數(shù)論
1． 奇偶性問題
奇+奇=偶 奇×奇=奇
奇+偶=奇 奇×偶=偶
偶+偶=偶 偶×偶=偶
2． 位值原則
形如：abc =100a+10b+c
3． 數(shù)的整除特征：
整除數(shù)特征
2 末尾是0、2、4、6、8
3 各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)
5 末尾是0或5
9 各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)
11 奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)
4和25 末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)
8和125 末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)
7、11、13 末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)
4． 整除性質(zhì)
① 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。
5． 帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。
當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r
6. 分解定理
任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理
設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）
8. 同余定理
① 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為a≡b(mod m)
②若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。
③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。
⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9．完全平方數(shù)性質(zhì)
①平方差： A -B =（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。
②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。
約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。
③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。
④平方和。
10．孫子定理（中國(guó)剩余定理）
11．輾轉(zhuǎn)相除法
12．?dāng)?shù)論解題的常用方法：
枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)
1． 奇偶性問題
奇+奇=偶 奇×奇=奇
奇+偶=奇 奇×偶=偶
偶+偶=偶 偶×偶=偶
2． 位值原則
形如：abc =100a+10b+c
3． 數(shù)的整除特征：
整除數(shù)特征
2 末尾是0、2、4、6、8
3 各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)
5 末尾是0或5
9 各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)
11 奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)
4和25 末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)
8和125 末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)
7、11、13 末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)
4． 整除性質(zhì)
① 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
② 如果bc|a，那么b|a，c|a。
③ 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④ 如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤ a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。
5． 帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。
當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r
6. 分解定理
任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理
設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）
8. 同余定理
① 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為a≡b(mod m)
②若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。
③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。
⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9．完全平方數(shù)性質(zhì)
①平方差： A -B =（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。
②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。
約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。
③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。
④平方和。
10．孫子定理（中國(guó)剩余定理）
11．輾轉(zhuǎn)相除法
12．?dāng)?shù)論解題的常用方法：
枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)