1．解：∵PM⊥OA,PN⊥OB,∴∠OMP=∠ONP=90°．
在Rt△OPM和Rt△ONP中，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.
∴PM=PN（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴OP是∠AOB的平分線.
2．證明：∵AD是∠BAC的平分線，且DE,DF分別垂直于AB ,AC，垂足分別為E，F(xiàn)，∴DE=DF．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）
3．證明：∵CD⊥AB, BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO= 90°.
∵∠DOB=∠EOC,OB=OC,
∴△DOB≌△EOC
∴OD= OE.
∴AO是∠BAC的平分線．
∴∠1=∠2．
4．證明：如圖12 -3-26所示，作DM⊥PE于M,DN⊥PF于N，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2．
又：PE//AB，PF∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∴∠3 =∠4．
∴PD是∠EPF的平分線，
又∵DM⊥PE，DN⊥PF，∴DM=DN，即點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．
5．證明：∵OC是∠ AOB的平分線，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，∠OPD=∠OPE．
∴∠DPF=∠EPF．
在△DPF和△EPF中，
∴△DPF≌△EPF(SAS)．
∴DF=EF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．
6．解：AD與EF垂直．
證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF.
在△GDE和△GDF中，
∴△GDF≌△GDF(SAS).
∴∠DGE=∠DGF.又∵∠DGE+∠DGF=180°，∴∠DGE=∠DGF=90°，∴AD⊥EF.
7，證明：過(guò)點(diǎn)E作EF上AD于點(diǎn)F．如圖12-3-27所示，
∵∠B=∠C= 90°,
∴EC⊥CD,EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC,
∴EF=EC.
又∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=EB．
∴EF=EB．
∵EF⊥AD,EB⊥AB,
∴AE是∠DAB的平分線，
在Rt△OPM和Rt△ONP中，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.
∴PM=PN（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴OP是∠AOB的平分線.
2．證明：∵AD是∠BAC的平分線，且DE,DF分別垂直于AB ,AC，垂足分別為E，F(xiàn)，∴DE=DF．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴EB=FC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）
3．證明：∵CD⊥AB, BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO= 90°.
∵∠DOB=∠EOC,OB=OC,
∴△DOB≌△EOC
∴OD= OE.
∴AO是∠BAC的平分線．
∴∠1=∠2．
4．證明：如圖12 -3-26所示，作DM⊥PE于M,DN⊥PF于N，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2．
又：PE//AB，PF∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∴∠3 =∠4．
∴PD是∠EPF的平分線，
又∵DM⊥PE，DN⊥PF，∴DM=DN，即點(diǎn)D到PE和PF的距離相等．
5．證明：∵OC是∠ AOB的平分線，且PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，∠OPD=∠OPE．
∴∠DPF=∠EPF．
在△DPF和△EPF中，
∴△DPF≌△EPF(SAS)．
∴DF=EF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．
6．解：AD與EF垂直．
證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF.
在△GDE和△GDF中，
∴△GDF≌△GDF(SAS).
∴∠DGE=∠DGF.又∵∠DGE+∠DGF=180°，∴∠DGE=∠DGF=90°，∴AD⊥EF.
7，證明：過(guò)點(diǎn)E作EF上AD于點(diǎn)F．如圖12-3-27所示，
∵∠B=∠C= 90°,
∴EC⊥CD,EB⊥AB.
∵DE平分∠ADC,
∴EF=EC.
又∵E是BC的中點(diǎn)，
∴EC=EB．
∴EF=EB．
∵EF⊥AD,EB⊥AB,
∴AE是∠DAB的平分線，