第二十一章 二次根式
教材內(nèi)容
1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；簡(jiǎn)二次根式．
2．本單元在教材中的地位和作用：
二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)．
教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．
（3）掌握 • ＝ （a≥0，b≥0）， = • ；
= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．
（4）了解簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減．
2．過(guò)程與方法
（1）先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出概念．再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)．
（2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算．
（3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn)．
（4）通過(guò)分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出簡(jiǎn)二次根式的概念．利用簡(jiǎn)二次根式的概念，來(lái)對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的．
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)
1．二次根式 （a≥0）的內(nèi)涵． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其運(yùn)用．
2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用．
3．簡(jiǎn)二次根式的概念．
4．二次根式的加減運(yùn)算．
教學(xué)難點(diǎn)
1．對(duì) （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及應(yīng)用．
2．二次根式的乘法、除法的條件限制．
3．利用簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成簡(jiǎn)二次根式．
教學(xué)關(guān)鍵
1．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．
2．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神．
單元課時(shí)劃分
本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：
21．1 二次根式 3課時(shí)
21．2 二次根式的乘法 3課時(shí)
21．3 二次根式的加減 3課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 2課時(shí)
21．1 二次根式
第一課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
二次根式的概念及其運(yùn)用
教學(xué)目標(biāo)
理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意義解答具體題目．
提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“ （a≥0）”解決具體問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題1：已知反比例函數(shù)y= ，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．
問(wèn)題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長(zhǎng)是__________．
問(wèn)題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．
老師點(diǎn)評(píng)：
問(wèn)題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x= ，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）．
問(wèn)題2：由勾股定理得AB=
問(wèn)題3：由方差的概念得S= .
二、探索新知
很明顯 、 、 ，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱(chēng)二次根式．因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)．
（學(xué)生活動(dòng)）議一議：
1．-1有算術(shù)平方根嗎？
2．0的算術(shù)平方根是多少？
3．當(dāng)a<0， 有意義嗎？
老師點(diǎn)評(píng):（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）．
分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“ ”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0．
解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 ．
例2．當(dāng)x是多少時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：由二次根式的定義可知，被開(kāi)方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意義．
解：由3x-1≥0，得：x≥
當(dāng)x≥ 時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．
三、鞏固練習(xí)
教材P練習(xí)1、2、3．
四、應(yīng)用拓展
例3．當(dāng)x是多少時(shí)， + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：要使 + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足 中的≥0和 中的x+1≠0．
解：依題意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
當(dāng)x≥- 且x≠-1時(shí)， + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．
例4(1)已知y= + +5，求 的值．(答案:2)
(2)若 + =0，求a2004+b2004的值．(答案: )
五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)）
本節(jié)課要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)．
2．要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
六、布置作業(yè)
1．教材P8復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不對(duì)
二、填空題
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．
3．負(fù)數(shù)________平方根．
三、綜合提高題
1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？
2．當(dāng)x是多少時(shí)， +x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
3．若 + 有意義，則 =_______．
4.使式子 有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè)．
A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)
5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且 +2 =b+4，求a、b的值．
第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:
一、1．A 2．D 3．B
二、1． （a≥0） 2． 3．沒(méi)有
三、1．設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則0.2x2=1，解答：x= ．
2．依題意得： ，
∴當(dāng)x>- 且x≠0時(shí)， ＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義．
3.
4．B
5．a(chǎn)=5，b=-4
21.1 二次根式(2)
第二課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
1． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
2．（ ）2=a（a≥0）．
教學(xué)目標(biāo)
理解 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（ ）2=a（a≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
通過(guò)復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（ ）2=a（a≥0）；后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)： （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（ ）2=a（a≥0）及其運(yùn)用．
2．難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類(lèi)思想的方法導(dǎo)出 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（ ）2=a（a≥0）．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）口答
1．什么叫二次根式？
2．當(dāng)a≥0時(shí)， 叫什么？當(dāng)a<0時(shí)， 有意義嗎？
老師點(diǎn)評(píng)（略）．
二、探究新知
議一議：（學(xué)生分組討論，提問(wèn)解答）
（a≥0）是一個(gè)什么數(shù)呢？
老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出
（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：
（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；
（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．
老師點(diǎn)評(píng)： 是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義， 是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（ ）2=4．
同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以
（ ）2=a（a≥0）
例1 計(jì)算
1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2
分析：我們可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的結(jié)論解題．
解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32•（ ）2=32•5=45，
（ ）2= ，（ ）2= ．
三、鞏固練習(xí)
計(jì)算下列各式的值：
（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2
四、應(yīng)用拓展
例2 計(jì)算
1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2
4．（ ）2
分析：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4題都可以運(yùn)用（ ）2=a（a≥0）的重要結(jié)論解題．
解：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+1>0
（ ）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9
例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
1． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．
六、布置作業(yè)
1．教材P8 復(fù)習(xí)鞏固2．（1）、（2） P9 7．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．?dāng)?shù)a沒(méi)有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ）．
A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=0
二、填空題
1．（- ）2=________．
2．已知 有意義，那么是一個(gè)_______數(shù)．
三、綜合提高題
1．計(jì)算
（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2
(5)
2．把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知 + =0，求xy的值．
4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:
一、1．B 2．C
二、1．3 2．非負(fù)數(shù)
三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=
（4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6
2．（1）5=（ ）2 （2）3.4=（ ）2
（3） =（ ）2 （4）x=（ ）2（x≥0）
3． xy=34=81
4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）
(3)略
21.1 二次根式(3)
第三課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
＝a（a≥0）
教學(xué)目標(biāo)
理解 =a（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
通過(guò)具體數(shù)據(jù)的解答，探究 =a（a≥0），并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問(wèn)題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)： ＝a（a≥0）．
2．難點(diǎn)：探究結(jié)論．
3．關(guān)鍵：講清a≥0時(shí)， ＝a才成立．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式；
2． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
3．( )2＝a（a≥0）．
那么，我們猜想當(dāng)a≥0時(shí)， =a是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題．
二、探究新知
（學(xué)生活動(dòng)）填空：
=_______； =_______； =______；
=________； =________； =_______．
（老師點(diǎn)評(píng)）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：
=2； =0.01； = ； = ； =0； = ．
因此，一般地： =a（a≥0）
例1 化簡(jiǎn)
（1） （2） （3） （4）
分析：因?yàn)椋?）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可運(yùn)用 =a（a≥0）去化簡(jiǎn)．
解：（1） = =3 （2） = =4
（3） = =5 （4） = =3
三、鞏固練習(xí)
教材P7練習(xí)2．
四、應(yīng)用拓展
例2 填空：當(dāng)a≥0時(shí)， =_____；當(dāng)a<0時(shí)， =_______，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問(wèn)題．
（1）若 =a，則a可以是什么數(shù)？
（2）若 =-a，則a可以是什么數(shù)？
（3） >a，則a可以是什么數(shù)？
分析：∵ =a（a≥0），∴要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（ ）2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)a≤0時(shí)， = ，那么-a≥0．
（1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知 =│a│，而│a│要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0．
解：（1）因?yàn)?=a，所以a≥0；
（2）因?yàn)?=-a，所以a≤0；
（3）因?yàn)楫?dāng)a≥0時(shí) =a，要使 >a，即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)， =-a，要使 >a，即使-a>a，a<0綜上，a<0
例3當(dāng)x>2，化簡(jiǎn) - ．
分析：(略)
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握： =a（a≥0）及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)， ＝－a的應(yīng)用拓展．
六、布置作業(yè)
1．教材P8習(xí)題21．1 3、4、6、8．
2．選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1． 的值是（ ）．
A．0 B． C．4 D．以上都不對(duì)
2．a(chǎn)≥0時(shí)， 、 、- ，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）．
A． = ≥- B． > >-
C． < <- D．- > =
二、填空題
1．- =________．
2．若 是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的小值是________．
三、綜合提高題
1．先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+ 的值，甲乙兩人的解答如下：
甲的解答為：原式=a+ =a+（1-a）=1；
乙的解答為：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17．
兩種解答中，_______的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________．
2．若│1995-a│+ =a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值）
3. 若-3≤x≤2時(shí)，試化簡(jiǎn)│x-2│+ + 。
答案:
一、1．C 2．A
二、1．-0．02 2．5
三、1．甲 甲沒(méi)有先判定1-a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)
2．由已知得a-2000≥0，a≥2000
所以a-1995+ =a， =1995，a-2000=19952，
所以a-19952=2000．
3. 10-x
21．2 二次根式的乘除
第一課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
• ＝ （a≥0，b≥0），反之 = • （a≥0，b≥0）及其運(yùn)用．
教學(xué)目標(biāo)
理解 • ＝ （a≥0，b≥0）， = • （a≥0，b≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)
由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出 • ＝ （a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆向思維，得出 = • （a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
重點(diǎn)： • ＝ （a≥0，b≥0）， = • （a≥0，b≥0）及它們的運(yùn)用．
難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出 • ＝ （a≥0，b≥0）．
關(guān)鍵：要講清 （a<0,b<0）= ，如 = 或 = = × ．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題．
1．填空
（1） × =_______， =______；
（2） × =_______， =________．
（3） × =________， =_______．
參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝”填空．
× _____ ， × _____ ， × ________
2．利用計(jì)算器計(jì)算填空
（1） × ______ ，（2） × ______ ，
（3） × ______ ，（4） × ______ ，
（5） × ______ ．
老師點(diǎn)評(píng)（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤）
二、探索新知
（學(xué)生活動(dòng)）讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律．
老師點(diǎn)評(píng)：（1）被開(kāi)方數(shù)都是正數(shù)；
（2）兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開(kāi)方數(shù)．
一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為
• ＝ ．（a≥0，b≥0）
反過(guò)來(lái): = • （a≥0，b≥0）
例1．計(jì)算
（1） × （2） × （3） × （4） ×
分析：直接利用 • ＝ （a≥0，b≥0）計(jì)算即可．
解：（1） × =
（2） × = =
（3） × = =9
（4） × = =
例2 化簡(jiǎn)
（1） （2） （3）
（4） （5）
分析：利用 = • （a≥0，b≥0）直接化簡(jiǎn)即可．
解：（1） = × =3×4=12
（2） = × =4×9=36
（3） = × =9×10=90
（4） = × = × × =3xy
（5） = = × =3
三、鞏固練習(xí)
（1）計(jì)算（學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng)）
① × ②3 ×2 ③ •
(2) 化簡(jiǎn): ; ; ; ;
教材P11練習(xí)全部
四、應(yīng)用拓展
例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
解：（1）不正確．
改正： = ＝ × =2×3=6
（2）不正確．
改正： × = × = = = ＝4
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：（1） • ＝ =（a≥0，b≥0）， = • （a≥0，b≥0）及其運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
1．課本P15 1，4，5，6．（1）（2）．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．若直角三角形兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為 cm和 cm，那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是（ ）．
A．3 cm B．3 cm C．9cm D．27cm
2．化簡(jiǎn)a 的結(jié)果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式 成立的條件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4 ×2 =8 B．5 ×4 =20
C．4 ×3 =7 D．5 ×4 =20
二、填空題
1． =_______．
2．自由落體的公式為S= gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時(shí)間是_________．
三、綜合提高題
1．一個(gè)底面為30cm×30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？
2．探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．
（1）2 =
驗(yàn)證：2 = × = =
= =
（2）3 =
驗(yàn)證：3 = × = =
= =
同理可得：4
5 ，……
通過(guò)上述探究你能猜測(cè)出： a =_______（a>0）,并驗(yàn)證你的結(jié)論．
答案:
一、1．B 2．C 3.A 4.D
二、1．13 2．12s
三、1．設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長(zhǎng)為x，
則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，
x= × =30 ．
2． a =
驗(yàn)證：a =
= = = .
21．2 二次根式的乘除
第二課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
= （a≥0，b>0），反過(guò)來(lái) = （a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
教學(xué)目標(biāo)
理解 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算．
利用具體數(shù)據(jù)，通過(guò)學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫(xiě)出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：理解 = （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：
1．寫(xiě)出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式．
2．填空
（1） =________， =_________；
（2） =________， =________；
（3） =________， =_________；
（4） =________， =________．
規(guī)律： ______ ； ______ ； _______ ；
_______ ．
3．利用計(jì)算器計(jì)算填空:
（1） =_________，（2） =_________，（3） =______，（4） =________．
規(guī)律： ______ ； _______ ； _____ ； _____ 。
每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果．
（老師點(diǎn)評(píng)）
二、探索新知
剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到：
一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：
= （a≥0，b>0），
反過(guò)來(lái)， = （a≥0，b>0）
下面我們利用這個(gè)規(guī)定來(lái)計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目．
例1．計(jì)算：（1） （2） （3） （4）
分析：上面4小題利用 = （a≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1） = = =2
（2） = = ×=2
（3） = = =2
（4） = = =2
例2．化簡(jiǎn)：
（1） （2） （3） （4）
分析：直接利用 = （a≥0，b>0）就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的．
解：（1） =
（2） =
（3） =
（4） =
三、鞏固練習(xí)
教材P14 練習(xí)1．
四、應(yīng)用拓展
例3．已知 ，且x為偶數(shù)，求（1+x） 的值．
分析：式子 = ，只有a≥0，b>0時(shí)才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 解：由題意得 ，即
∴6 ∵x為偶數(shù)
∴x=8
∴原式=（1+x）
=（1+x）
=（1+x） =
∴當(dāng)x=8時(shí)，原式的值= =6．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課要掌握 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及其運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
1．教材P15 習(xí)題21．2 2、7、8、9．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．計(jì)算 的結(jié)果是（ ）．
A． B． C． D．
2．閱讀下列運(yùn)算過(guò)程：
，
數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過(guò)程稱(chēng)作“分母有理化”，那么，化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
二、填空題
1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么 的后結(jié)果是_______．
三、綜合提高題
1．有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為 ：1，現(xiàn)用直徑為3 cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的大截面積是多少？
2．計(jì)算
（1） •（- ）÷ （m>0，n>0）
（2）-3 ÷（ ）× （a>0）
答案:
一、1．A 2．C
二、1．(1) ;(2) ;(3)
2．
三、1．設(shè)：矩形房梁的寬為x（cm），則長(zhǎng)為 xcm，依題意，
得：（ x）2+x2=（3 ）2，
4x2=9×15，x= （cm），
x•x= x2= （cm2）．
2．（1）原式＝- ÷ =-
=- =-
（2）原式=-2 =-2 =- a
21.2 二次根式的乘除(3)
第三課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
簡(jiǎn)二次根式的概念及利用簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．
教學(xué)目標(biāo)
理解簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是簡(jiǎn)二次根式的化成簡(jiǎn)二次根式．
通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來(lái)提煉出簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)后結(jié)果是否滿足簡(jiǎn)二次根式的要求．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用．
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是簡(jiǎn)二次根式．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書(shū)）
1．計(jì)算（1） ，（2） ，（3）
老師點(diǎn)評(píng)： = ， = ， =
2．現(xiàn)在我們來(lái)看本章引言中的問(wèn)題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________．
它們的比是 ．
二、探索新知
觀察上面計(jì)算題1的后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)：
1．被開(kāi)方數(shù)不含分母；
2．被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做簡(jiǎn)二次根式．
那么上題中的比是否是簡(jiǎn)二次根式呢？如果不是，把它們化成簡(jiǎn)二次根式．
學(xué)生分組討論，推薦3～4個(gè)人到黑板上板書(shū)．
老師點(diǎn)評(píng)：不是．
= .
例1．(1) ; (2) ; (3)
例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長(zhǎng)．
解：因?yàn)锳B2=AC2+BC2
所以AB= = =6.5（cm）
因此AB的長(zhǎng)為6.5cm．
三、鞏固練習(xí)
教材P14 練習(xí)2、3
四、應(yīng)用拓展
例3．觀察下列各式，通過(guò)分母有理數(shù)，把不是簡(jiǎn)二次根式的化成簡(jiǎn)二次根式：
= = -1，
= = - ，
同理可得： = - ，……
從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算
（ + + +…… ）（ +1）的值．
分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
解：原式=（ -1+ - + - +……+ - ）×（ +1）
=（ -1）（ +1）
=2002-1=2001
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
1．教材P15 習(xí)題21．2 3、7、10．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．如果 （y>0）是二次根式，那么，化為簡(jiǎn)二次根式是（ ）．
A． （y>0） B． （y>0） C． （y>0） D．以上都不對(duì)
2．把（a-1） 中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（ ）．
A． B． C．- D．-
3．在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（ ）
A． =3 B． =±
C． =a2 D． =x
4．化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
二、填空題
1．化簡(jiǎn) =_________．（x≥0）
2．a(chǎn) 化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_________．
三、綜合提高題
1．已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)： -a ，閱讀下面的解答過(guò)程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程：
解： -a =a -a• =（a-1）
教材內(nèi)容
1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；簡(jiǎn)二次根式．
2．本單元在教材中的地位和作用：
二次根式是在學(xué)完了八年級(jí)下冊(cè)第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)．
教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．
（3）掌握 • ＝ （a≥0，b≥0）， = • ；
= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．
（4）了解簡(jiǎn)二次根式的概念并靈活運(yùn)用它們對(duì)二次根式進(jìn)行加減．
2．過(guò)程與方法
（1）先提出問(wèn)題，讓學(xué)生探討、分析問(wèn)題，師生共同歸納，得出概念．再對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析，得出幾個(gè)重要結(jié)論，并運(yùn)用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計(jì)算和化簡(jiǎn)．
（2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運(yùn)用規(guī)定進(jìn)行計(jì)算．
（3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運(yùn)用它進(jìn)行化簡(jiǎn)．
（4）通過(guò)分析前面的計(jì)算和化簡(jiǎn)結(jié)果，抓住它們的共同特點(diǎn)，給出簡(jiǎn)二次根式的概念．利用簡(jiǎn)二次根式的概念，來(lái)對(duì)相同的二次根式進(jìn)行合并，達(dá)到對(duì)二次根式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的目的．
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過(guò)探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力．
教學(xué)重點(diǎn)
1．二次根式 （a≥0）的內(nèi)涵． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其運(yùn)用．
2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運(yùn)用．
3．簡(jiǎn)二次根式的概念．
4．二次根式的加減運(yùn)算．
教學(xué)難點(diǎn)
1．對(duì) （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)的理解；對(duì)等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及應(yīng)用．
2．二次根式的乘法、除法的條件限制．
3．利用簡(jiǎn)二次根式的概念把一個(gè)二次根式化成簡(jiǎn)二次根式．
教學(xué)關(guān)鍵
1．潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．
2．培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算的能力，培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神．
單元課時(shí)劃分
本單元教學(xué)時(shí)間約需11課時(shí)，具體分配如下：
21．1 二次根式 3課時(shí)
21．2 二次根式的乘法 3課時(shí)
21．3 二次根式的加減 3課時(shí)
教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 2課時(shí)
21．1 二次根式
第一課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
二次根式的概念及其運(yùn)用
教學(xué)目標(biāo)
理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意義解答具體題目．
提出問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：利用“ （a≥0）”解決具體問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問(wèn)題：
問(wèn)題1：已知反比例函數(shù)y= ，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．
問(wèn)題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長(zhǎng)是__________．
問(wèn)題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．
老師點(diǎn)評(píng)：
問(wèn)題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即x=y，所以x2=3．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以x= ，所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)（ ， ）．
問(wèn)題2：由勾股定理得AB=
問(wèn)題3：由方差的概念得S= .
二、探索新知
很明顯 、 、 ，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱(chēng)二次根式．因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)．
（學(xué)生活動(dòng)）議一議：
1．-1有算術(shù)平方根嗎？
2．0的算術(shù)平方根是多少？
3．當(dāng)a<0， 有意義嗎？
老師點(diǎn)評(píng):（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）．
分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“ ”；第二，被開(kāi)方數(shù)是正數(shù)或0．
解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 ．
例2．當(dāng)x是多少時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：由二次根式的定義可知，被開(kāi)方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意義．
解：由3x-1≥0，得：x≥
當(dāng)x≥ 時(shí)， 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．
三、鞏固練習(xí)
教材P練習(xí)1、2、3．
四、應(yīng)用拓展
例3．當(dāng)x是多少時(shí)， + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：要使 + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足 中的≥0和 中的x+1≠0．
解：依題意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
當(dāng)x≥- 且x≠-1時(shí)， + 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．
例4(1)已知y= + +5，求 的值．(答案:2)
(2)若 + =0，求a2004+b2004的值．(答案: )
五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動(dòng)，老師點(diǎn)評(píng)）
本節(jié)課要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱(chēng)為二次根號(hào)．
2．要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
六、布置作業(yè)
1．教材P8復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不對(duì)
二、填空題
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．
3．負(fù)數(shù)________平方根．
三、綜合提高題
1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？
2．當(dāng)x是多少時(shí)， +x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？
3．若 + 有意義，則 =_______．
4.使式子 有意義的未知數(shù)x有（ ）個(gè)．
A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)
5.已知a、b為實(shí)數(shù)，且 +2 =b+4，求a、b的值．
第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:
一、1．A 2．D 3．B
二、1． （a≥0） 2． 3．沒(méi)有
三、1．設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則0.2x2=1，解答：x= ．
2．依題意得： ，
∴當(dāng)x>- 且x≠0時(shí)， ＋x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有意義．
3.
4．B
5．a(chǎn)=5，b=-4
21.1 二次根式(2)
第二課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
1． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
2．（ ）2=a（a≥0）．
教學(xué)目標(biāo)
理解 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)和（ ）2=a（a≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
通過(guò)復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（ ）2=a（a≥0）；后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)： （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；（ ）2=a（a≥0）及其運(yùn)用．
2．難點(diǎn)、關(guān)鍵：用分類(lèi)思想的方法導(dǎo)出 （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出（ ）2=a（a≥0）．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）口答
1．什么叫二次根式？
2．當(dāng)a≥0時(shí)， 叫什么？當(dāng)a<0時(shí)， 有意義嗎？
老師點(diǎn)評(píng)（略）．
二、探究新知
議一議：（學(xué)生分組討論，提問(wèn)解答）
（a≥0）是一個(gè)什么數(shù)呢？
老師點(diǎn)評(píng)：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出
（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)．
做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：
（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；
（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．
老師點(diǎn)評(píng)： 是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義， 是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（ ）2=4．
同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以
（ ）2=a（a≥0）
例1 計(jì)算
1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2
分析：我們可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的結(jié)論解題．
解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32•（ ）2=32•5=45，
（ ）2= ，（ ）2= ．
三、鞏固練習(xí)
計(jì)算下列各式的值：
（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2
四、應(yīng)用拓展
例2 計(jì)算
1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2
4．（ ）2
分析：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4題都可以運(yùn)用（ ）2=a（a≥0）的重要結(jié)論解題．
解：（1）因?yàn)閤≥0，所以x+1>0
（ ）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9
例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：
1． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．
六、布置作業(yè)
1．教材P8 復(fù)習(xí)鞏固2．（1）、（2） P9 7．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．?dāng)?shù)a沒(méi)有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ）．
A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=0
二、填空題
1．（- ）2=________．
2．已知 有意義，那么是一個(gè)_______數(shù)．
三、綜合提高題
1．計(jì)算
（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2
(5)
2．把下列非負(fù)數(shù)寫(xiě)成一個(gè)數(shù)的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知 + =0，求xy的值．
4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)答案:
一、1．B 2．C
二、1．3 2．非負(fù)數(shù)
三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=
（4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6
2．（1）5=（ ）2 （2）3.4=（ ）2
（3） =（ ）2 （4）x=（ ）2（x≥0）
3． xy=34=81
4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）
(3)略
21.1 二次根式(3)
第三課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
＝a（a≥0）
教學(xué)目標(biāo)
理解 =a（a≥0）并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
通過(guò)具體數(shù)據(jù)的解答，探究 =a（a≥0），并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問(wèn)題．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)： ＝a（a≥0）．
2．難點(diǎn)：探究結(jié)論．
3．關(guān)鍵：講清a≥0時(shí)， ＝a才成立．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式；
2． （a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；
3．( )2＝a（a≥0）．
那么，我們猜想當(dāng)a≥0時(shí)， =a是否也成立呢？下面我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題．
二、探究新知
（學(xué)生活動(dòng)）填空：
=_______； =_______； =______；
=________； =________； =_______．
（老師點(diǎn)評(píng)）：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：
=2； =0.01； = ； = ； =0； = ．
因此，一般地： =a（a≥0）
例1 化簡(jiǎn)
（1） （2） （3） （4）
分析：因?yàn)椋?）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可運(yùn)用 =a（a≥0）去化簡(jiǎn)．
解：（1） = =3 （2） = =4
（3） = =5 （4） = =3
三、鞏固練習(xí)
教材P7練習(xí)2．
四、應(yīng)用拓展
例2 填空：當(dāng)a≥0時(shí)， =_____；當(dāng)a<0時(shí)， =_______，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問(wèn)題．
（1）若 =a，則a可以是什么數(shù)？
（2）若 =-a，則a可以是什么數(shù)？
（3） >a，則a可以是什么數(shù)？
分析：∵ =a（a≥0），∴要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（ ）2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)椋?dāng)a≤0時(shí)， = ，那么-a≥0．
（1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知 =│a│，而│a│要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？a<0．
解：（1）因?yàn)?=a，所以a≥0；
（2）因?yàn)?=-a，所以a≤0；
（3）因?yàn)楫?dāng)a≥0時(shí) =a，要使 >a，即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時(shí)， =-a，要使 >a，即使-a>a，a<0綜上，a<0
例3當(dāng)x>2，化簡(jiǎn) - ．
分析：(略)
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握： =a（a≥0）及其運(yùn)用，同時(shí)理解當(dāng)a<0時(shí)， ＝－a的應(yīng)用拓展．
六、布置作業(yè)
1．教材P8習(xí)題21．1 3、4、6、8．
2．選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1． 的值是（ ）．
A．0 B． C．4 D．以上都不對(duì)
2．a(chǎn)≥0時(shí)， 、 、- ，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）．
A． = ≥- B． > >-
C． < <- D．- > =
二、填空題
1．- =________．
2．若 是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的小值是________．
三、綜合提高題
1．先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+ 的值，甲乙兩人的解答如下：
甲的解答為：原式=a+ =a+（1-a）=1；
乙的解答為：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17．
兩種解答中，_______的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________．
2．若│1995-a│+ =a，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對(duì)值）
3. 若-3≤x≤2時(shí)，試化簡(jiǎn)│x-2│+ + 。
答案:
一、1．C 2．A
二、1．-0．02 2．5
三、1．甲 甲沒(méi)有先判定1-a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)
2．由已知得a-2000≥0，a≥2000
所以a-1995+ =a， =1995，a-2000=19952，
所以a-19952=2000．
3. 10-x
21．2 二次根式的乘除
第一課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
• ＝ （a≥0，b≥0），反之 = • （a≥0，b≥0）及其運(yùn)用．
教學(xué)目標(biāo)
理解 • ＝ （a≥0，b≥0）， = • （a≥0，b≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)
由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出 • ＝ （a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算；利用逆向思維，得出 = • （a≥0，b≥0）并運(yùn)用它進(jìn)行解題和化簡(jiǎn)．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
重點(diǎn)： • ＝ （a≥0，b≥0）， = • （a≥0，b≥0）及它們的運(yùn)用．
難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出 • ＝ （a≥0，b≥0）．
關(guān)鍵：要講清 （a<0,b<0）= ，如 = 或 = = × ．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題．
1．填空
（1） × =_______， =______；
（2） × =_______， =________．
（3） × =________， =_______．
參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝”填空．
× _____ ， × _____ ， × ________
2．利用計(jì)算器計(jì)算填空
（1） × ______ ，（2） × ______ ，
（3） × ______ ，（4） × ______ ，
（5） × ______ ．
老師點(diǎn)評(píng)（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤）
二、探索新知
（學(xué)生活動(dòng)）讓3、4個(gè)同學(xué)上臺(tái)總結(jié)規(guī)律．
老師點(diǎn)評(píng)：（1）被開(kāi)方數(shù)都是正數(shù)；
（2）兩個(gè)二次根式的乘除等于一個(gè)二次根式，并且把這兩個(gè)二次根式中的數(shù)相乘，作為等號(hào)另一邊二次根式中的被開(kāi)方數(shù)．
一般地，對(duì)二次根式的乘法規(guī)定為
• ＝ ．（a≥0，b≥0）
反過(guò)來(lái): = • （a≥0，b≥0）
例1．計(jì)算
（1） × （2） × （3） × （4） ×
分析：直接利用 • ＝ （a≥0，b≥0）計(jì)算即可．
解：（1） × =
（2） × = =
（3） × = =9
（4） × = =
例2 化簡(jiǎn)
（1） （2） （3）
（4） （5）
分析：利用 = • （a≥0，b≥0）直接化簡(jiǎn)即可．
解：（1） = × =3×4=12
（2） = × =4×9=36
（3） = × =9×10=90
（4） = × = × × =3xy
（5） = = × =3
三、鞏固練習(xí)
（1）計(jì)算（學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng)）
① × ②3 ×2 ③ •
(2) 化簡(jiǎn): ; ; ; ;
教材P11練習(xí)全部
四、應(yīng)用拓展
例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：
（1）
（2） × =4× × =4 × =4 =8
解：（1）不正確．
改正： = ＝ × =2×3=6
（2）不正確．
改正： × = × = = = ＝4
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：（1） • ＝ =（a≥0，b≥0）， = • （a≥0，b≥0）及其運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
1．課本P15 1，4，5，6．（1）（2）．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．若直角三角形兩條直角邊的邊長(zhǎng)分別為 cm和 cm，那么此直角三角形斜邊長(zhǎng)是（ ）．
A．3 cm B．3 cm C．9cm D．27cm
2．化簡(jiǎn)a 的結(jié)果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式 成立的條件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4 ×2 =8 B．5 ×4 =20
C．4 ×3 =7 D．5 ×4 =20
二、填空題
1． =_______．
2．自由落體的公式為S= gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時(shí)間是_________．
三、綜合提高題
1．一個(gè)底面為30cm×30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？
2．探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．
（1）2 =
驗(yàn)證：2 = × = =
= =
（2）3 =
驗(yàn)證：3 = × = =
= =
同理可得：4
5 ，……
通過(guò)上述探究你能猜測(cè)出： a =_______（a>0）,并驗(yàn)證你的結(jié)論．
答案:
一、1．B 2．C 3.A 4.D
二、1．13 2．12s
三、1．設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長(zhǎng)為x，
則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，
x= × =30 ．
2． a =
驗(yàn)證：a =
= = = .
21．2 二次根式的乘除
第二課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
= （a≥0，b>0），反過(guò)來(lái) = （a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
教學(xué)目標(biāo)
理解 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算．
利用具體數(shù)據(jù)，通過(guò)學(xué)生練習(xí)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫(xiě)出逆向等式及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
教學(xué)重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：理解 = （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題：
1．寫(xiě)出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式．
2．填空
（1） =________， =_________；
（2） =________， =________；
（3） =________， =_________；
（4） =________， =________．
規(guī)律： ______ ； ______ ； _______ ；
_______ ．
3．利用計(jì)算器計(jì)算填空:
（1） =_________，（2） =_________，（3） =______，（4） =________．
規(guī)律： ______ ； _______ ； _____ ； _____ 。
每組推薦一名學(xué)生上臺(tái)闡述運(yùn)算結(jié)果．
（老師點(diǎn)評(píng)）
二、探索新知
剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺(tái)的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我們可以得到：
一般地，對(duì)二次根式的除法規(guī)定：
= （a≥0，b>0），
反過(guò)來(lái)， = （a≥0，b>0）
下面我們利用這個(gè)規(guī)定來(lái)計(jì)算和化簡(jiǎn)一些題目．
例1．計(jì)算：（1） （2） （3） （4）
分析：上面4小題利用 = （a≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1） = = =2
（2） = = ×=2
（3） = = =2
（4） = = =2
例2．化簡(jiǎn)：
（1） （2） （3） （4）
分析：直接利用 = （a≥0，b>0）就可以達(dá)到化簡(jiǎn)之目的．
解：（1） =
（2） =
（3） =
（4） =
三、鞏固練習(xí)
教材P14 練習(xí)1．
四、應(yīng)用拓展
例3．已知 ，且x為偶數(shù)，求（1+x） 的值．
分析：式子 = ，只有a≥0，b>0時(shí)才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6
∴6
∴x=8
∴原式=（1+x）
=（1+x）
=（1+x） =
∴當(dāng)x=8時(shí)，原式的值= =6．
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課要掌握 = （a≥0，b>0）和 = （a≥0，b>0）及其運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
1．教材P15 習(xí)題21．2 2、7、8、9．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．計(jì)算 的結(jié)果是（ ）．
A． B． C． D．
2．閱讀下列運(yùn)算過(guò)程：
，
數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號(hào)去掉的過(guò)程稱(chēng)作“分母有理化”，那么，化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
二、填空題
1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么 的后結(jié)果是_______．
三、綜合提高題
1．有一種房梁的截面積是一個(gè)矩形，且矩形的長(zhǎng)與寬之比為 ：1，現(xiàn)用直徑為3 cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的大截面積是多少？
2．計(jì)算
（1） •（- ）÷ （m>0，n>0）
（2）-3 ÷（ ）× （a>0）
答案:
一、1．A 2．C
二、1．(1) ;(2) ;(3)
2．
三、1．設(shè)：矩形房梁的寬為x（cm），則長(zhǎng)為 xcm，依題意，
得：（ x）2+x2=（3 ）2，
4x2=9×15，x= （cm），
x•x= x2= （cm2）．
2．（1）原式＝- ÷ =-
=- =-
（2）原式=-2 =-2 =- a
21.2 二次根式的乘除(3)
第三課時(shí)
教學(xué)內(nèi)容
簡(jiǎn)二次根式的概念及利用簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．
教學(xué)目標(biāo)
理解簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是簡(jiǎn)二次根式的化成簡(jiǎn)二次根式．
通過(guò)計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果來(lái)提煉出簡(jiǎn)二次根式的概念，并根據(jù)它的特點(diǎn)來(lái)檢驗(yàn)后結(jié)果是否滿足簡(jiǎn)二次根式的要求．
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1．重點(diǎn)：簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用．
2．難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是簡(jiǎn)二次根式．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入
（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題（請(qǐng)三位同學(xué)上臺(tái)板書(shū)）
1．計(jì)算（1） ，（2） ，（3）
老師點(diǎn)評(píng)： = ， = ， =
2．現(xiàn)在我們來(lái)看本章引言中的問(wèn)題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_________．
它們的比是 ．
二、探索新知
觀察上面計(jì)算題1的后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)：
1．被開(kāi)方數(shù)不含分母；
2．被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做簡(jiǎn)二次根式．
那么上題中的比是否是簡(jiǎn)二次根式呢？如果不是，把它們化成簡(jiǎn)二次根式．
學(xué)生分組討論，推薦3～4個(gè)人到黑板上板書(shū)．
老師點(diǎn)評(píng)：不是．
= .
例1．(1) ; (2) ; (3)
例2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長(zhǎng)．
解：因?yàn)锳B2=AC2+BC2
所以AB= = =6.5（cm）
因此AB的長(zhǎng)為6.5cm．
三、鞏固練習(xí)
教材P14 練習(xí)2、3
四、應(yīng)用拓展
例3．觀察下列各式，通過(guò)分母有理數(shù)，把不是簡(jiǎn)二次根式的化成簡(jiǎn)二次根式：
= = -1，
= = - ，
同理可得： = - ，……
從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算
（ + + +…… ）（ +1）的值．
分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．
解：原式=（ -1+ - + - +……+ - ）×（ +1）
=（ -1）（ +1）
=2002-1=2001
五、歸納小結(jié)
本節(jié)課應(yīng)掌握：簡(jiǎn)二次根式的概念及其運(yùn)用．
六、布置作業(yè)
1．教材P15 習(xí)題21．2 3、7、10．
2．選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)．
3.課后作業(yè):《同步訓(xùn)練》
第三課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)
一、選擇題
1．如果 （y>0）是二次根式，那么，化為簡(jiǎn)二次根式是（ ）．
A． （y>0） B． （y>0） C． （y>0） D．以上都不對(duì)
2．把（a-1） 中根號(hào)外的（a-1）移入根號(hào)內(nèi)得（ ）．
A． B． C．- D．-
3．在下列各式中，化簡(jiǎn)正確的是（ ）
A． =3 B． =±
C． =a2 D． =x
4．化簡(jiǎn) 的結(jié)果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
二、填空題
1．化簡(jiǎn) =_________．（x≥0）
2．a(chǎn) 化簡(jiǎn)二次根式號(hào)后的結(jié)果是_________．
三、綜合提高題
1．已知a為實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)： -a ，閱讀下面的解答過(guò)程，請(qǐng)判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程：
解： -a =a -a• =（a-1）