2016年安徽高考數(shù)學模擬試題:直線與圓錐曲線

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2016安徽高考數(shù)學專練及答案:直線與圓錐曲線
    一、選擇題
    1.拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,經(jīng)過點F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A,AKl,垂足為K,則AKF的面積是(  )
    A.4 B.3
    C.4 D.8
    答案:C 命題立意:本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和考生的運算能力.根據(jù)已知條件中的直線的斜率和所經(jīng)過的點F,寫出直線方程,從而通過解方程組求出點A的坐標,得到三角形的底邊長與高,計算出三角形的面積.
    解題思路:由題意可知,拋物線的準線方程為x=-1,拋物線的焦點坐標為(1,0).直線AF的方程y=(x-1),解方程組得或因為點A在x軸的上方,所以符合題意,即點A的坐標為(3,2),|AK|=3+1=4,點F到直線AK的距離d即為點A的縱坐標2,因此SAKF=|AK|·d=4.
    2.已知雙曲線C的右焦點F與拋物線y2=8x的焦點相同,若以點F為圓心,為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切,則雙曲線C的方程為(  )
    A.-x2=1 B.-y2=1
    C.-=1 D.-=1
    答案:D 解題思路:設雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),而拋物線y2=8x的焦點為(2,0),即F(2,0),
    4=a2+b2.又圓F:(x-2)2+y2=2與雙曲線C的漸近線y=±x相切,由雙曲線的對稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為=, a2=b2=2,故雙曲線C的方程為-=1.
    3.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(nN*),其前n項和Sn=,則雙曲線-=1的漸近線方程為(  )
    A.y=±x B.y=±x
    C.y=±x D.y=±x
    答案:C 命題立意:本題主要考查裂項法求數(shù)列的前n項和與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,意在考查考生的基本運算能力.
    解題思路:依題意得an=-,因此Sn=1-==,n=9,故雙曲線方程是-=1,該雙曲線的漸近線方程是y=± x=±x,故選C.
    4.如圖所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個焦點,以坐標原點O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點分別為A,B,且F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為(  )
    A.+1 B.+1
    C. D.
    答案:B 命題立意:本題主要考查圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)等知識,意在考查考生的基本運算能力.
    解題思路:連接AF1,依題意,得AF1AF2,又AF2F1=30°, |AF1|=c,|AF2|=c,因此該雙曲線的離心率e===+1,故選B.
    5.設e1,e2分別為具有公共焦點F1,F(xiàn)2的橢圓和雙曲線的離心率,P是兩曲線的一個公共點,且滿足|+|=||,則 的值為(  )
    A. B.2
    C. D.1
    答案:A 解題思路:設|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨設m>n.由|+|=||知,F(xiàn)1PF2=90°,則m2+n2=4c2, e1=,e2=,+==2,=.
    二、填空題
    6.若雙曲線-=1漸近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是________.
    答案:(-∞,-5][5,+∞) 命題立意:本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,考查等價轉(zhuǎn)化思想,考查分析問題、解決問題的能力.
    解題思路:問題等價于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切,故實數(shù)m滿足≥4,即m≥5或m≤-5.
    7.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:(x-1)2+y2=相切,且雙曲線的右焦點為拋物線y2=4x的焦點,則該雙曲線的標準方程為________.
    答案:-y2=1 命題立意:本題主要考查雙曲線和拋物線的標準方程、幾何性質(zhì),點到直線的距離公式以及基本量間的關(guān)系等.
    解題思路:由題意可知雙曲線中c=.設雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為kx-y=0,根據(jù)圓心(1,0)到該直線的距離為半徑,得k2=,即=.又a2+b2=()2,則a2=4,b2=1,所以所求的標準方程為-y2=1.
    8.已知雙曲線-=1的焦點為F1,F(xiàn)2,點M在雙曲線上且MF1MF2,則點M到x軸的距離為________.
    答案: 命題立意:本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),以及點到直線的距離,考查考生的運算求解能力.
    解題思路:設M(x,y),F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),則由MF1MF2,得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在雙曲線上,故可以解方程組y2=,故點M到x軸的距離為.
    三、解答題
    9.已知橢圓C:+=1(a>)的右焦點F在圓D:(x-2)2+y2=1上,直線l:x=my+3(m≠0)交橢圓于M,N兩點.
    (1)求橢圓C的方程;
    (2)若(O為坐標原點),求m的值;
    (3)設點N關(guān)于x軸的對稱點為N1(N1與點M不重合),且直線N1M與x軸交于點P,試問PMN的面積是否存在值?若存在,求出這個值;若不存在,請說明理由.
    解析:(1)由題設知,圓D:(x-2)2+y2=1的圓心坐標是(2,0),半徑是1,
    故圓D與x軸交于兩點(3,0),(1,0).
    所以在橢圓中,c=3或c=1,又b2=3,
    所以a2=12或a2=4(舍去, a>).
    于是,橢圓C的方程為+=1.
    (2)設M(x1,y1),N(x2,y2).
    直線l與橢圓C方程聯(lián)立
    化簡并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,
    y1+y2=,y1y2=.
    x1+x2=m(y1+y2)+6=.
    x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
    =++9=.
    ⊥,·=0,
    即x1x2+y1y2=0,得=0.
    m2=,m=±.
    (3) M(x1,y1),N1(x2,-y2),
    直線N1M的方程為=.
    令y=0,則x=+x1=
    P(4,0).
    解法一:SPMN=|FP|·|y1-y2|
    =·1·
    ≤2·=1.
    當且僅當m2+1=3,即m=±時等號成立,
    故PMN的面積存在值1.
    (或SPMN=2·
    =2·.
    令t=,
    則SPMN=2·
    =2·≤1.
    當且僅當t=時等號成立,此時m2=2,
    故PMN的面積存在值1.)
    解法二:|MN|=
    =4·,
    點P到直線l的距離為= .
    所以SPMN=··
    令t=,
    SPMN=2
    =2≤=1,
    當且僅當t=時,此時m2=2,
    故PMN的面積存在值,其值為1.
    10.已知P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點,M,N分別是雙曲線E的左、右頂點,直線PM,PN的斜率之積為.
    (1)求雙曲線的離心率;
    (2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點,O為坐標原點,C為雙曲線上一點,滿足=λ+,求λ的值.
    解析:(1)點P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上,有-=1.
    由題意有·=,可得a2=5b2,
    c2=a2+b2=6b2,則e==.
    (2)聯(lián)立得
    4x2-10cx+35b2=0.
    設A(x1,y1),B(x2,y2),則
    設=(x3,y3),=λ+,
    即
    又C為雙曲線上一點,即x-5y=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
    化簡得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.
    又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,
    所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.
    由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
    得λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
    11.已知拋物線C:y2=x,過點A(x0,0)作直線l交拋物線于點P,Q(點P在第一象限).
    (1)當點A是拋物線C的焦點,且弦長|PQ|=2時,求直線l的方程;
    (2)設點Q關(guān)于x軸的對稱點為M,直線PM交x軸于點B,且BPBQ.求證:點B的坐標是(-x0,0),并求點B到直線l的距離d的取值范圍.
    解析:(1)由拋物線C:y2=x,得拋物線的焦點坐標為,設直線l的方程為x=ny+,P(x1,y1),Q(x2,y2).
    由得y2-ny-=0.
    所以Δ=n2+1>0,y1+y2=n.
    因為x1=ny1+,x2=ny2+,
    所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+
    =n(y1+y2)+1=2.
    所以n2=1,即n=±1.
    所以直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.
    即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0.
    (2)設l:x=my+x0(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
    則M(x2,-y2).
    由消去x,得y2-my-x0=0.
    因為x0≥,所以Δ=m2+4x0>0,
    y1+y2=m,y1y2=-x0.
    解法一:設B(xB,0),則=(x2-xB,-y2),=(x1-xB,y1).
    由題意知,
    x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2,
    即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2.
    顯然y1+y2=m≠0, xB=y1y2=-x0,
    B(-x0,0).
    由題意知,MBQ為等腰直角三角形,
    kPB=1,即=1,也即=1,
    y1-y2=1, (y1+y2)2-4y1y2=1,
    即m2+4x0=1, m2=1-4x0>0, x0<.
    x0≥, ≤x0<.
    ∴ d的取值范圍是.
    解法二:因為直線l:y-y1=(x-x1),
    所以令y=0,則
    x=x1-=x1-
    =x1-y+y1y2=-x0,
    B(-x0,0).
    由題意知,MBQ為等腰直角三角形,
    kPB=1,即=1,
    y1-y2=1, (y1+y2)2-4y1y2=1,
    即m2+4x0=1,
    m2=1-4x0.
    x0≥, 0
    d===
    ∴ d的取值范圍是.
    12.如圖,已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的2倍,且經(jīng)過點M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m,直線l與橢圓相交于A,B兩個不同點.
    (1)求實數(shù)m的取值范圍;
    (2)證明:直線MA,MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形.
    解析:(1)設橢圓方程為+=1(a>b>0),
    由題意得
    ∴ 橢圓方程為+=1.
    由題意可得直線l的方程為y=x+m(m≠0),
    設A(x1,y1),B(x2,y2),
    則點A,B的坐標是方程組的兩組解.
    消去y得x2+2mx+2m2-4=0.
    Δ=4m2-4(2m2-4)>0, -2
    又 m≠0, 實數(shù)m的取值范圍為(-2,0)(0,2).
    (2)證明:由題意可設直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可,
    由(1)得x2+2mx+2m2-4=0,
    x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,
    k1+k2=+
    ==0,
    直線MA,MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形