c o m
按照以上變換有：f[g(3，4)]=f(﹣3，﹣4)=(﹣3，4)，那么g[f(﹣3，2)]= (3，2) .
考點(diǎn)： 點(diǎn)的坐標(biāo).
專題： 新定義.
分析： 由題意應(yīng)先進(jìn)行f方式的運(yùn)算，再進(jìn)行g(shù)方式的運(yùn)算，注意運(yùn)算順序及坐標(biāo)的符號(hào)變化.
解答：x kb 1 解：∵f(﹣3，2)=(﹣3，﹣2)，
∴g[f(﹣3，2)]=g(﹣3，﹣2)=(3，2)，
故答案為(3，2).
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一種新型的運(yùn)算法則，考查了學(xué)生的閱讀理解能力，此類題的難點(diǎn)是判斷先進(jìn)行哪個(gè)運(yùn)算，關(guān)鍵是明白兩種運(yùn)算改變了哪個(gè)坐標(biāo)的符號(hào).
三、解答題
1. (2014四川巴中，第22題5分)定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，請(qǐng)根據(jù)上述知識(shí)解決問(wèn)題：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范圍.
考點(diǎn)：新定義.
分析：首先根據(jù)運(yùn)算的定義化簡(jiǎn)3△x，則可以得到關(guān)于x的不等式組，即可求解.
解答：3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根據(jù)題意得： ，解得：
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元不等式組的解法，正確理解運(yùn)算的定義是關(guān)鍵.
2.(2014嘠坮張家界，第23題，8分)閱讀材料：解分式不等式 <0
解：根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：
① 或②
解①得：無(wú)解，解②得：﹣2
所以原不等式的解集是﹣2
請(qǐng)仿照上述方法解下列分式不等式：
(1) ≤0
(2) >0.
考點(diǎn)： 一元不等式組的應(yīng)用.
專題： 新定義.
分析： 先把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，然后通過(guò)解不等式組來(lái)求分式不等式.
解答： 解：(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：
① 或②
解①得：無(wú)解，
解②得：﹣2.5
所以原不等式的解集是：﹣2.5
(2)根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：
① 或②
解①得：x>3，
解②得：x<﹣2.
所以原不等式的解集是：x>3或x<﹣2.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元不等式組的應(yīng)用.本題通過(guò)材料分析，先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，再求其公共部分即可.
5. ( ( 2014年河南) 21.10分)某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.
(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn);
(2)該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍。設(shè)購(gòu)進(jìn)A掀電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元。
①求y與x的關(guān)系式;
②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型各多少臺(tái)，才能使銷售利潤(rùn)大?
(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m(0
解：(1)設(shè)每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元，
則有 解得
即每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元. ……4分
(2)①根據(jù)題意得y=100x+150(100-x)，即y=-50x+15000……………………5分
②根據(jù)題意得100-x≤2x，解得x≥33 ，
∵y=-50x+15000，-50<0，∴y隨x的增大而減小.
∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x=34小時(shí)，y取大值，此時(shí)100-x=66.
即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦34臺(tái)，B型電腦66臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)大………7分
(3)根據(jù)題意得y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000.
33 ≤x≤70.
①當(dāng)0
∴當(dāng)x =34時(shí)，y取得大值.
即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦才能獲得大利潤(rùn);…………8分
②當(dāng)m=50時(shí)，m-50=0，y=15000.
即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)滿足33 ≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得大利潤(rùn);…9分
③當(dāng)500，y隨x的增大而增大.
∴x=70時(shí)，y取得大值.
即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦才能獲得大利潤(rùn).……………10分
6.(2014四川涼山州，第22題，8分)實(shí)驗(yàn)與探究：
三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算
如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…
容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)約和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)的和嗎?
如果要用試驗(yàn)的方法，由上而下地逐行的相加其點(diǎn)數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和與n的數(shù)量關(guān)系
前n行的點(diǎn)數(shù)的和是1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n，可以發(fā)現(xiàn).
2×[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]
=[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]+[n+(n﹣1)+(n﹣2)+…3+2+1]
把兩個(gè)中括號(hào)中的第一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)相加…第n項(xiàng)相加，上式等號(hào)的后邊變形為這n個(gè)小括號(hào)都等于n+1，整個(gè)式子等于n(n+1)，于是得到
1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n=n(n+1)
這就是說(shuō)，三角點(diǎn)陣中前n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)的和是n(n+1)
下列用一元二次方程解決上述問(wèn)題
設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為300，則有n(n+1)
整理這個(gè)方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根據(jù)問(wèn)題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點(diǎn)陣中前24行的點(diǎn)數(shù)的和是300.
請(qǐng)你根據(jù)上述材料回答下列問(wèn)題：
(1)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600嗎?如果能，求出n;如果不能，試用一元二次方程說(shuō)明道理.
(2)如果把圖中的三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究處前n行的點(diǎn)數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎?這個(gè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能使600嗎?如果能，求出n;如果不能，試用一元二次方程說(shuō)明道理.
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用;規(guī)律型：圖形的變化類
分析： (1)由于第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…，則前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)個(gè)點(diǎn)，然后求它們的和，前n行共有 個(gè)點(diǎn)，則 =600，然后解方程得到n的值;
(2)根據(jù)2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2× 個(gè)進(jìn)而得出即可;根據(jù)規(guī)律可得n(n+1)=600，求n的值即可.
解答： 解：(1)由題意可得： =600，
整理得n2+n﹣1200=0，
(n+25)(n﹣24)=0，
此方程無(wú)正整數(shù)解，
所以，三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和不可能是600;
(2)由題意可得：
2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2× =n(n+1);
依題意，得n(n+1)=600，
整理得n2+n﹣600=0，
(n+25)(n﹣24)=0，
∴n1=﹣25，n2=24，
∵n為正整數(shù)，
∴n=24.
故n的值是24.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：圖形的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什
7.(2014四川宜賓，第21題，8分)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x、y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)，若一個(gè)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)，例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S=1，N=0，L=4.
(1)求出圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L.
(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=N+aL+b，其中a，b為常數(shù)，若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=82，L=38，求S的值.
考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類;三元方程組的應(yīng)用
分析： (1)理解題意，觀察圖形，即可求得結(jié)論;
(2)根據(jù)格點(diǎn)多邊形的面積S=N+aL+b，結(jié)合圖中的格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG，建立方程組，求出a，b即可求得S.
解答： 解：(1)觀察圖形，可得S=3，N=1，L=6;
(Ⅱ)根據(jù)格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG中的S、N、L的值可得，
，
解得a ，
∴S=N+L﹣1，
將N=82，L=38代入可得S=82+×38﹣1=100.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查格點(diǎn)圖形的面積變化與多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界格點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，從簡(jiǎn)單情況分析，找出規(guī)律解決問(wèn)題.
8.(2014甘肅蘭州,第27題10分)給出定義，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形.
(1)在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫(xiě)出兩種勾股四邊形的名稱;
(2)如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°.
①求證：△BCE是等邊三角形;
②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形.
考點(diǎn)： 四邊形綜合題.
分析： (1)根據(jù)定義和特殊四邊形的性質(zhì)，則有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形;
②利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問(wèn)題得解.
解答： 解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可;
證明：(2)①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等邊三角形;
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED;
∴△BCE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目.
9. (2014氠州，第26題，10分)對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T(x，y)= (其中a、b均為非零常數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T(0，1)= =B.
(1)已知T(1，﹣1)=﹣2，T(4，2)=1.
①求a，b的值;
②若關(guān)于m的不等式組 恰好有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(2)若T(x，y)=T(y，x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立(這里T(x，y)和T(y，x)均有意義)，則a，b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?
考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算;解二元方程組;一元不等式組的整數(shù)解
分析： (1)①已知兩對(duì)值代入T中計(jì)算求出a與b的值;
②根據(jù)題中新定義化簡(jiǎn)已知不等式，根據(jù)不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，求出p的范圍即可;
(2)由T(x，y)=T(y，x)列出關(guān)系式，整理后即可確定出a與b的關(guān)系式.
解答： 解：(1)①根據(jù)題意得：T(1，﹣1)= =﹣2，即a﹣b=﹣2;
T=(4，2)= =1，即2a+b=5，
解得：a=1，b=3;
②根據(jù)題意得： ，
由①得：m≥﹣ ;
由②得：m< ，
∴不等式組的解集為﹣ ≤m< ，
∵不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，即m=0，1，2，
∴2≤ <3，
解得：﹣2≤p<﹣ ;
(2)由T(x，y)=T(y，x)，得到 = ，
整理得：(x2﹣y2)(2b﹣a)=0，
∵T(x，y)=T(y，x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，
∴2b﹣a=0，即a=2B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的混合運(yùn)算，解二元方程組，以及一元不等式組的整數(shù)解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.
么規(guī)律變化的.
10.(2014丠腭第21題9分)閱讀材料：
已知，如圖(1)，在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r.連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形.
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC爠+ AC爠+ AB爠= (a+b+c)r.
∴r= .
(1)類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，如圖(2)，各邊長(zhǎng)分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r;
(2)理解應(yīng)用：如圖(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求 的值.
考點(diǎn)： 圓的綜合題.
分析： (1)已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似.仿照證明過(guò)程，r易得.
(2)(1)中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果.但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長(zhǎng)，則r1、r2、 易得.
解答： 解：(1)如圖2，連接OA、OB、OC、OD.
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD= + + + = ，
∴r= .
(2)如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴AE= = =5，
∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16.
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，
∴DE=12，
∴DB= =20.
∵S△ABD= = =126，
S△CDB= = =66，
∴ = = = .
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識(shí)的能力，同時(shí)考查了解直角三角形及等腰梯形等相關(guān)知識(shí).這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，是一道值得練習(xí)的基礎(chǔ)題，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).
11. ( 2014褠徽省,第22題12分)若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的大值.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)的值.菁優(yōu)網(wǎng)
專題： 新定義.
分析： (1)只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可.
(2)由y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題.
解答： 解：(1)設(shè)頂點(diǎn)為(h，k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x﹣h)2+k，
當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x﹣3)2+4.
∵2>0，
∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.
當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x﹣3)2+4.
∵3>0，
∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.
∵兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點(diǎn)相同，開(kāi)口都向上，
∴兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.
∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4.
(2)∵y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.
整理得：m2﹣2m+1=0.
解得：m1=m2=1.
∴y1=2x2﹣4x+3
=2(x﹣1)2+1.
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=(a+2)x2+(b﹣4)x+8
∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，
∴y1+y2=(a+2)(x﹣1)2+1
=(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1.
其中a+2>0，即a>﹣2.
∴ .
解得： .
∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5.
∴y2=5x2﹣10x+5
=5(x﹣1)2.
∴函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x=1.
∵5>0，
∴函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上.
①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，
∴y2隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=0時(shí)，y2取大值，
大值為5(0﹣1)2=5.
②當(dāng)1
∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，
∴y2隨x的增大而增大.
∴當(dāng)x=3時(shí)，y2取大值，
大值為5(3﹣1)2=20.
綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的大值為20.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)(開(kāi)口方向、增減性)，考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力.而對(duì)新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵.
12. ( 2014珠海，第20題9分)閱讀下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x>1，y<0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x>1，∵y+2>1.∴y>﹣1.
又∵y<0，∴﹣1
同理得：1
由①+②得﹣1+1
∴x+y的取值范圍是0
請(qǐng)按照上述方法，完成下列問(wèn)題：
(1)已知x﹣y=3，且x>2，y<1，則x+y的取值范圍是 1
(2)已知y>1，x<﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范圍(結(jié)果用含a的式子表示).
考點(diǎn)： 一元不等式組的應(yīng)用.
專題： 閱讀型.
分析： (1)根據(jù)閱讀材料所給的解題過(guò)程，直接套用解答即可;
(2)理解解題過(guò)程，按照解題思路求解.
解答： 解：(1)∵x﹣y=3，
∴x=y+3，
又∵x>2，
∴y+3>2，
∴y>﹣1.
又∵y<1，
∴﹣1
同理得：2
由①+②得﹣1+2
∴x+y的取值范圍是1
(2)∵x﹣y=a，
∴x=y+a，
又∵x<﹣1，
∴y+a<﹣1，
∴y<﹣a﹣1，
又∵y>1，
∴1
同理得：a+1
由①+②得1+a+1
∴x+y的取值范圍是a+2
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀材料，理解解題過(guò)程，難度一般.
13.(2014四川自貢，第23題12分)閱讀理解：
如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與A、B重合)，分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”;如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.解決問(wèn)題：
(1)如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由;
(2)如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖②中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn);
(3)如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系.
考點(diǎn)： 相似形綜合題
分析： (1)要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問(wèn)題得解.
(2)以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求;
(3)因?yàn)辄c(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解.
解答： 解：(1)∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE∽△BCE，
∴點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).
(2)如圖所示：點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，
(3)∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
BE= ，
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°= ，
∴ .
點(diǎn)評(píng)： 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解全相似點(diǎn)的定義，判斷出∠CED=90°，從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關(guān)鍵.
1. (2014焠東濰坊，第12題3分)如圖，已知正方形ABCD，頂點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1).規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位”為變換.如此這樣，連續(xù)經(jīng)過(guò)2014次變換后，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M的坐標(biāo)變?yōu)? )
A.(—2012,2) B.(一2012，一2) C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱;坐標(biāo)與圖形變化-平移.
專題：規(guī)律型.
分析：首先求出正方形對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)分別是(2，2)，然后根據(jù)題意求得第1次、2次、3次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得規(guī)律.
解答：∵正方形ABCD，點(diǎn)A(1，3)、B(1,1)、C(3,1).∴M的坐標(biāo)變?yōu)?2,2)
∴根據(jù)題意得：第1次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-1，-2)，即(1，-2)，
第2次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：(2-2，2)，即(0，2)，
第3次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2-3，-2)，即(-1，-2)，
第2014次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的為坐標(biāo)為(2-2014， 2)，即(-2012， 2)
故答案為A.
點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)稱與平移的性質(zhì).此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律：第n次變換后的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為(2-n，-2)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為(2-n，2)是解此題的關(guān)鍵.
2.(2014山東濟(jì)南，第14題，3分)現(xiàn)定義一種變換：對(duì)于一個(gè)由有限個(gè)數(shù)組成的序列 ，將其中的每個(gè)數(shù)換成該數(shù)在 中出現(xiàn)的次數(shù)，可得到一個(gè)新序列.例如序列 ：(4，2，3，4，2)，通過(guò)變換可得到新序列 ：(2，2，1，2，2).若 可以為任意序列，則下面的序列可以作為 的是
A.(1，2，1，2，2) B.(2，2，2，3，3)
C.(1，1，2，2，3) D.(1，2，1，1，2)
【解析】由于序列 含5個(gè)數(shù)，于是新序列中不能有3個(gè)2，所以A，B中所給序列不能作為 ; 又如果 中有3，則 中應(yīng)有3個(gè)3，所以C中所給序列也不能作為 ，故選D.
3. ( 2014纏罞賀州，第12題3分)張華在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子x+(x>0)的小值是2”.其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)是，矩形的周長(zhǎng)是2(x+);當(dāng)矩形成為正方形時(shí)，就有x=(0>0)，解得x=1，這時(shí)矩形的周長(zhǎng)2(x+)=4小，因此x+(x>0)的小值是2.模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子 (x>0)的小值是( )
A. 2 B. 1 C. 6 D. 10
考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算;完全平方公式.
專題： 計(jì)算題.
分析： 根據(jù)題意求出所求式子的小值即可.
解答： 解：得到x>0，得到 =x+≥2 =6，
則原式的小值為6.
故選C
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的混合運(yùn)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.
4. (2014泰州，第6題，3分)如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是( )
A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，1， D. 1，2，
考點(diǎn)： 解直角三角形
專題： 新定義.
分析： A、根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，不能構(gòu)成三角形，依此即可作出判定;
B、根據(jù)勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定;
C、解直角三角形可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定.
解答： 解：A、∵1+2=3，不能構(gòu)成三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、∵12+12=( )2，是等腰直角三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、底邊上的高是 = ，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、解直角三角形可知是三個(gè)角分別是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定義，故選項(xiàng)正確.
故選：D.
點(diǎn)評(píng)： 考查了解直角三角形，涉及三角形三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念.
二、填空題
1.(2014四川宜賓，第16題，3分)規(guī)定：sin(﹣x)=﹣sinx，cos(﹣x)=cosx，sin(x+y)=sinx撓漀猀礀+cosx猠椀渀礀.
據(jù)此判斷下列等式成立的是 ②③④ (寫(xiě)出所有正確的序號(hào))
①cos(﹣60°)=﹣;
②sin75°= ;
③sin2x=2sinx撓漀猀碭;
④sin(x﹣y)=sinx撓漀猀礀挀揾漀猀碭猠椀
3. (2014張罬骉州，第24題，10分)
【試題背景】已知：∥ ∥ ∥，平行線與 、 與 、 與之間的距離分別為 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我們把四個(gè)頂點(diǎn)分別在、 、 、這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”.
【探究1】 ⑴ 如圖1，正方形 為“格線四邊形”， 于點(diǎn) , 的反向延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn) . 求正方形 的邊長(zhǎng).
【探究2】 ⑵ 矩形 為“格線四邊形”，其長(zhǎng) ：寬 = 2 ：1 ，則矩形 的寬為 . (直接寫(xiě)出結(jié)果即可)
【探究3】 ⑶ 如圖2，菱形 為“格線四邊形”且∠ =60°，△ 是等邊三角形， 于點(diǎn) ， ∠ =90°，直線 分別交直線、于點(diǎn) 、 . 求證： .
【拓 展】 ⑷ 如圖3，∥，等邊三角形 的頂點(diǎn) 、 分別落在直線、上， 于點(diǎn) ，且 =4 ，∠ =90°，直線 分別交直線、于點(diǎn) 、 ，點(diǎn) 、 分別是線段 、 上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持 = ， 于點(diǎn) .
猜想： 在什么范圍內(nèi)， ∥ ?并說(shuō)明此時(shí) ∥ 的理由.
解析：(1) 如圖1，
∵BE⊥l , l ∥k ,
∴∠AEB=∠BFC=90°,
又四邊形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,
∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),
∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= ,
∴正方形的邊長(zhǎng)是 .
(2)如圖2,3，
⊿ABE∽⊿BCF,
∴ 或
∵BF=d3=1 ,
∴AE= 或
∴AB= 或
AB=
∴矩形ABCD的寬為 或 .
(注意：要分2種情況討論)
(3)如圖4，
連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC,
又∠ADC=60°,
∴⊿ADC是等邊三角形，
∴AD=AC，
∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，
∵⊿AEF是等邊三角形， ∴ AF=AE,
∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.
(4)如圖5，
當(dāng)2
理由如下：
連接AM,
∵AB⊥k , ∠ACD=90°,
∴∠ABE=∠ACD=90°,
∵⊿ABC是等邊三角形，
∴AB=AC ,
已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD;
在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，
，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),
∴ BM=CM ;
∴ME=MD,
∴ , ∴ED∥BC.
4. (2014夠彭浬州，第23題，12分)復(fù)習(xí)課中，教師給出關(guān)于x的函數(shù)y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是實(shí)數(shù)).
教師：請(qǐng)獨(dú)立思考，并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫(xiě)到黑板上.
學(xué)生思考后，黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動(dòng)一員，又補(bǔ)充一些結(jié)論，并從中選出以下四條：
①存在函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)(1，0)點(diǎn);
②函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸總有三個(gè)不同的交點(diǎn);
③當(dāng)x>1時(shí)，不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減小;
④若函數(shù)有大值，則大值比為正數(shù)，若函數(shù)有小值，則小值比為負(fù)數(shù).
教師：請(qǐng)你分別判斷四條結(jié)論的真假，并給出理由.后簡(jiǎn)單寫(xiě)出解決問(wèn)題時(shí)所用的數(shù)學(xué)方法.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題
分析： ①將(1，0)點(diǎn)代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷;
②首先考慮，函數(shù)為函數(shù)的情況，從而可判斷為假;
③根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可作出判斷;
④當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為函數(shù)，無(wú)大之和小值，當(dāng)k≠0時(shí)，函數(shù)為拋物線，求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)表達(dá)式，即可作出判斷.
解答： 解：①真，將(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，
解得：k=0.
運(yùn)用方程思想;
②假，反例：k=0時(shí)，只有兩個(gè)交點(diǎn).運(yùn)用舉反例的方法;
③假，如k=1，﹣ =，當(dāng)x>1時(shí)，先減后增;運(yùn)用舉反例的方法;
④真，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)無(wú)大、小值;
k≠0時(shí)，y= =﹣ ，
∴當(dāng)k>0時(shí)，有小值，小值為負(fù);
當(dāng)k<0時(shí)，有大值，大值為正.運(yùn)用分類討論思想.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合，立意新穎，結(jié)合考察了數(shù)學(xué)解題過(guò)程中經(jīng)常用到的幾種解題方法，同學(xué)們注意思考、理解，難度一般.
ny.
考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義;特殊角的三角函數(shù)值.
專題： 新定義.
分析： 根據(jù)已知中的定義以及特殊角的三角函數(shù)值即可判斷.
解答： 解：①cos(﹣60°)=cos60°=，命題錯(cuò)誤;
②sin75°=sin(30°+45°)=sin30°撓漀猀45°+cos30°猠椀渀45°=× + × = + = ，命題正確;
③sin2x=sinx撓漀猀碭+cosx猠椀渀碭倀㈥猀椀渀碭撓漀猀碭，故命題正確;
④sin(x﹣y)=sinx撓漀猀(﹣y)+cosx猠椀渀(﹣y)=sinx撓漀猀礀挀揾漀猀碭猠椀渀礀，命題正確.
故答案是：②③④.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查銳角三角函數(shù)以及特殊角的三角函數(shù)值，正確理解題目中的定義是關(guān)鍵.
2. (2014貴州黔西南州, 第20題3分)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)(m，n)，規(guī)定以下兩種變換：
(1)f(m，n)=(m，﹣n)，如f(2，1)=(2，﹣1);
(2)g(m，n)=(﹣m，﹣n)，如g (2，1)=(﹣2，﹣1)x k b 1 . c o m
按照以上變換有：f[g(3，4)]=f(﹣3，﹣4)=(﹣3，4)，那么g[f(﹣3，2)]= (3，2) .
考點(diǎn)： 點(diǎn)的坐標(biāo).
專題： 新定義.
分析： 由題意應(yīng)先進(jìn)行f方式的運(yùn)算，再進(jìn)行g(shù)方式的運(yùn)算，注意運(yùn)算順序及坐標(biāo)的符號(hào)變化.
解答：x kb 1 解：∵f(﹣3，2)=(﹣3，﹣2)，
∴g[f(﹣3，2)]=g(﹣3，﹣2)=(3，2)，
故答案為(3，2).
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一種新型的運(yùn)算法則，考查了學(xué)生的閱讀理解能力，此類題的難點(diǎn)是判斷先進(jìn)行哪個(gè)運(yùn)算，關(guān)鍵是明白兩種運(yùn)算改變了哪個(gè)坐標(biāo)的符號(hào).
三、解答題
1. (2014四川巴中，第22題5分)定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，請(qǐng)根據(jù)上述知識(shí)解決問(wèn)題：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范圍.
考點(diǎn)：新定義.
分析：首先根據(jù)運(yùn)算的定義化簡(jiǎn)3△x，則可以得到關(guān)于x的不等式組，即可求解.
解答：3△x=3x﹣3﹣x+1=2x﹣2，根據(jù)題意得： ，解得：
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元不等式組的解法，正確理解運(yùn)算的定義是關(guān)鍵.
2.(2014嘠坮張家界，第23題，8分)閱讀材料：解分式不等式 <0
解：根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：
① 或②
解①得：無(wú)解，解②得：﹣2
所以原不等式的解集是﹣2
請(qǐng)仿照上述方法解下列分式不等式：
(1) ≤0
(2) >0.
考點(diǎn)： 一元不等式組的應(yīng)用.
專題： 新定義.
分析： 先把不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，然后通過(guò)解不等式組來(lái)求分式不等式.
解答： 解：(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：
① 或②
解①得：無(wú)解，
解②得：﹣2.5
所以原不等式的解集是：﹣2.5
(2)根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則：同號(hào)兩數(shù)相除得正數(shù)，異號(hào)兩數(shù)相除得負(fù)數(shù)，因此，原不等式可轉(zhuǎn)化為：
① 或②
解①得：x>3，
解②得：x<﹣2.
所以原不等式的解集是：x>3或x<﹣2.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元不等式組的應(yīng)用.本題通過(guò)材料分析，先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集，再求其公共部分即可.
5. ( ( 2014年河南) 21.10分)某商店銷售10臺(tái)A型和20臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為4000元，銷售20臺(tái)A型和10臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為3500元.
(1)求每臺(tái)A型電腦和B型電腦的銷售利潤(rùn);
(2)該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍。設(shè)購(gòu)進(jìn)A掀電腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷售總利潤(rùn)為y元。
①求y與x的關(guān)系式;
②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型各多少臺(tái)，才能使銷售利潤(rùn)大?
(3)實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)m(0
解：(1)設(shè)每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為a元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為b元，
則有 解得
即每臺(tái)A型電腦的銷售利潤(rùn)為100元，每臺(tái)B型電腦的銷售利潤(rùn)為150元. ……4分
(2)①根據(jù)題意得y=100x+150(100-x)，即y=-50x+15000……………………5分
②根據(jù)題意得100-x≤2x，解得x≥33 ，
∵y=-50x+15000，-50<0，∴y隨x的增大而減小.
∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x=34小時(shí)，y取大值，此時(shí)100-x=66.
即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦34臺(tái)，B型電腦66臺(tái)，才能使銷售總利潤(rùn)大………7分
(3)根據(jù)題意得y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000.
33 ≤x≤70.
①當(dāng)0
∴當(dāng)x =34時(shí)，y取得大值.
即商店購(gòu)進(jìn)34臺(tái)A型電腦和66臺(tái)B型電腦才能獲得大利潤(rùn);…………8分
②當(dāng)m=50時(shí)，m-50=0，y=15000.
即商店購(gòu)進(jìn)A型電腦數(shù)滿足33 ≤x≤70的整數(shù)時(shí)，均獲得大利潤(rùn);…9分
③當(dāng)500，y隨x的增大而增大.
∴x=70時(shí)，y取得大值.
即商店購(gòu)進(jìn)70臺(tái)A型電腦和30臺(tái)B型電腦才能獲得大利潤(rùn).……………10分
6.(2014四川涼山州，第22題，8分)實(shí)驗(yàn)與探究：
三角點(diǎn)陣前n行的點(diǎn)數(shù)計(jì)算
如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…
容易發(fā)現(xiàn)，10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)約和，你能發(fā)現(xiàn)300是前多少行的點(diǎn)數(shù)的和嗎?
如果要用試驗(yàn)的方法，由上而下地逐行的相加其點(diǎn)數(shù)，雖然你能發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+…+23+24=300.得知300是前24行的點(diǎn)數(shù)的和，但是這樣尋找答案需我們先探求三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和與n的數(shù)量關(guān)系
前n行的點(diǎn)數(shù)的和是1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n，可以發(fā)現(xiàn).
2×[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]
=[1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n]+[n+(n﹣1)+(n﹣2)+…3+2+1]
把兩個(gè)中括號(hào)中的第一項(xiàng)相加，第二項(xiàng)相加…第n項(xiàng)相加，上式等號(hào)的后邊變形為這n個(gè)小括號(hào)都等于n+1，整個(gè)式子等于n(n+1)，于是得到
1+2+3+…+(n﹣2)+(n﹣1)+n=n(n+1)
這就是說(shuō)，三角點(diǎn)陣中前n項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)的和是n(n+1)
下列用一元二次方程解決上述問(wèn)題
設(shè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和為300，則有n(n+1)
整理這個(gè)方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=25
根據(jù)問(wèn)題中未知數(shù)的意義確定n=24，即三角點(diǎn)陣中前24行的點(diǎn)數(shù)的和是300.
請(qǐng)你根據(jù)上述材料回答下列問(wèn)題：
(1)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能是600嗎?如果能，求出n;如果不能，試用一元二次方程說(shuō)明道理.
(2)如果把圖中的三角點(diǎn)陣中各行的點(diǎn)數(shù)依次換成2、4、6、…、2n、…，你能探究處前n行的點(diǎn)數(shù)的和滿足什么規(guī)律嗎?這個(gè)三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和能使600嗎?如果能，求出n;如果不能，試用一元二次方程說(shuō)明道理.
考點(diǎn)： 一元二次方程的應(yīng)用;規(guī)律型：圖形的變化類
分析： (1)由于第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)…第n行有n個(gè)點(diǎn)…，則前n行共有(1+2+3+4+5+…+n)個(gè)點(diǎn)，然后求它們的和，前n行共有 個(gè)點(diǎn)，則 =600，然后解方程得到n的值;
(2)根據(jù)2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2× 個(gè)進(jìn)而得出即可;根據(jù)規(guī)律可得n(n+1)=600，求n的值即可.
解答： 解：(1)由題意可得： =600，
整理得n2+n﹣1200=0，
(n+25)(n﹣24)=0，
此方程無(wú)正整數(shù)解，
所以，三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)的和不可能是600;
(2)由題意可得：
2+4+6+…+2n=2(1+2+3+…+n)=2× =n(n+1);
依題意，得n(n+1)=600，
整理得n2+n﹣600=0，
(n+25)(n﹣24)=0，
∴n1=﹣25，n2=24，
∵n為正整數(shù)，
∴n=24.
故n的值是24.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：圖形的變化，本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什
7.(2014四川宜賓，第21題，8分)在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x、y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn)，若一個(gè)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng)，例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形，對(duì)應(yīng)的S=1，N=0，L=4.
(1)求出圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S，N，L.
(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=N+aL+b，其中a，b為常數(shù)，若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=82，L=38，求S的值.
考點(diǎn)： 規(guī)律型：圖形的變化類;三元方程組的應(yīng)用
分析： (1)理解題意，觀察圖形，即可求得結(jié)論;
(2)根據(jù)格點(diǎn)多邊形的面積S=N+aL+b，結(jié)合圖中的格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG，建立方程組，求出a，b即可求得S.
解答： 解：(1)觀察圖形，可得S=3，N=1，L=6;
(Ⅱ)根據(jù)格點(diǎn)三角形ABC及格點(diǎn)四邊形DEFG中的S、N、L的值可得，
，
解得a ，
∴S=N+L﹣1，
將N=82，L=38代入可得S=82+×38﹣1=100.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查格點(diǎn)圖形的面積變化與多邊形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界格點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，從簡(jiǎn)單情況分析，找出規(guī)律解決問(wèn)題.
8.(2014甘肅蘭州,第27題10分)給出定義，若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形.
(1)在你學(xué)過(guò)的特殊四邊形中，寫(xiě)出兩種勾股四邊形的名稱;
(2)如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°.
①求證：△BCE是等邊三角形;
②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形.
考點(diǎn)： 四邊形綜合題.
分析： (1)根據(jù)定義和特殊四邊形的性質(zhì)，則有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形;
②利用等邊三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形，問(wèn)題得解.
解答： 解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可;
證明：(2)①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等邊三角形;
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED;
∴△BCE為等邊三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2.
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性很強(qiáng)的題目.
9. (2014氠州，第26題，10分)對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T(x，y)= (其中a、b均為非零常數(shù))，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T(0，1)= =B.
(1)已知T(1，﹣1)=﹣2，T(4，2)=1.
①求a，b的值;
②若關(guān)于m的不等式組 恰好有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(2)若T(x，y)=T(y，x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立(這里T(x，y)和T(y，x)均有意義)，則a，b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?
考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算;解二元方程組;一元不等式組的整數(shù)解
分析： (1)①已知兩對(duì)值代入T中計(jì)算求出a與b的值;
②根據(jù)題中新定義化簡(jiǎn)已知不等式，根據(jù)不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，求出p的范圍即可;
(2)由T(x，y)=T(y，x)列出關(guān)系式，整理后即可確定出a與b的關(guān)系式.
解答： 解：(1)①根據(jù)題意得：T(1，﹣1)= =﹣2，即a﹣b=﹣2;
T=(4，2)= =1，即2a+b=5，
解得：a=1，b=3;
②根據(jù)題意得： ，
由①得：m≥﹣ ;
由②得：m< ，
∴不等式組的解集為﹣ ≤m< ，
∵不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，即m=0，1，2，
∴2≤ <3，
解得：﹣2≤p<﹣ ;
(2)由T(x，y)=T(y，x)，得到 = ，
整理得：(x2﹣y2)(2b﹣a)=0，
∵T(x，y)=T(y，x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，
∴2b﹣a=0，即a=2B.
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了分式的混合運(yùn)算，解二元方程組，以及一元不等式組的整數(shù)解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.
么規(guī)律變化的.
10.(2014丠腭第21題9分)閱讀材料：
已知，如圖(1)，在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r.連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形.
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB= BC爠+ AC爠+ AB爠= (a+b+c)r.
∴r= .
(1)類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓)，如圖(2)，各邊長(zhǎng)分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r;
(2)理解應(yīng)用：如圖(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求 的值.
考點(diǎn)： 圓的綜合題.
分析： (1)已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似.仿照證明過(guò)程，r易得.
(2)(1)中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果.但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長(zhǎng)，則r1、r2、 易得.
解答： 解：(1)如圖2，連接OA、OB、OC、OD.
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD= + + + = ，
∴r= .
(2)如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∵梯形ABCD為等腰梯形，
∴AE= = =5，
∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16.
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，
∴DE=12，
∴DB= =20.
∵S△ABD= = =126，
S△CDB= = =66，
∴ = = = .
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解、創(chuàng)新新知識(shí)的能力，同時(shí)考查了解直角三角形及等腰梯形等相關(guān)知識(shí).這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，是一道值得練習(xí)的基礎(chǔ)題，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).
11. ( 2014褠徽省,第22題12分)若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.
(1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù);
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的大值.
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)的值.菁優(yōu)網(wǎng)
專題： 新定義.
分析： (1)只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可.
(2)由y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，在利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題.
解答： 解：(1)設(shè)頂點(diǎn)為(h，k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x﹣h)2+k，
當(dāng)a=2，h=3，k=4時(shí)，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x﹣3)2+4.
∵2>0，
∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.
當(dāng)a=3，h=3，k=4時(shí)，
二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x﹣3)2+4.
∵3>0，
∴該二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上.
∵兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4頂點(diǎn)相同，開(kāi)口都向上，
∴兩個(gè)函數(shù)y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.
∴符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2(x﹣3)2+4與y=3(x﹣3)2+4.
(2)∵y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，
∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1.
整理得：m2﹣2m+1=0.
解得：m1=m2=1.
∴y1=2x2﹣4x+3
=2(x﹣1)2+1.
∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5
=(a+2)x2+(b﹣4)x+8
∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，
∴y1+y2=(a+2)(x﹣1)2+1
=(a+2)x2﹣2(a+2)x+(a+2)+1.
其中a+2>0，即a>﹣2.
∴ .
解得： .
∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=5x2﹣10x+5.
∴y2=5x2﹣10x+5
=5(x﹣1)2.
∴函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為x=1.
∵5>0，
∴函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上.
①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，
∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，
∴y2隨x的增大而減小.
∴當(dāng)x=0時(shí)，y2取大值，
大值為5(0﹣1)2=5.
②當(dāng)1
∵函數(shù)y2的圖象開(kāi)口向上，
∴y2隨x的增大而增大.
∴當(dāng)x=3時(shí)，y2取大值，
大值為5(3﹣1)2=20.
綜上所述：當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的大值為20.
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)(開(kāi)口方向、增減性)，考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力.而對(duì)新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵.
12. ( 2014珠海，第20題9分)閱讀下列材料：
解答“已知x﹣y=2，且x>1，y<0，試確定x+y的取值范圍”有如下解法：
解∵x﹣y=2，∴x=y+2
又∵x>1，∵y+2>1.∴y>﹣1.
又∵y<0，∴﹣1
同理得：1
由①+②得﹣1+1
∴x+y的取值范圍是0
請(qǐng)按照上述方法，完成下列問(wèn)題：
(1)已知x﹣y=3，且x>2，y<1，則x+y的取值范圍是 1
(2)已知y>1，x<﹣1，若x﹣y=a成立，求x+y的取值范圍(結(jié)果用含a的式子表示).
考點(diǎn)： 一元不等式組的應(yīng)用.
專題： 閱讀型.
分析： (1)根據(jù)閱讀材料所給的解題過(guò)程，直接套用解答即可;
(2)理解解題過(guò)程，按照解題思路求解.
解答： 解：(1)∵x﹣y=3，
∴x=y+3，
又∵x>2，
∴y+3>2，
∴y>﹣1.
又∵y<1，
∴﹣1
同理得：2
由①+②得﹣1+2
∴x+y的取值范圍是1
(2)∵x﹣y=a，
∴x=y+a，
又∵x<﹣1，
∴y+a<﹣1，
∴y<﹣a﹣1，
又∵y>1，
∴1
同理得：a+1
由①+②得1+a+1
∴x+y的取值范圍是a+2
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一元不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀材料，理解解題過(guò)程，難度一般.
13.(2014四川自貢，第23題12分)閱讀理解：
如圖①，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與A、B重合)，分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”;如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.解決問(wèn)題：
(1)如圖①，∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由;
(2)如圖②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上，試在圖②中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn);
(3)如圖③，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系.
考點(diǎn)： 相似形綜合題
分析： (1)要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，所以問(wèn)題得解.
(2)以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求;
(3)因?yàn)辄c(diǎn)E是矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解.
解答： 解：(1)∵∠A=∠B=∠DEC=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°
∴∠ADE=∠CEB，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE∽△BCE，
∴點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn).
(2)如圖所示：點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，
(3)∵點(diǎn)E是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.
由折疊可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=∠BCD=30°，
BE= ，
在Rt△BCE中，tan∠BCE= =tan30°= ，
∴ .
點(diǎn)評(píng)： 本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解全相似點(diǎn)的定義，判斷出∠CED=90°，從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關(guān)鍵.