一、非標(biāo)準(zhǔn)
1.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2.(2014江西,文15改編)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,求x+y的取值范圍.
3.若對(duì)任意的aR,不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
4.已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,求m的取值范圍.
5.已知x,y,zR+,且x+y+z=1,求的最小值.
6.(2014江蘇,21)已知x>0,y>0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
7.已知a, b,cR,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的最小值.
8.若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x-1|≤3成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
9.已知f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)>5;
(2)已知關(guān)于x的不等式f(x)+a<2014(a是常數(shù))的解集是非空集合,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
10.(2014河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
一、非標(biāo)準(zhǔn)
1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值為,故原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,
即(a+1)≤0,
解得a.
2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1時(shí)取等號(hào),
|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0≤y≤1時(shí)取等號(hào),
|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①
又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②
∴只有當(dāng)0≤x≤1,0≤y≤1時(shí),兩式同時(shí)成立.
0≤x+y≤2.
3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,
得|x|+|x-1|≥2.
當(dāng)x<0時(shí),-x+1-x≥2,x≤-.
當(dāng)0≤x≤1時(shí),x+1-x≥2,無(wú)解.
當(dāng)x>1時(shí),x+x-1≥2,x≥.
綜上,x≤-或x≥.
4.解:函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范圍是(-∞,5).
5.解法一:由于(x+y+z)
≥
=36.
所以≥36,最小值為36.
當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2=z2,
即x=,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.
解法二:
=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+≥14+4+6+12=36.最小值為36.
當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x,即x=,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.
6.證明:因?yàn)閤>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,
1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)
≥3·3=9xy.
7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),
∴a2+4b2+9c2
≥(a+2b+3c)2==12.
∴a2+4b2+9c2的最小值為12.
解法二:由柯西不等式,
得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)
≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,
故a2+4b2+9c2≥12,
從而a2+4b2+9c2的最小值為12.
8.解:利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解.
|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,
可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,
∴-2≤a≤4.
9.解:(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=|x-1|+|x-2|-5,則g(x)=
令g(x)>0,則x<-1或x>4,
原不等式的解集為(-∞,-1)(4,+∞).
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,
又關(guān)于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,
|a+2|+a<2014,解得a<1006.
10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,
設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=
所以當(dāng)x<-3時(shí),g(x)>5;
當(dāng)-3≤x≤2時(shí),g(x)=5;
當(dāng)x>2時(shí),g(x)>5.
綜上可得,g(x)的最小值為5.
從而若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為(-∞,5].
1.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2.(2014江西,文15改編)x,yR,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,求x+y的取值范圍.
3.若對(duì)任意的aR,不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
4.已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,求m的取值范圍.
5.已知x,y,zR+,且x+y+z=1,求的最小值.
6.(2014江蘇,21)已知x>0,y>0,證明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
7.已知a, b,cR,a+2b+3c=6,求a2+4b2+9c2的最小值.
8.若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x-1|≤3成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
9.已知f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)>5;
(2)已知關(guān)于x的不等式f(x)+a<2014(a是常數(shù))的解集是非空集合,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
10.(2014河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
一、非標(biāo)準(zhǔn)
1.解:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值為,故原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,
即(a+1)≤0,
解得a.
2.解:|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0≤x≤1時(shí)取等號(hào),
|y|+|y-1|≥|y-(y-1)|=1,當(dāng)且僅當(dāng)0≤y≤1時(shí)取等號(hào),
|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≥2.①
又|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,②
∴只有當(dāng)0≤x≤1,0≤y≤1時(shí),兩式同時(shí)成立.
0≤x+y≤2.
3.解:由|1+a|-|1-a|≤2,
得|x|+|x-1|≥2.
當(dāng)x<0時(shí),-x+1-x≥2,x≤-.
當(dāng)0≤x≤1時(shí),x+1-x≥2,無(wú)解.
當(dāng)x>1時(shí),x+x-1≥2,x≥.
綜上,x≤-或x≥.
4.解:函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方,即|x-2|>-|x+3|+m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,所以m<5,即m的取值范圍是(-∞,5).
5.解法一:由于(x+y+z)
≥
=36.
所以≥36,最小值為36.
當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2=z2,
即x=,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.
解法二:
=(x+y+z)+(x+y+z)+(x+y+z)
=14+≥14+4+6+12=36.最小值為36.
當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x,即x=,y=,z=時(shí),等號(hào)成立.
6.證明:因?yàn)閤>0,y>0,
所以1+x+y2≥3>0,
1+x2+y≥3>0,
故(1+x+y2)(1+x2+y)
≥3·3=9xy.
7.解法一:(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2),
∴a2+4b2+9c2
≥(a+2b+3c)2==12.
∴a2+4b2+9c2的最小值為12.
解法二:由柯西不等式,
得(a2+4b2+9c2)·(12+12+12)
≥(a·1+2b·1+3c·1)2=36,
故a2+4b2+9c2≥12,
從而a2+4b2+9c2的最小值為12.
8.解:利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求解.
|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,
要使|x-a|+|x-1|≤3有解,
可使|a-1|≤3,-3≤a-1≤3,
∴-2≤a≤4.
9.解:(1)構(gòu)造函數(shù)g(x)=|x-1|+|x-2|-5,則g(x)=
令g(x)>0,則x<-1或x>4,
原不等式的解集為(-∞,-1)(4,+∞).
(2)∵f(x)+a=|x+a|+|x-2|+a≥|a+2|+a,
又關(guān)于x的不等式f(x)+a<2014的解集是非空集合,
|a+2|+a<2014,解得a<1006.
10.解:(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
解得a-3≤x≤a+3.
又已知不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},
所以解得a=2.
(2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|x-2|,
設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|
=
所以當(dāng)x<-3時(shí),g(x)>5;
當(dāng)-3≤x≤2時(shí),g(x)=5;
當(dāng)x>2時(shí),g(x)>5.
綜上可得,g(x)的最小值為5.
從而若f(x)+f(x+5)≥m,
即g(x)≥m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為(-∞,5].