2016江蘇高考數(shù)學復習強化練習題：基本初等函數(shù)Ⅰ
1.(文)(2014·江西文，4)已知函數(shù)f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，則a=( )
A. -1B.-2
C.1 D.2
[答案] A
[解析] f(-1)=2-(-1)=2，
f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.
(理)(2015·新課標理，5)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
[答案] C
[解析] 考查分段函數(shù).
由已知得f(-2)=1+log24=3，又log212>1，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故選C.
2.(2014·哈三中二模)冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(-2，-)，則滿足f(x)=27的x的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 設(shè)f(x)=xα，則-=(-2)α，α=-3，
f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.
3.(文)已知命題p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù).則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(¬p1)p2和q4：p1(¬p2)中，真命題是( )
A.q1，q3 B.q2，q3
C.q1，q4 D.q2，q4
[答案] C
[解析] y=2x在R上是增函數(shù)，y=2-x在R上是減函數(shù)，y=2x-2-x在R上是增函數(shù)，所以p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)為真命題，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題，故q1：p1p2為真命題，q2：p1p2是假命題，q3：(¬p1)p2為假命題，q4：p1(¬p2)是真命題.故真命題是q1、q4，故選C.
[點撥] 1.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先判斷命題p1、p2的真假是解題關(guān)鍵，再由真值表可判定命題q1、q2、q3、q4的真假.
2.考查指、對函數(shù)的單調(diào)性是這一部分高考命題的主要考查方式之一.常常是判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性討論參數(shù)值或取值范圍;依據(jù)單調(diào)性比較數(shù)的大小等.
(理)已知實數(shù)a、b，則“2a>2b”是“l(fā)og2a>log2b”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 由y=2x為增函數(shù)知，2a>2ba>b;由y=log2x在(0，+∞)上為增函數(shù)知，log2a>log2ba>b>0，a>b⇒/ a>b>0，但a>b>0a>b，故選B.
4.(文)(2015·湖南理，5)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，則f(x)是( )
A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)
B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)
C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)
D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)
[答案] A
[解析] 考查函數(shù)的性質(zhì).
由得-10，a≠1，xR)叫指數(shù)函數(shù) 函數(shù)y=logax(a>0，a≠1，x>0)叫對數(shù)函數(shù) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞) 圖象 性質(zhì) (1)y>0;
(2)圖象恒過點(0,1);
(3)a>1，
當x>0時，y>1;
當x<0時，00時，01;
(4)a>1，在R上y=ax為增函數(shù);00;
(2)圖象恒過點(1,0);
(3)a>1，
當x>1時，y>0;
當01時，y<0;
當00;
(4)a>1，在(0，+∞)上y=logax為增函數(shù);0f(x)g′(x)，且f(x)=axg(x)(a>0，且a≠1)，+=.若數(shù)列{}的前n項和大于62，則n的小值為( )
A.6 B.7
C.8 D.9
[答案] A
[思路分析] 通過審題可以發(fā)現(xiàn)，題目中多處涉及的形式，x=1時，即，x=-1時，即，x=n時，即，又=ax，故這是解題的切入點，構(gòu)造函數(shù)F(x)=，則問題迎刃而解.
[解析] 令F(x)=，則F(x)=ax，F(xiàn)′(x)=>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，
a>1.
∵F(1)+F(-1)=+==a+，
a=2，F(xiàn)(x)=2x，{F(n)}的前n項和Sn=21+22+…+2n==2n+1-2>62，2n+1>64，n+1>6，
n>5，n的小值為6.
7.下列函數(shù)圖象中不正確的是( )
[答案] D
[解析] 由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知A、B正確，又C是B中函數(shù)圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，故C正確.
y=log2|x|=是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故D錯誤.
8.(文)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立，則a的取值范圍是( )
A.(-∞，+∞) B.(-2，+∞)
C.(0，+∞) D.(-1，+∞)
[答案] D
[解析] 由題意得，a>x-()x (x>0)，
令f(x)=x-()x，則f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，
f(x)>f(0)=-1，a>-1，故選D.
(理)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，且f()=0，則不等式f(logx)>0的解集是( )
A.(0，) B.(2，+∞)
C.(0，)(2，+∞) D.(，1)(2，+∞)
[答案] C
[解析] 解法1：偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，
f(x)在(-∞，0)上為減函數(shù)，
又f()=0，f(-)=0，
由f(logx)>0得，logx>或logx<-，
02，故選C.
解法2：f(x)為偶函數(shù)，f(logx)>0化為f(|logx|)>0，
f(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，f()=0，|logx|>，|log8x|>，log8x>或log8x<-，
x>2或01，則g(x)=x+lnx>1，00且a≠1)的圖象恒過點(0，-2);命題q：函數(shù)f(x)=lg|x|(x≠0)有兩個零點.
則下列說法正確的是( )
A.“p或q”是真命題 B.“p且q”是真命題
C.¬p為假命題 D.¬q為真命題
[答案] A
[解析] f(0)=a0-2=-1，p為假命題;令lg|x|=0得，|x|=1，x=±1，故q為真命題，p∨q為真，pq為假，¬p為真，¬q為假，故選A.
(理)已知函數(shù)f(x)=(其中aR)，函數(shù)g(x)=f[f(x)]+1.下列關(guān)于函數(shù)g(x)的零點個數(shù)的判斷，正確的是( )
A.當a>0時，有4個零點;當a<0時，有2個零點，當a=0時，有無數(shù)個零點
B.當a>0時，有4個零點;當a<0時，有3個零點，當a=0時，有2個零點
C.當a>0時，有2個零點;當a≤0時，有1個零點
D.當a≠0時，有2個零點;當a=0時，有1個零點
[答案] A
[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可排除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，對任意x≤0，有f(x)=，故a=0時，g(x)有無數(shù)個零點.
11.(文)(2014·中原第二次聯(lián)考)函數(shù)y=f(x+)為定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥時，f(x)=()x+sinx，則下列選項正確的是( )
A.f(3)f(π-1)>f(3)，
f(2)>f(1)>f(3)，故選A.
(理)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.x0∈R，f(x0)=0
B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形
C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(-∞，x0)單調(diào)遞減
D.若x0是f(x)的極值點，則f ′(x0)=0
[答案] C
[解析] 由題意得，f′(x)=3x2+2ax+b，該函數(shù)圖象開口向上，若x0為極小值點，如圖，f′(x)的圖象應為：
故f(x)在區(qū)間(-∞，x0)不單調(diào)遞減，C錯，故選C.
12.如圖，過原點O的直線與函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，過B作y軸的垂線交函數(shù)y=9x的圖象于點C，若AC恰好平行于y軸，則點A的坐標為( )
A.(log94,4) B.(log92,2)
C.(log34,4) D.(log32,2)
[答案] D
[解析] 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度中等.
設(shè)A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，則C(x1,3x2)在函數(shù)y=9x的圖象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .
又O，A，B共線，所以= ，聯(lián)立解得x1=log32，故點A的坐標為(log32,2)，故選D.
[易錯分析] 本題易犯兩個錯誤：一是不能將直線與指數(shù)函數(shù)圖象相交于A，B兩點轉(zhuǎn)化為OA，OB的斜率相等;二是不能應用指數(shù)的運算法則求解.一般地，解指數(shù)方程時，將方程兩邊化為同底，或者利用指數(shù)式化為對數(shù)式的方法求解.
二、填空題
13.(文)已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1，m]上的大值是1，則m的取值范圍是________.
[答案] (-1,1]
[解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上為減函數(shù)，在[-1,0]上f(x)的大值為f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上為增函數(shù)，在[0，m]上f(x)的大值為，f(x)在區(qū)間[-1，m]上的大值為1，
或-11，則m的取值范圍是________.
[答案] (-∞，0)(2，+∞)
[解析] 當m>0時，由f(m)>1得，log3(m+1)>1，
m+1>3，m>2;
當m≤0時，由f(m)>1得，3-m>1.
-m>0，m<0.
綜上知m<0或m>2.
16.(文)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________.
[答案] (0,1)
[解析] 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：
當0a-7對一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)a的大值為________.
[分析] 要求正整數(shù)a的大值，應先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式++…+的小值，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)，通過單調(diào)性求解.
[解析] 令f(n)=++…+(nN*)，
對任意的nN*，
f(n+1)-f(n)=++-
=>0，
所以f(n)在N*上是增函數(shù).
又f(1)=，對一切正整數(shù)n，f(n)>a-7都成立的充要條件是>a-7，
所以a<，故所求正整數(shù)a的大值是8.
[點撥] 本題是構(gòu)造函數(shù)法解題的很好的例證.如果對數(shù)列求和，那就會誤入歧途.本題構(gòu)造函數(shù)f(n)，通過單調(diào)性求其小值解決了不等式恒成立的問題.利用函數(shù)思想解題必須從不等式或等式中構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系并研究其性質(zhì)，才能使解題思路靈活變通.
1.(文)(2014·江西文，4)已知函數(shù)f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，則a=( )
A. -1B.-2
C.1 D.2
[答案] A
[解析] f(-1)=2-(-1)=2，
f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.
(理)(2015·新課標理，5)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=( )
A.3 B.6
C.9 D.12
[答案] C
[解析] 考查分段函數(shù).
由已知得f(-2)=1+log24=3，又log212>1，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故選C.
2.(2014·哈三中二模)冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(-2，-)，則滿足f(x)=27的x的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 設(shè)f(x)=xα，則-=(-2)α，α=-3，
f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.
3.(文)已知命題p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù).則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(¬p1)p2和q4：p1(¬p2)中，真命題是( )
A.q1，q3 B.q2，q3
C.q1，q4 D.q2，q4
[答案] C
[解析] y=2x在R上是增函數(shù)，y=2-x在R上是減函數(shù)，y=2x-2-x在R上是增函數(shù)，所以p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)為真命題，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題，故q1：p1p2為真命題，q2：p1p2是假命題，q3：(¬p1)p2為假命題，q4：p1(¬p2)是真命題.故真命題是q1、q4，故選C.
[點撥] 1.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先判斷命題p1、p2的真假是解題關(guān)鍵，再由真值表可判定命題q1、q2、q3、q4的真假.
2.考查指、對函數(shù)的單調(diào)性是這一部分高考命題的主要考查方式之一.常常是判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性討論參數(shù)值或取值范圍;依據(jù)單調(diào)性比較數(shù)的大小等.
(理)已知實數(shù)a、b，則“2a>2b”是“l(fā)og2a>log2b”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
[答案] B
[解析] 由y=2x為增函數(shù)知，2a>2ba>b;由y=log2x在(0，+∞)上為增函數(shù)知，log2a>log2ba>b>0，a>b⇒/ a>b>0，但a>b>0a>b，故選B.
4.(文)(2015·湖南理，5)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，則f(x)是( )
A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)
B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)
C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)
D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)
[答案] A
[解析] 考查函數(shù)的性質(zhì).
由得-10，a≠1，xR)叫指數(shù)函數(shù) 函數(shù)y=logax(a>0，a≠1，x>0)叫對數(shù)函數(shù) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞) 圖象 性質(zhì) (1)y>0;
(2)圖象恒過點(0,1);
(3)a>1，
當x>0時，y>1;
當x<0時，00時，01;
(4)a>1，在R上y=ax為增函數(shù);00;
(2)圖象恒過點(1,0);
(3)a>1，
當x>1時，y>0;
當01時，y<0;
當00;
(4)a>1，在(0，+∞)上y=logax為增函數(shù);0f(x)g′(x)，且f(x)=axg(x)(a>0，且a≠1)，+=.若數(shù)列{}的前n項和大于62，則n的小值為( )
A.6 B.7
C.8 D.9
[答案] A
[思路分析] 通過審題可以發(fā)現(xiàn)，題目中多處涉及的形式，x=1時，即，x=-1時，即，x=n時，即，又=ax，故這是解題的切入點，構(gòu)造函數(shù)F(x)=，則問題迎刃而解.
[解析] 令F(x)=，則F(x)=ax，F(xiàn)′(x)=>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，
a>1.
∵F(1)+F(-1)=+==a+，
a=2，F(xiàn)(x)=2x，{F(n)}的前n項和Sn=21+22+…+2n==2n+1-2>62，2n+1>64，n+1>6，
n>5，n的小值為6.
7.下列函數(shù)圖象中不正確的是( )
[答案] D
[解析] 由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知A、B正確，又C是B中函數(shù)圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，故C正確.
y=log2|x|=是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故D錯誤.
8.(文)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立，則a的取值范圍是( )
A.(-∞，+∞) B.(-2，+∞)
C.(0，+∞) D.(-1，+∞)
[答案] D
[解析] 由題意得，a>x-()x (x>0)，
令f(x)=x-()x，則f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，
f(x)>f(0)=-1，a>-1，故選D.
(理)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上是增函數(shù)，且f()=0，則不等式f(logx)>0的解集是( )
A.(0，) B.(2，+∞)
C.(0，)(2，+∞) D.(，1)(2，+∞)
[答案] C
[解析] 解法1：偶函數(shù)f(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，
f(x)在(-∞，0)上為減函數(shù)，
又f()=0，f(-)=0，
由f(logx)>0得，logx>或logx<-，
02，故選C.
解法2：f(x)為偶函數(shù)，f(logx)>0化為f(|logx|)>0，
f(x)在[0，+∞)上為增函數(shù)，f()=0，|logx|>，|log8x|>，log8x>或log8x<-，
x>2或01，則g(x)=x+lnx>1，00且a≠1)的圖象恒過點(0，-2);命題q：函數(shù)f(x)=lg|x|(x≠0)有兩個零點.
則下列說法正確的是( )
A.“p或q”是真命題 B.“p且q”是真命題
C.¬p為假命題 D.¬q為真命題
[答案] A
[解析] f(0)=a0-2=-1，p為假命題;令lg|x|=0得，|x|=1，x=±1，故q為真命題，p∨q為真，pq為假，¬p為真，¬q為假，故選A.
(理)已知函數(shù)f(x)=(其中aR)，函數(shù)g(x)=f[f(x)]+1.下列關(guān)于函數(shù)g(x)的零點個數(shù)的判斷，正確的是( )
A.當a>0時，有4個零點;當a<0時，有2個零點，當a=0時，有無數(shù)個零點
B.當a>0時，有4個零點;當a<0時，有3個零點，當a=0時，有2個零點
C.當a>0時，有2個零點;當a≤0時，有1個零點
D.當a≠0時，有2個零點;當a=0時，有1個零點
[答案] A
[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可排除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，對任意x≤0，有f(x)=，故a=0時，g(x)有無數(shù)個零點.
11.(文)(2014·中原第二次聯(lián)考)函數(shù)y=f(x+)為定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥時，f(x)=()x+sinx，則下列選項正確的是( )
A.f(3)f(π-1)>f(3)，
f(2)>f(1)>f(3)，故選A.
(理)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯誤的是( )
A.x0∈R，f(x0)=0
B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形
C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間(-∞，x0)單調(diào)遞減
D.若x0是f(x)的極值點，則f ′(x0)=0
[答案] C
[解析] 由題意得，f′(x)=3x2+2ax+b，該函數(shù)圖象開口向上，若x0為極小值點，如圖，f′(x)的圖象應為：
故f(x)在區(qū)間(-∞，x0)不單調(diào)遞減，C錯，故選C.
12.如圖，過原點O的直線與函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點，過B作y軸的垂線交函數(shù)y=9x的圖象于點C，若AC恰好平行于y軸，則點A的坐標為( )
A.(log94,4) B.(log92,2)
C.(log34,4) D.(log32,2)
[答案] D
[解析] 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度中等.
設(shè)A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，則C(x1,3x2)在函數(shù)y=9x的圖象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .
又O，A，B共線，所以= ，聯(lián)立解得x1=log32，故點A的坐標為(log32,2)，故選D.
[易錯分析] 本題易犯兩個錯誤：一是不能將直線與指數(shù)函數(shù)圖象相交于A，B兩點轉(zhuǎn)化為OA，OB的斜率相等;二是不能應用指數(shù)的運算法則求解.一般地，解指數(shù)方程時，將方程兩邊化為同底，或者利用指數(shù)式化為對數(shù)式的方法求解.
二、填空題
13.(文)已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1，m]上的大值是1，則m的取值范圍是________.
[答案] (-1,1]
[解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上為減函數(shù)，在[-1,0]上f(x)的大值為f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上為增函數(shù)，在[0，m]上f(x)的大值為，f(x)在區(qū)間[-1，m]上的大值為1，
或-11，則m的取值范圍是________.
[答案] (-∞，0)(2，+∞)
[解析] 當m>0時，由f(m)>1得，log3(m+1)>1，
m+1>3，m>2;
當m≤0時，由f(m)>1得，3-m>1.
-m>0，m<0.
綜上知m<0或m>2.
16.(文)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是________.
[答案] (0,1)
[解析] 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：
當0a-7對一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)a的大值為________.
[分析] 要求正整數(shù)a的大值，應先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式++…+的小值，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)，通過單調(diào)性求解.
[解析] 令f(n)=++…+(nN*)，
對任意的nN*，
f(n+1)-f(n)=++-
=>0，
所以f(n)在N*上是增函數(shù).
又f(1)=，對一切正整數(shù)n，f(n)>a-7都成立的充要條件是>a-7，
所以a<，故所求正整數(shù)a的大值是8.
[點撥] 本題是構(gòu)造函數(shù)法解題的很好的例證.如果對數(shù)列求和，那就會誤入歧途.本題構(gòu)造函數(shù)f(n)，通過單調(diào)性求其小值解決了不等式恒成立的問題.利用函數(shù)思想解題必須從不等式或等式中構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系并研究其性質(zhì)，才能使解題思路靈活變通.