2016高考數(shù)學同步訓練：《等差、等比數(shù)列》
一、選擇題
1.(文)(2014·東北三省三校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2+a4+a6 =12，則S7的值是( )
A.21 B.24 C.28 D.7
[答案] C
[解析] a2+a4+a6=3a4=12，a4=4，
2a4=a1+a7=8，S7===28.
(理)(2013·新課標理，7)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案] C
[解析] Sm-Sm-1=am=2，Sm+1-Sm=am+1=3，
d=am+1-am=3-2=1，
Sm=a1m+·1=0，
am=a1+(m-1)·1=2，
a1=3-m.
②代入得3m-m2+-=0，
m=0(舍去)或m=5，故選C.
2.(文)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S1=1，=4，則的值為( )
A. B. C. D.4
[答案] A
[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，由=4得=3，則S6-S4=5S2，
所以S4=4S2，S6=9S2，=.
(理)(2014·全國大綱文，8)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3，S4=15，則S6=( )
A.31 B.32
C.63 D.64
[答案] C
[解析] 解法1：由條件知：an>0，且
∴q=2.
a1=1，S6==63.
解法2：由題意知，S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，即(S4-S2)2=S2(S6-S4)，即122=3(S6-15)，S6=63.
3.(文)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且4a3-a6=0，則=( )
A.-5 B.-3
C.3 D.5
[答案] D
[解析] 4a3-a6=0，4a1q2=a1q5，a1≠0，q≠0，
q3=4，===1+q3=5.
(理)(2013·新課標理，3)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=( )
A. B.-
C. D.-
[答案] C
[解析] S3=a2+10a1，a1+a2+a3=a2+10a1，a3=9a1=a1q2，q2=9，
又a5=9，9=a3·q2=9a3，a3=1，
又a3=9a1，故a1=.
4.(2014·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)設{an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，對任意正整數(shù)n，有an+2an+1+an+2=0，又a1=2，則S101的值為( )
A.2 B.200
C.-2 D.0
[答案] A
[解析] 設公比為q，an+2an+1+an+2=0，a1+2a2+a3=0，a1+2a1q+a1q2=0，q2+2q+1=0，q=-1，又a1=2，
S101===2.
5.(2014·哈三中二模)等比數(shù)列{an}，滿足a1+a2+a3+a4+a5=3，a+a+a+a+a=15，則a1-a2+a3-a4+a5的值是( )
A.3 B.
C.- D.5
[答案] D
[解析] 由條件知，=5，
a1-a2+a3-a4+a5===5.
6.(2013·鎮(zhèn)江模擬)已知公差不等于0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果S3=-21，a7是a1與a5的等比中項，那么在數(shù)列{nan}中，數(shù)值小的項是( )
A.第4項 B.第3項
C.第2項 D.第1項
[答案] B
[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d，則由S3=a1+a2+a3=3a2=-21，得a2=-7，又由a7是a1與a5的等比中項，得a=a1·a5，即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d)，將a2=-7代入，結(jié)合d≠0，解得d=2，則nan=n[a2+(n-2)d]=2n2-11n，對稱軸方程n=2，又nN*，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，當n=3時，nan取小值，即在數(shù)列{nan}中數(shù)值小的項是第3項.
二、填空題
7.(2013·廣東六校聯(lián)考)設曲線y=xn+1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值為________.
[答案] -1
[解析] 因為y′=(n+1)xn，所以在點(1,1)處的切線的斜率k=n+1，
所以=n+1，所以xn=，
所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012
=log2013(x1·x2·…·x2012)
=log2013(··…·)
=log2013=-1.
8.(2014·中原二次聯(lián)考)若{bn}為等差數(shù)列，b2=4，b4=8.數(shù)列{an}滿足a1=1，bn=an+1-an(nN*)，則a8=________.
[答案] 57
[解析] bn=an+1-an，a8=(a8-a7)+(a7-a6)+…+(a2-a1)+a1=b7+b6+…+b1+a1.
由{bn}為等差數(shù)列，b2=4，b4=8知bn=2n
數(shù)列{bn}的前n項和為Sn=n(n+1).
a8=S7+a1=7×(7+1)+1=57.
9.(2014·遼寧省協(xié)作校聯(lián)考)若數(shù)列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=(-1)n+1，bn=，nN+，且a1=2，設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S63=________.
[答案] 560
[解析] bn==，又a1=2，a2=-1，a3=4，a4=-2，a5=6，a6=-3，…，
S63=a1+a2+a3+…a63=(a1+a3+a5+…+a63)+(a2+a4+a6+…+a62)=(2+4+6+…+64)-(1+2+3+…+31)=1056-496=560.
三、解答題
10.(2014·豫東、豫北十所聯(lián)考)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a2+S2=31，an+1=3an-2n(nN*)
(1)求證：{an-2n}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
[解析] (1)由an+1=3an-2n可得
an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n)，
又a2=3a1-2，則S2=a1+a2=4a1-2，
得a2+S2=7a1-4=31，得a1=5，a1-21=3≠0，
=3，故{an-2n}為等比數(shù)列.
(2)由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n，故an=2n+3n，
Sn=+=2n+1+-.
一、選擇題
11.(文)(2013·山西四校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則=( )
A.1+ B.1-
C.3+2 D.3-2
[答案] C
[解析] 由條件知a3=a1+2a2，
a1q2=a1+2a1q，
a1≠0，q2-2q-1=0，
q>0，q=1+，
=q2=3+2.
(理)在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，則此數(shù)列前20項的和等于( )
A.290 B.300
C.580 D.600
[答案] B
[解析] 由a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87得，
a1+a20=30，
S20==300.
12.(文)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，an+1-an==2，nN+，則數(shù)列{ban}的前10項的和為( )
A.(49-1) B.(410-1)
C.(49-1) D.(410-1)
[答案] D
[解析] 由a1=1，an+1-an=2得，an=2n-1，
由=2，b1=1得bn=2n-1，
ban=2an-1=22(n-1)=4n-1，
數(shù)列{ban}前10項和為=(410-1).
(理)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1=1，q=2，則Tn=++…+等于( )
A.1- B.(1-)
C.1- D.(1-)
[答案] B
[解析] 因為an=1×2n-1=2n-1，所以an·an+1=2n-1·2n=2×4n-1，
所以=×()n-1，所以{}也是等比數(shù)列，
所以Tn=++…+=×=(1-)，故選B.
13.給出數(shù)列，，，，，，…，，，…，，…，在這個數(shù)列中，第50個值等于1的項的序號是( )
A.4900 B.4901
C.5000 D.5001
[答案] B
[解析] 根據(jù)條件找規(guī)律，第1個1是分子、分母的和為2，第2個1是分子、分母的和為4，第3個1是分子、分母的和為6，…，第50個1是分子、分母的和為100，而分子、分母的和為2的有1項，分子、分母的和為3的有2項，分子、分母的和為4的有3項，…，分子、分母的和為99的有98項，分子、分母的和為100的項依次是：，，，…，，，…，，第50個1是其中第50項，在數(shù)列中的序號為1+2+3+…+98+50=+50=4901.
[點評] 本題考查歸納能力，由已知項找到規(guī)律，“1”所在項的特點以及項數(shù)與分子、分母的和之間的關系，再利用等差數(shù)列求和公式即可.
14.(2014·唐山市一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1+a3=，a2+a4=，則( )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
[答案] C
[解析] 設公比為q，則a1(1+q2)=，a2(1+q2)=，q=，a1+a1=，a1=2.
an=a1qn-1=2×()n-1，Sn==4[1-()n]，==2(2n-1-)
=2n-1.
[點評] 用一般解法解出a1、q，計算量大，若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求，可簡明解答如下：
a2+a4=q(a1+a3)，q=，
====2n-1.
二、填空題
15.(2014·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)如圖所示，將正整數(shù)排成三角形數(shù)陣，每排的數(shù)稱為一個群，從上到下順次為第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n個數(shù)，則第n群中n個數(shù)的和是________.
[答案] 3·2n-2n-3
[解析] 由圖規(guī)律知，第n行第1個數(shù)為2n-1，第2個數(shù)為3·2n-2，第3個數(shù)為5·2n-3……設這n個數(shù)的和為S
則S=2n-1+3·2n-2+5×2n-3+…+(2n-3)·2+(2n-1)·20
2Sn=2n+3·2n-1+5·2n-2+…+(2n-3)·22+(2n-1)·21
②-得Sn=2n+2·2n-1+2·2n-2+…+2·22+2·2-(2n-1)
=2n+2n+2n-1+…+23+22-(2n-1)
=2n+-(2n-1)
=2n+2n+1-4-2n+1
=3·2n-2n-3.
16.在數(shù)列{an}中，若a-a=p(n≥2，nN*)(p為常數(shù))，則稱{an}為“等方差數(shù)列”.下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：
若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a}是等差數(shù)列;
數(shù)列{(-1)n}是等方差數(shù)列;
若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列必為常數(shù)列;
若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{akn}(k為常數(shù)，kN*)也是等方差數(shù)列.
其中正確命題的序號為________.
[答案]
[解析] 由等方差數(shù)列的定義、等差數(shù)列、常數(shù)列的定義知均正確.
三、解答題
17.(文)(2013·浙江理，18)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d，an;
(2)若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
[解析] (1)由題意得a1·5a3=(2a2+2)2，a1=10，
即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11，nN*或an=4n+6，nN*.
(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.因為d<0，
由(1)得d=-1，an=-n+11.則
當n≤11時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.
當n≥12時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
綜上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=
(理)(2013·天津十二區(qū)縣聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f()，nN*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(n≥2)，b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn<對一切nN*成立，求小的正整數(shù)m.
[解析] (1)an+1=f()==an+，
{an}是以為公差，首項a1=1的等差數(shù)列，
an=n+.
(2)當n≥2時，
bn==
=(-)，
當n=1時，上式同樣成立.
Sn=b1+b2+…+bn
=(1-+-+…+-)
=(1-)，
Sn<，即(1-)<對一切nN*成立，
又(1-)隨n遞增，且(1-)<，
≤，m≥2013，m小=2013.
18.(文)(2014·吉林市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足首項為a1=2，an+1=2an，(nN*).設bn=3log2an-2(nN*)，數(shù)列{cn}滿足cn=anbn.
(1)求證：數(shù)列{bn}成等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
[解析] (1)由已知可得，an=a1qn-1=2n，
bn=3log22n-2
bn=3n-2，bn+1-bn=3，
{bn}為等差數(shù)列，其中b1=1，d=3.
(2)cn=anbn=(3n-2)·2n
Sn=1·2+4·22+7·23+…+(3n-2)·2n
2Sn=1·22+4·23+7·24+……+(3n-5)·2n+(3n-2)·2n+1
①-得
-Sn=2+3[22+23+24+……+2n]-(3n-2)·2n+1
=2+3·-(3n-2)·2n+1
=-10+(5-3n)·2n+1
Sn=10-(5-3n)·2n+1.
(理)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，其前n項和Sn=pn2+2n(nN*).
(1)求p的值及an;
(2)若bn=，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使Tn>成立的小正整數(shù)n的值.
[解析] 本題主要考查等差數(shù)列的概念及有關計算，數(shù)列求和的方法，簡單分式不等式的解法，化歸轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力等.
(1)解法1：{an}是等差數(shù)列，
Sn=na1+d=na1+×2
=n2+(a1-1)n.
又由已知Sn=pn2+2n，
p=1，a1-1=2，a1=3，
an=a1+(n-1)d=2n+1，p=1，an=2n+1.
解法2：由已知a1=S1=p+2，S2=4p+4，
即a1+a2=4p+4，a2=3p+2.
又等差數(shù)列的公差為2，a2-a1=2，
2p=2，p=1，a1=p+2=3，
an=a1+(n-1)d=2n+1，p=1，an=2n+1.
解法3：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2，
a2=3p+2，由已知a2-a1=2，2p=2，p=1，
a1=p+2=3，an=a1+(n-1)d=2n+1，
p=1，an=2n+1.
(2)由(1)知bn==-，
Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.
又Tn>，>，20n>18n+9，
即n>，又nN*.
∴使Tn=成立的小正整數(shù)n的值為5.
一、選擇題
1.(文)(2014·東北三省三校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2+a4+a6 =12，則S7的值是( )
A.21 B.24 C.28 D.7
[答案] C
[解析] a2+a4+a6=3a4=12，a4=4，
2a4=a1+a7=8，S7===28.
(理)(2013·新課標理，7)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案] C
[解析] Sm-Sm-1=am=2，Sm+1-Sm=am+1=3，
d=am+1-am=3-2=1，
Sm=a1m+·1=0，
am=a1+(m-1)·1=2，
a1=3-m.
②代入得3m-m2+-=0，
m=0(舍去)或m=5，故選C.
2.(文)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S1=1，=4，則的值為( )
A. B. C. D.4
[答案] A
[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2，S4-S2，S6-S4成等差數(shù)列，由=4得=3，則S6-S4=5S2，
所以S4=4S2，S6=9S2，=.
(理)(2014·全國大綱文，8)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2=3，S4=15，則S6=( )
A.31 B.32
C.63 D.64
[答案] C
[解析] 解法1：由條件知：an>0，且
∴q=2.
a1=1，S6==63.
解法2：由題意知，S2，S4-S2，S6-S4成等比數(shù)列，即(S4-S2)2=S2(S6-S4)，即122=3(S6-15)，S6=63.
3.(文)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，且4a3-a6=0，則=( )
A.-5 B.-3
C.3 D.5
[答案] D
[解析] 4a3-a6=0，4a1q2=a1q5，a1≠0，q≠0，
q3=4，===1+q3=5.
(理)(2013·新課標理，3)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=( )
A. B.-
C. D.-
[答案] C
[解析] S3=a2+10a1，a1+a2+a3=a2+10a1，a3=9a1=a1q2，q2=9，
又a5=9，9=a3·q2=9a3，a3=1，
又a3=9a1，故a1=.
4.(2014·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)設{an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，對任意正整數(shù)n，有an+2an+1+an+2=0，又a1=2，則S101的值為( )
A.2 B.200
C.-2 D.0
[答案] A
[解析] 設公比為q，an+2an+1+an+2=0，a1+2a2+a3=0，a1+2a1q+a1q2=0，q2+2q+1=0，q=-1，又a1=2，
S101===2.
5.(2014·哈三中二模)等比數(shù)列{an}，滿足a1+a2+a3+a4+a5=3，a+a+a+a+a=15，則a1-a2+a3-a4+a5的值是( )
A.3 B.
C.- D.5
[答案] D
[解析] 由條件知，=5，
a1-a2+a3-a4+a5===5.
6.(2013·鎮(zhèn)江模擬)已知公差不等于0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果S3=-21，a7是a1與a5的等比中項，那么在數(shù)列{nan}中，數(shù)值小的項是( )
A.第4項 B.第3項
C.第2項 D.第1項
[答案] B
[解析] 設等差數(shù)列{an}的公差為d，則由S3=a1+a2+a3=3a2=-21，得a2=-7，又由a7是a1與a5的等比中項，得a=a1·a5，即(a2+5d)2=(a2-d)(a2+3d)，將a2=-7代入，結(jié)合d≠0，解得d=2，則nan=n[a2+(n-2)d]=2n2-11n，對稱軸方程n=2，又nN*，結(jié)合二次函數(shù)的圖象知，當n=3時，nan取小值，即在數(shù)列{nan}中數(shù)值小的項是第3項.
二、填空題
7.(2013·廣東六校聯(lián)考)設曲線y=xn+1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值為________.
[答案] -1
[解析] 因為y′=(n+1)xn，所以在點(1,1)處的切線的斜率k=n+1，
所以=n+1，所以xn=，
所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012
=log2013(x1·x2·…·x2012)
=log2013(··…·)
=log2013=-1.
8.(2014·中原二次聯(lián)考)若{bn}為等差數(shù)列，b2=4，b4=8.數(shù)列{an}滿足a1=1，bn=an+1-an(nN*)，則a8=________.
[答案] 57
[解析] bn=an+1-an，a8=(a8-a7)+(a7-a6)+…+(a2-a1)+a1=b7+b6+…+b1+a1.
由{bn}為等差數(shù)列，b2=4，b4=8知bn=2n
數(shù)列{bn}的前n項和為Sn=n(n+1).
a8=S7+a1=7×(7+1)+1=57.
9.(2014·遼寧省協(xié)作校聯(lián)考)若數(shù)列{an}與{bn}滿足bn+1an+bnan+1=(-1)n+1，bn=，nN+，且a1=2，設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S63=________.
[答案] 560
[解析] bn==，又a1=2，a2=-1，a3=4，a4=-2，a5=6，a6=-3，…，
S63=a1+a2+a3+…a63=(a1+a3+a5+…+a63)+(a2+a4+a6+…+a62)=(2+4+6+…+64)-(1+2+3+…+31)=1056-496=560.
三、解答題
10.(2014·豫東、豫北十所聯(lián)考)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a2+S2=31，an+1=3an-2n(nN*)
(1)求證：{an-2n}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
[解析] (1)由an+1=3an-2n可得
an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n)，
又a2=3a1-2，則S2=a1+a2=4a1-2，
得a2+S2=7a1-4=31，得a1=5，a1-21=3≠0，
=3，故{an-2n}為等比數(shù)列.
(2)由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n，故an=2n+3n，
Sn=+=2n+1+-.
一、選擇題
11.(文)(2013·山西四校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則=( )
A.1+ B.1-
C.3+2 D.3-2
[答案] C
[解析] 由條件知a3=a1+2a2，
a1q2=a1+2a1q，
a1≠0，q2-2q-1=0，
q>0，q=1+，
=q2=3+2.
(理)在等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87，則此數(shù)列前20項的和等于( )
A.290 B.300
C.580 D.600
[答案] B
[解析] 由a1+a2+a3=3，a18+a19+a20=87得，
a1+a20=30，
S20==300.
12.(文)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，an+1-an==2，nN+，則數(shù)列{ban}的前10項的和為( )
A.(49-1) B.(410-1)
C.(49-1) D.(410-1)
[答案] D
[解析] 由a1=1，an+1-an=2得，an=2n-1，
由=2，b1=1得bn=2n-1，
ban=2an-1=22(n-1)=4n-1，
數(shù)列{ban}前10項和為=(410-1).
(理)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1=1，q=2，則Tn=++…+等于( )
A.1- B.(1-)
C.1- D.(1-)
[答案] B
[解析] 因為an=1×2n-1=2n-1，所以an·an+1=2n-1·2n=2×4n-1，
所以=×()n-1，所以{}也是等比數(shù)列，
所以Tn=++…+=×=(1-)，故選B.
13.給出數(shù)列，，，，，，…，，，…，，…，在這個數(shù)列中，第50個值等于1的項的序號是( )
A.4900 B.4901
C.5000 D.5001
[答案] B
[解析] 根據(jù)條件找規(guī)律，第1個1是分子、分母的和為2，第2個1是分子、分母的和為4，第3個1是分子、分母的和為6，…，第50個1是分子、分母的和為100，而分子、分母的和為2的有1項，分子、分母的和為3的有2項，分子、分母的和為4的有3項，…，分子、分母的和為99的有98項，分子、分母的和為100的項依次是：，，，…，，，…，，第50個1是其中第50項，在數(shù)列中的序號為1+2+3+…+98+50=+50=4901.
[點評] 本題考查歸納能力，由已知項找到規(guī)律，“1”所在項的特點以及項數(shù)與分子、分母的和之間的關系，再利用等差數(shù)列求和公式即可.
14.(2014·唐山市一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1+a3=，a2+a4=，則( )
A.4n-1 B.4n-1
C.2n-1 D.2n-1
[答案] C
[解析] 設公比為q，則a1(1+q2)=，a2(1+q2)=，q=，a1+a1=，a1=2.
an=a1qn-1=2×()n-1，Sn==4[1-()n]，==2(2n-1-)
=2n-1.
[點評] 用一般解法解出a1、q，計算量大，若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求，可簡明解答如下：
a2+a4=q(a1+a3)，q=，
====2n-1.
二、填空題
15.(2014·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)如圖所示，將正整數(shù)排成三角形數(shù)陣，每排的數(shù)稱為一個群，從上到下順次為第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n個數(shù)，則第n群中n個數(shù)的和是________.
[答案] 3·2n-2n-3
[解析] 由圖規(guī)律知，第n行第1個數(shù)為2n-1，第2個數(shù)為3·2n-2，第3個數(shù)為5·2n-3……設這n個數(shù)的和為S
則S=2n-1+3·2n-2+5×2n-3+…+(2n-3)·2+(2n-1)·20
2Sn=2n+3·2n-1+5·2n-2+…+(2n-3)·22+(2n-1)·21
②-得Sn=2n+2·2n-1+2·2n-2+…+2·22+2·2-(2n-1)
=2n+2n+2n-1+…+23+22-(2n-1)
=2n+-(2n-1)
=2n+2n+1-4-2n+1
=3·2n-2n-3.
16.在數(shù)列{an}中，若a-a=p(n≥2，nN*)(p為常數(shù))，則稱{an}為“等方差數(shù)列”.下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：
若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a}是等差數(shù)列;
數(shù)列{(-1)n}是等方差數(shù)列;
若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列必為常數(shù)列;
若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{akn}(k為常數(shù)，kN*)也是等方差數(shù)列.
其中正確命題的序號為________.
[答案]
[解析] 由等方差數(shù)列的定義、等差數(shù)列、常數(shù)列的定義知均正確.
三、解答題
17.(文)(2013·浙江理，18)在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1=10，且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d，an;
(2)若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
[解析] (1)由題意得a1·5a3=(2a2+2)2，a1=10，
即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.
所以an=-n+11，nN*或an=4n+6，nN*.
(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.因為d<0，
由(1)得d=-1，an=-n+11.則
當n≤11時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n.
當n≥12時，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.
綜上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=
(理)(2013·天津十二區(qū)縣聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f()，nN*.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令bn=(n≥2)，b1=3，Sn=b1+b2+…+bn，若Sn<對一切nN*成立，求小的正整數(shù)m.
[解析] (1)an+1=f()==an+，
{an}是以為公差，首項a1=1的等差數(shù)列，
an=n+.
(2)當n≥2時，
bn==
=(-)，
當n=1時，上式同樣成立.
Sn=b1+b2+…+bn
=(1-+-+…+-)
=(1-)，
Sn<，即(1-)<對一切nN*成立，
又(1-)隨n遞增，且(1-)<，
≤，m≥2013，m小=2013.
18.(文)(2014·吉林市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足首項為a1=2，an+1=2an，(nN*).設bn=3log2an-2(nN*)，數(shù)列{cn}滿足cn=anbn.
(1)求證：數(shù)列{bn}成等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
[解析] (1)由已知可得，an=a1qn-1=2n，
bn=3log22n-2
bn=3n-2，bn+1-bn=3，
{bn}為等差數(shù)列，其中b1=1，d=3.
(2)cn=anbn=(3n-2)·2n
Sn=1·2+4·22+7·23+…+(3n-2)·2n
2Sn=1·22+4·23+7·24+……+(3n-5)·2n+(3n-2)·2n+1
①-得
-Sn=2+3[22+23+24+……+2n]-(3n-2)·2n+1
=2+3·-(3n-2)·2n+1
=-10+(5-3n)·2n+1
Sn=10-(5-3n)·2n+1.
(理)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，其前n項和Sn=pn2+2n(nN*).
(1)求p的值及an;
(2)若bn=，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使Tn>成立的小正整數(shù)n的值.
[解析] 本題主要考查等差數(shù)列的概念及有關計算，數(shù)列求和的方法，簡單分式不等式的解法，化歸轉(zhuǎn)化思想及運算求解能力等.
(1)解法1：{an}是等差數(shù)列，
Sn=na1+d=na1+×2
=n2+(a1-1)n.
又由已知Sn=pn2+2n，
p=1，a1-1=2，a1=3，
an=a1+(n-1)d=2n+1，p=1，an=2n+1.
解法2：由已知a1=S1=p+2，S2=4p+4，
即a1+a2=4p+4，a2=3p+2.
又等差數(shù)列的公差為2，a2-a1=2，
2p=2，p=1，a1=p+2=3，
an=a1+(n-1)d=2n+1，p=1，an=2n+1.
解法3：當n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2，
a2=3p+2，由已知a2-a1=2，2p=2，p=1，
a1=p+2=3，an=a1+(n-1)d=2n+1，
p=1，an=2n+1.
(2)由(1)知bn==-，
Tn=b1+b2+b3+…+bn
=(-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.
又Tn>，>，20n>18n+9，
即n>，又nN*.
∴使Tn=成立的小正整數(shù)n的值為5.