一個(gè)房間中有100盞燈，用自然數(shù)1，2，…，100編號，每盞燈各有一個(gè)開關(guān)。開始時(shí)，所有的燈都不亮。有100個(gè)人依次進(jìn)入房間，第1個(gè)人進(jìn)入房間后，將編號為1的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開;第2個(gè)人進(jìn)入房間后，將編號為2的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開;如此下去，直到第100個(gè)人進(jìn)入房間，將編號為100的倍數(shù)的燈的開關(guān)按一下，然后離開。問：第100個(gè)人離開房間后，房間里哪些燈還亮著?
答案與解析：
對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當(dāng)它的開關(guān)被按奇數(shù)次時(shí)，燈是開著的;當(dāng)它的開關(guān)被按偶數(shù)次時(shí)，燈是關(guān)著的;
根據(jù)題意可知，當(dāng)?shù)?00個(gè)人離開房間后，一盞燈的開關(guān)被按的次數(shù)，恰等于這盞燈的編號的因數(shù)的個(gè)數(shù);
要求哪些燈還亮著，就是問哪些燈的編號的因數(shù)有奇數(shù)個(gè)。顯然完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)因數(shù)。所以平方數(shù)編號的燈是亮著的。
而五年級奧數(shù)題及答案1.jpg內(nèi)的完全平方數(shù)有五年級奧數(shù)題及答案2.jpg，所以當(dāng)?shù)?00個(gè)人離開房間后，房間里還亮著的燈的編號是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。
答案與解析：
對于任何一盞燈，由于它原來不亮，那么，當(dāng)它的開關(guān)被按奇數(shù)次時(shí)，燈是開著的;當(dāng)它的開關(guān)被按偶數(shù)次時(shí)，燈是關(guān)著的;
根據(jù)題意可知，當(dāng)?shù)?00個(gè)人離開房間后，一盞燈的開關(guān)被按的次數(shù)，恰等于這盞燈的編號的因數(shù)的個(gè)數(shù);
要求哪些燈還亮著，就是問哪些燈的編號的因數(shù)有奇數(shù)個(gè)。顯然完全平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)因數(shù)。所以平方數(shù)編號的燈是亮著的。
而五年級奧數(shù)題及答案1.jpg內(nèi)的完全平方數(shù)有五年級奧數(shù)題及答案2.jpg，所以當(dāng)?shù)?00個(gè)人離開房間后，房間里還亮著的燈的編號是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。