第七章 圓
課時(shí)24．圓
【考點(diǎn)鏈接】
一、圓的有關(guān)概念
1. 圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于 .
2. 圓是 對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的 ；圓又
是 對(duì)稱圖形， 是它的對(duì)稱中心.
3. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個(gè)圓周角中有一組量 ，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別 .
5. 同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ，都等于它所對(duì)的圓心角的 .
6. 直徑所對(duì)的圓周角是 ，90°所對(duì)的弦是 .
二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系共有三種：① ，② ，③ ；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：
①d r，②d r，③d r.
2. 直線與圓的位置關(guān)系共有三種：① ，② ，③ .
對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：
①d r，②d r，③d r.
3. 圓與圓的位置關(guān)系共有五種：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（R≥r）之間的數(shù)量關(guān)系分別為：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圓的切線 過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò) 的一端，并且 這條 的直線是圓的切線.
5. 從圓外一點(diǎn)可以向圓引 條切線， 相等， 相等.
6. 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定 個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，三角形的外接圓的圓心叫 心，是三角形 的交點(diǎn)，它到 相等。
7. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的 ，內(nèi)切圓的圓心是三角形 的交點(diǎn)，叫做三角形的 ，它到 相等.
三、與圓有關(guān)的計(jì)算
1. 圓的周長(zhǎng)為 ，1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 ，n°的圓心角所對(duì)
的弧長(zhǎng)為 ，弧長(zhǎng)公式為 .
2. 圓的面積為 ，1°的圓心角所在的扇形面積為 ，n°的圓心角所在的扇形面積為S= = = .
3. 圓柱的側(cè)面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的高）。
4. 圓柱的全面積公式：S= + 。
5. 圓錐的側(cè)面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的長(zhǎng)）。
6. 圓錐的全面積公式：S= + 。
【河北三年中考試題】
1.（2008年，2分）如圖3，已知⊙O的半徑為5，點(diǎn) 到弦
的距離為3，則⊙O上到弦 所在直線的距離為2的點(diǎn)有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2.（2008年，3分）如圖7， 與⊙O相切于點(diǎn) ，
的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn) ，連結(jié) ．若 ，
則 ．
3.（2009年，2分）如圖2，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大
正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上
的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.（2009年，8分）圖10是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于點(diǎn)E．已測(cè)得sin∠DOE = ．
（1）求半徑OD；
（2）根據(jù)需要，水面要以每小時(shí)0.5 m的速度下降，
則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能將水排干？
5.（2010年，2分）如圖3，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧
經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)， 那么這條圓弧所在圓的圓心是（ ）
A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M
6.（2010年，3分）某盞路燈照射的空間可以看成如圖9所示
的圓錐，它的高AO = 8米，母線AB與底面半徑OB的夾角
為 ， ，則圓錐的底面積是 平方米（結(jié)果保留π）．
7.（2009年，10分）如圖13-1至圖13-5，⊙O均作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的周長(zhǎng)為c．
閱讀理解：
（1）如圖13-1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動(dòng)到
⊙O2的位置，當(dāng)AB = c時(shí)，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周．
（2）如圖13-2，∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由
⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置，⊙O繞點(diǎn)B旋
轉(zhuǎn)的角∠O1BO2 = n°，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn) 周．
實(shí)踐應(yīng)用：
（1）在閱讀理解的（1）中，若AB = 2c，則⊙O自
轉(zhuǎn) 周；若AB = l，則⊙O自轉(zhuǎn) 周．在
閱讀理解的（2）中，若∠ABC = 120°，則⊙O
在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn) 周；若∠ABC = 60°，則⊙O
在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn) 周．
（2）如圖13-3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O從
⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)
到⊙O4的位置，⊙O自轉(zhuǎn) 周．
拓展聯(lián)想：
（1）如圖13-4，△ABC的周長(zhǎng)為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖13-5，多邊形的周長(zhǎng)為l，⊙O從與某邊相切于
點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針?lè)较蜓囟?BR> 邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置，直接寫
出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．
8.（2010年，10分）
觀察思考
某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖14-1，圖14-2
是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以
左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且
PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研
究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OH ⊥l于點(diǎn)H，并測(cè)得
OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解決問(wèn)題
（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的小距離是 分米；
點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的大距離是 分米；
點(diǎn)Q在l上滑到左端的位置與滑到右端位置間
的距離是 分米．
（2）如圖14-3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位
置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？
為什么？
（3）①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l
的距離?。笔聦?shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離大
的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是 分米；
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危?BR> 求這個(gè)扇形面積大時(shí)圓心角的度數(shù)．
9.（2010年，8分）如圖11-1，正方形ABCD是一個(gè)6 × 6網(wǎng)格電子屏的示意圖，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．位于AD中點(diǎn)處的光點(diǎn)P按圖11-2的程序移動(dòng)．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D11-1中畫出光點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑；
（2）求光點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．
課時(shí)24．圓
【考點(diǎn)鏈接】
一、圓的有關(guān)概念
1. 圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于 .
2. 圓是 對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的 ；圓又
是 對(duì)稱圖形， 是它的對(duì)稱中心.
3. 垂直于弦的直徑平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直徑）的 垂直于弦，并且平分 .
4. 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，兩個(gè)圓周角中有一組量 ，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別 .
5. 同弧或等弧所對(duì)的圓周角 ，都等于它所對(duì)的圓心角的 .
6. 直徑所對(duì)的圓周角是 ，90°所對(duì)的弦是 .
二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系
1. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系共有三種：① ，② ，③ ；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：
①d r，②d r，③d r.
2. 直線與圓的位置關(guān)系共有三種：① ，② ，③ .
對(duì)應(yīng)的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數(shù)量關(guān)系分別為：
①d r，②d r，③d r.
3. 圓與圓的位置關(guān)系共有五種：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；兩圓的圓心距d和兩圓的半徑R、r（R≥r）之間的數(shù)量關(guān)系分別為：①d R－r，②d R－r，③ R－r d R＋r，④d R＋r，⑤d R＋r.
4. 圓的切線 過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò) 的一端，并且 這條 的直線是圓的切線.
5. 從圓外一點(diǎn)可以向圓引 條切線， 相等， 相等.
6. 三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定 個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，三角形的外接圓的圓心叫 心，是三角形 的交點(diǎn)，它到 相等。
7. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的 ，內(nèi)切圓的圓心是三角形 的交點(diǎn)，叫做三角形的 ，它到 相等.
三、與圓有關(guān)的計(jì)算
1. 圓的周長(zhǎng)為 ，1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為 ，n°的圓心角所對(duì)
的弧長(zhǎng)為 ，弧長(zhǎng)公式為 .
2. 圓的面積為 ，1°的圓心角所在的扇形面積為 ，n°的圓心角所在的扇形面積為S= = = .
3. 圓柱的側(cè)面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的高）。
4. 圓柱的全面積公式：S= + 。
5. 圓錐的側(cè)面積公式：S= .（其中 為 的半徑， 為 的長(zhǎng)）。
6. 圓錐的全面積公式：S= + 。
【河北三年中考試題】
1.（2008年，2分）如圖3，已知⊙O的半徑為5，點(diǎn) 到弦
的距離為3，則⊙O上到弦 所在直線的距離為2的點(diǎn)有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2.（2008年，3分）如圖7， 與⊙O相切于點(diǎn) ，
的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn) ，連結(jié) ．若 ，
則 ．
3.（2009年，2分）如圖2，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大
正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上
的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.（2009年，8分）圖10是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于點(diǎn)E．已測(cè)得sin∠DOE = ．
（1）求半徑OD；
（2）根據(jù)需要，水面要以每小時(shí)0.5 m的速度下降，
則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間才能將水排干？
5.（2010年，2分）如圖3，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧
經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)， 那么這條圓弧所在圓的圓心是（ ）
A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)R D．點(diǎn)M
6.（2010年，3分）某盞路燈照射的空間可以看成如圖9所示
的圓錐，它的高AO = 8米，母線AB與底面半徑OB的夾角
為 ， ，則圓錐的底面積是 平方米（結(jié)果保留π）．
7.（2009年，10分）如圖13-1至圖13-5，⊙O均作無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O與線段AB或BC相切于端點(diǎn)時(shí)刻的位置，⊙O的周長(zhǎng)為c．
閱讀理解：
（1）如圖13-1，⊙O從⊙O1的位置出發(fā)，沿AB滾動(dòng)到
⊙O2的位置，當(dāng)AB = c時(shí)，⊙O恰好自轉(zhuǎn)1周．
（2）如圖13-2，∠ABC相鄰的補(bǔ)角是n°，⊙O在
∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)，在點(diǎn)B處，必須由
⊙O1的位置旋轉(zhuǎn)到⊙O2的位置，⊙O繞點(diǎn)B旋
轉(zhuǎn)的角∠O1BO2 = n°，⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn) 周．
實(shí)踐應(yīng)用：
（1）在閱讀理解的（1）中，若AB = 2c，則⊙O自
轉(zhuǎn) 周；若AB = l，則⊙O自轉(zhuǎn) 周．在
閱讀理解的（2）中，若∠ABC = 120°，則⊙O
在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn) 周；若∠ABC = 60°，則⊙O
在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn) 周．
（2）如圖13-3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O從
⊙O1的位置出發(fā)，在∠ABC外部沿A-B-C滾動(dòng)
到⊙O4的位置，⊙O自轉(zhuǎn) 周．
拓展聯(lián)想：
（1）如圖13-4，△ABC的周長(zhǎng)為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針?lè)较蜓厝切螡L動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖13-5，多邊形的周長(zhǎng)為l，⊙O從與某邊相切于
點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針?lè)较蜓囟?BR> 邊形滾動(dòng)，又回到與該邊相切于點(diǎn)D的位置，直接寫
出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．
8.（2010年，10分）
觀察思考
某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖14-1，圖14-2
是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以
左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且
PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研
究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OH ⊥l于點(diǎn)H，并測(cè)得
OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解決問(wèn)題
（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的小距離是 分米；
點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的大距離是 分米；
點(diǎn)Q在l上滑到左端的位置與滑到右端位置間
的距離是 分米．
（2）如圖14-3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位
置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？
為什么？
（3）①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l
的距離?。笔聦?shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離大
的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是 分米；
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危?BR> 求這個(gè)扇形面積大時(shí)圓心角的度數(shù)．
9.（2010年，8分）如圖11-1，正方形ABCD是一個(gè)6 × 6網(wǎng)格電子屏的示意圖，其中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．位于AD中點(diǎn)處的光點(diǎn)P按圖11-2的程序移動(dòng)．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D11-1中畫出光點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑；
（2）求光點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．