2016安徽高考數(shù)學專練及答案:直線與圓錐曲線
一、選擇題
1.拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過點F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
答案：C 命題立意：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和考生的運算能力.根據(jù)已知條件中的直線的斜率和所經(jīng)過的點F，寫出直線方程，從而通過解方程組求出點A的坐標，得到三角形的底邊長與高，計算出三角形的面積.
解題思路：由題意可知，拋物線的準線方程為x=-1，拋物線的焦點坐標為(1,0).直線AF的方程y=(x-1)，解方程組得或因為點A在x軸的上方，所以符合題意，即點A的坐標為(3，2)，|AK|=3+1=4，點F到直線AK的距離d即為點A的縱坐標2，因此SAKF=|AK|·d=4.
2.已知雙曲線C的右焦點F與拋物線y2=8x的焦點相同，若以點F為圓心，為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案：D 解題思路：設雙曲線C的方程為-=1(a>0，b>0)，而拋物線y2=8x的焦點為(2,0)，即F(2,0)，
4=a2+b2.又圓F：(x-2)2+y2=2與雙曲線C的漸近線y=±x相切，由雙曲線的對稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為=， a2=b2=2，故雙曲線C的方程為-=1.
3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(nN*)，其前n項和Sn=，則雙曲線-=1的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：C 命題立意：本題主要考查裂項法求數(shù)列的前n項和與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的基本運算能力.
解題思路：依題意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故雙曲線方程是-=1，該雙曲線的漸近線方程是y=± x=±x，故選C.
4.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點分別為A，B，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A.+1 B.+1
C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)等知識，意在考查考生的基本運算能力.
解題思路：連接AF1，依題意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此該雙曲線的離心率e===+1，故選B.
5.設e1，e2分別為具有公共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個公共點，且滿足|+|=||，則 的值為( )
A. B.2
C. D.1
答案：A 解題思路：設|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨設m>n.由|+|=||知，F(xiàn)1PF2=90°，則m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=.
二、填空題
6.若雙曲線-=1漸近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案：(-∞，-5][5，+∞) 命題立意：本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，考查等價轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題、解決問題的能力.
解題思路：問題等價于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切，故實數(shù)m滿足≥4，即m≥5或m≤-5.
7.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：(x-1)2+y2=相切，且雙曲線的右焦點為拋物線y2=4x的焦點，則該雙曲線的標準方程為________.
答案：-y2=1 命題立意：本題主要考查雙曲線和拋物線的標準方程、幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式以及基本量間的關(guān)系等.
解題思路：由題意可知雙曲線中c=.設雙曲線-=1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為kx-y=0，根據(jù)圓心(1,0)到該直線的距離為半徑，得k2=，即=.又a2+b2=()2，則a2=4，b2=1，所以所求的標準方程為-y2=1.
8.已知雙曲線-=1的焦點為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線上且MF1MF2，則點M到x軸的距離為________.
答案： 命題立意：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離，考查考生的運算求解能力.
解題思路：設M(x，y)，F(xiàn)1(-3,0)，F(xiàn)2(3,0)，則由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在雙曲線上，故可以解方程組y2=，故點M到x軸的距離為.
三、解答題
9.已知橢圓C：+=1(a>)的右焦點F在圓D：(x-2)2+y2=1上，直線l：x=my+3(m≠0)交橢圓于M，N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若(O為坐標原點)，求m的值;
(3)設點N關(guān)于x軸的對稱點為N1(N1與點M不重合)，且直線N1M與x軸交于點P，試問PMN的面積是否存在值?若存在，求出這個值;若不存在，請說明理由.
解析：(1)由題設知，圓D：(x-2)2+y2=1的圓心坐標是(2,0)，半徑是1，
故圓D與x軸交于兩點(3,0)，(1,0).
所以在橢圓中，c=3或c=1，又b2=3，
所以a2=12或a2=4(舍去， a>).
于是，橢圓C的方程為+=1.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2).
直線l與橢圓C方程聯(lián)立
化簡并整理得(m2+4)y2+6my-3=0，
y1+y2=，y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
⊥，·=0，
即x1x2+y1y2=0，得=0.
m2=，m=±.
(3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)，
直線N1M的方程為=.
令y=0，則x=+x1=
P(4,0).
解法一：SPMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
≤2·=1.
當且僅當m2+1=3，即m=±時等號成立，
故PMN的面積存在值1.
(或SPMN=2·
=2·.
令t=，
則SPMN=2·
=2·≤1.
當且僅當t=時等號成立，此時m2=2，
故PMN的面積存在值1.)
解法二：|MN|=
=4·，
點P到直線l的距離為= .
所以SPMN=··
令t=，
SPMN=2
=2≤=1，
當且僅當t=時，此時m2=2，
故PMN的面積存在值，其值為1.
10.已知P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：-=1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足=λ+，求λ的值.
解析：(1)點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上，有-=1.
由題意有·=，可得a2=5b2，
c2=a2+b2=6b2，則e==.
(2)聯(lián)立得
4x2-10cx+35b2=0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
設=(x3，y3)，=λ+，
即
又C為雙曲線上一點，即x-5y=5b2，有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2，
化簡得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，
所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.
由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2，
得λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=-4.
11.已知拋物線C：y2=x，過點A(x0,0)作直線l交拋物線于點P，Q(點P在第一象限).
(1)當點A是拋物線C的焦點，且弦長|PQ|=2時，求直線l的方程;
(2)設點Q關(guān)于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于點B，且BPBQ.求證：點B的坐標是(-x0,0)，并求點B到直線l的距離d的取值范圍.
解析：(1)由拋物線C：y2=x，得拋物線的焦點坐標為，設直線l的方程為x=ny+，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
由得y2-ny-=0.
所以Δ=n2+1>0，y1+y2=n.
因為x1=ny1+，x2=ny2+，
所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+
=n(y1+y2)+1=2.
所以n2=1，即n=±1.
所以直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0.
(2)設l：x=my+x0(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則M(x2，-y2).
由消去x，得y2-my-x0=0.
因為x0≥，所以Δ=m2+4x0>0，
y1+y2=m，y1y2=-x0.
解法一：設B(xB,0)，則=(x2-xB，-y2)，=(x1-xB，y1).
由題意知，
x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2，
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2.
顯然y1+y2=m≠0， xB=y1y2=-x0，
B(-x0,0).
由題意知，MBQ為等腰直角三角形，
kPB=1，即=1，也即=1，
y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，
即m2+4x0=1， m2=1-4x0>0， x0<.
x0≥， ≤x0<.
∴ d的取值范圍是.
解法二：因為直線l：y-y1=(x-x1)，
所以令y=0，則
x=x1-=x1-
=x1-y+y1y2=-x0，
B(-x0,0).
由題意知，MBQ為等腰直角三角形，
kPB=1，即=1，
y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，
即m2+4x0=1，
m2=1-4x0.
x0≥， 0
d===
∴ d的取值范圍是.
12.如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形.
解析：(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0)，
由題意得
∴ 橢圓方程為+=1.
由題意可得直線l的方程為y=x+m(m≠0)，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則點A，B的坐標是方程組的兩組解.
消去y得x2+2mx+2m2-4=0.
Δ=4m2-4(2m2-4)>0， -2
又 m≠0， 實數(shù)m的取值范圍為(-2,0)(0,2).
(2)證明：由題意可設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，
由(1)得x2+2mx+2m2-4=0，
x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
k1+k2=+
==0，
直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形
一、選擇題
1.拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過點F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
答案：C 命題立意：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和考生的運算能力.根據(jù)已知條件中的直線的斜率和所經(jīng)過的點F，寫出直線方程，從而通過解方程組求出點A的坐標，得到三角形的底邊長與高，計算出三角形的面積.
解題思路：由題意可知，拋物線的準線方程為x=-1，拋物線的焦點坐標為(1,0).直線AF的方程y=(x-1)，解方程組得或因為點A在x軸的上方，所以符合題意，即點A的坐標為(3，2)，|AK|=3+1=4，點F到直線AK的距離d即為點A的縱坐標2，因此SAKF=|AK|·d=4.
2.已知雙曲線C的右焦點F與拋物線y2=8x的焦點相同，若以點F為圓心，為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案：D 解題思路：設雙曲線C的方程為-=1(a>0，b>0)，而拋物線y2=8x的焦點為(2,0)，即F(2,0)，
4=a2+b2.又圓F：(x-2)2+y2=2與雙曲線C的漸近線y=±x相切，由雙曲線的對稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為=， a2=b2=2，故雙曲線C的方程為-=1.
3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(nN*)，其前n項和Sn=，則雙曲線-=1的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：C 命題立意：本題主要考查裂項法求數(shù)列的前n項和與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的基本運算能力.
解題思路：依題意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故雙曲線方程是-=1，該雙曲線的漸近線方程是y=± x=±x，故選C.
4.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點分別為A，B，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A.+1 B.+1
C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)等知識，意在考查考生的基本運算能力.
解題思路：連接AF1，依題意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此該雙曲線的離心率e===+1，故選B.
5.設e1，e2分別為具有公共焦點F1，F(xiàn)2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個公共點，且滿足|+|=||，則 的值為( )
A. B.2
C. D.1
答案：A 解題思路：設|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨設m>n.由|+|=||知，F(xiàn)1PF2=90°，則m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=.
二、填空題
6.若雙曲線-=1漸近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是________.
答案：(-∞，-5][5，+∞) 命題立意：本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，考查等價轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題、解決問題的能力.
解題思路：問題等價于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切，故實數(shù)m滿足≥4，即m≥5或m≤-5.
7.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：(x-1)2+y2=相切，且雙曲線的右焦點為拋物線y2=4x的焦點，則該雙曲線的標準方程為________.
答案：-y2=1 命題立意：本題主要考查雙曲線和拋物線的標準方程、幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式以及基本量間的關(guān)系等.
解題思路：由題意可知雙曲線中c=.設雙曲線-=1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為kx-y=0，根據(jù)圓心(1,0)到該直線的距離為半徑，得k2=，即=.又a2+b2=()2，則a2=4，b2=1，所以所求的標準方程為-y2=1.
8.已知雙曲線-=1的焦點為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線上且MF1MF2，則點M到x軸的距離為________.
答案： 命題立意：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，以及點到直線的距離，考查考生的運算求解能力.
解題思路：設M(x，y)，F(xiàn)1(-3,0)，F(xiàn)2(3,0)，則由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在雙曲線上，故可以解方程組y2=，故點M到x軸的距離為.
三、解答題
9.已知橢圓C：+=1(a>)的右焦點F在圓D：(x-2)2+y2=1上，直線l：x=my+3(m≠0)交橢圓于M，N兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若(O為坐標原點)，求m的值;
(3)設點N關(guān)于x軸的對稱點為N1(N1與點M不重合)，且直線N1M與x軸交于點P，試問PMN的面積是否存在值?若存在，求出這個值;若不存在，請說明理由.
解析：(1)由題設知，圓D：(x-2)2+y2=1的圓心坐標是(2,0)，半徑是1，
故圓D與x軸交于兩點(3,0)，(1,0).
所以在橢圓中，c=3或c=1，又b2=3，
所以a2=12或a2=4(舍去， a>).
于是，橢圓C的方程為+=1.
(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2).
直線l與橢圓C方程聯(lián)立
化簡并整理得(m2+4)y2+6my-3=0，
y1+y2=，y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
⊥，·=0，
即x1x2+y1y2=0，得=0.
m2=，m=±.
(3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)，
直線N1M的方程為=.
令y=0，則x=+x1=
P(4,0).
解法一：SPMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
≤2·=1.
當且僅當m2+1=3，即m=±時等號成立，
故PMN的面積存在值1.
(或SPMN=2·
=2·.
令t=，
則SPMN=2·
=2·≤1.
當且僅當t=時等號成立，此時m2=2，
故PMN的面積存在值1.)
解法二：|MN|=
=4·，
點P到直線l的距離為= .
所以SPMN=··
令t=，
SPMN=2
=2≤=1，
當且僅當t=時，此時m2=2，
故PMN的面積存在值，其值為1.
10.已知P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：-=1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足=λ+，求λ的值.
解析：(1)點P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上，有-=1.
由題意有·=，可得a2=5b2，
c2=a2+b2=6b2，則e==.
(2)聯(lián)立得
4x2-10cx+35b2=0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
設=(x3，y3)，=λ+，
即
又C為雙曲線上一點，即x-5y=5b2，有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2，
化簡得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，
所以x-5y=5b2，x-5y=5b2.
由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2，
得λ2+4λ=0，解出λ=0或λ=-4.
11.已知拋物線C：y2=x，過點A(x0,0)作直線l交拋物線于點P，Q(點P在第一象限).
(1)當點A是拋物線C的焦點，且弦長|PQ|=2時，求直線l的方程;
(2)設點Q關(guān)于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于點B，且BPBQ.求證：點B的坐標是(-x0,0)，并求點B到直線l的距離d的取值范圍.
解析：(1)由拋物線C：y2=x，得拋物線的焦點坐標為，設直線l的方程為x=ny+，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
由得y2-ny-=0.
所以Δ=n2+1>0，y1+y2=n.
因為x1=ny1+，x2=ny2+，
所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+
=n(y1+y2)+1=2.
所以n2=1，即n=±1.
所以直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.
即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0.
(2)設l：x=my+x0(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則M(x2，-y2).
由消去x，得y2-my-x0=0.
因為x0≥，所以Δ=m2+4x0>0，
y1+y2=m，y1y2=-x0.
解法一：設B(xB,0)，則=(x2-xB，-y2)，=(x1-xB，y1).
由題意知，
x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2，
即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2.
顯然y1+y2=m≠0， xB=y1y2=-x0，
B(-x0,0).
由題意知，MBQ為等腰直角三角形，
kPB=1，即=1，也即=1，
y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，
即m2+4x0=1， m2=1-4x0>0， x0<.
x0≥， ≤x0<.
∴ d的取值范圍是.
解法二：因為直線l：y-y1=(x-x1)，
所以令y=0，則
x=x1-=x1-
=x1-y+y1y2=-x0，
B(-x0,0).
由題意知，MBQ為等腰直角三角形，
kPB=1，即=1，
y1-y2=1， (y1+y2)2-4y1y2=1，
即m2+4x0=1，
m2=1-4x0.
x0≥， 0
d===
∴ d的取值范圍是.
12.如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形.
解析：(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0)，
由題意得
∴ 橢圓方程為+=1.
由題意可得直線l的方程為y=x+m(m≠0)，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則點A，B的坐標是方程組的兩組解.
消去y得x2+2mx+2m2-4=0.
Δ=4m2-4(2m2-4)>0， -2
又 m≠0， 實數(shù)m的取值范圍為(-2,0)(0,2).
(2)證明：由題意可設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，
由(1)得x2+2mx+2m2-4=0，
x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
k1+k2=+
==0，
直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形