不等式單元知識總結(jié)
一、不等式的性質(zhì)
1．兩個實數(shù)a與b之間的大小關(guān)系
(1)a－b＞0a＞b；
(2)a－b=0a=b；
(3)a－b＜0a＜b．
a(4)b＞1a＞b；
若 a、bR，則(5)a
b=1a=b；
(6)a
b＜1a＜b．
2．不等式的性質(zhì)
(1)a＞bb＜a(對稱性)
(2)a＞b
b＞c a＞c(傳遞性
)
(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法單調(diào)性)
a＞b
c＞0 ac＞bc
(4) (乘法單調(diào)性)
a＞b
c＜0 ac＜bc
(5)a＋b＞ca＞c－b(移項法則)
(6)a＞b
c＞da＋c＞b＋d(同向不等式可加)
(7)a＞b
c＜da－c＞b－
d(異向不等式可減)
(8)a＞b＞0
c＞d＞0ac＞bd(同向正數(shù)不等式可乘)(9)a＞b＞0
0＜c＜dab
c＞d(異向正數(shù)不等式可除)
(10)a＞b＞0nn
nNa＞b(正數(shù)不等式可乘方)
(11)a＞b＞0
N a＞nb(正數(shù)不等式可開方)
(12)a＞b＞01
a＜1
b(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù))
3．絕對值不等式的性質(zhì)
(1)|a|≥a；|a|=a (a≥0)，
－a (a＜0)．
(2)如果a＞0，那么
|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；
|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．
(3)|a²b|＝|a|²|b|．
(4)|a
b|＝|a|
|b| (b≠0)．
(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．
二、不等式的證明
1．不等式證明的依據(jù)
(1)實數(shù)的性質(zhì)：a、b同號ab＞0；a、b異號ab＜0
a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b
(2)不等式的性質(zhì)(略)
(3)重要不等式：①|(zhì)a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)
②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)
③ab≥、bR
2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)
2．不等式的證明方法
(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法．
用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號．
(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法．
(3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．
證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法等．
三、解不等式
1．解不等式問題的分類
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解無理不等式；
④解指數(shù)不等式；
⑤解對數(shù)不等式；
⑥解帶絕對值的不等式；
⑦解不等式組．
2．解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點：
(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)．
(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性．
(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍．
3．不等式的同解性
(1)f(x)²g(x)＞0與 f(x)＞0
g(x)＞0 或f(x)＜0
g(x)＜0同解．
(2)f(x)²g(x)＜0與f(x)＞0f(x)＜0
g(x)＜0 或同解．
g(x)＞0(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0與 或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0
f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0與 或 同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0
(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．
f(x)＞[g(x)]2
(7)f(x)＞g(x)與 f(x)≥0或
f(x)≥0
g(x)＜同解．
g(x)≥00
(8)f(x)＜g(x)與f(x)＜[g(x)]2
≥0同解．
f(x)
(9)當(dāng)a＞1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當(dāng)0＜a＜1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．
(10)當(dāng)a＞1時，logf(x)＞g(x)
af(x)＞logag(x)與同解．
f(x)＞0
f(x)＜g(x)
當(dāng)0＜a＜1時，log
af(x)＞logag(x)與 f(x)＞0同解．
g(x)＞0
單元知識總結(jié)
一、坐標(biāo)法
1．點和坐標(biāo)
建立了平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點和一對有序?qū)崝?shù)(x，y)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系．
2．兩點間的距離公式
設(shè)兩點的坐標(biāo)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點間的距離
|P1P2|=(x2x1)2(y2y1)2特殊位置的兩點間的距離，可用坐標(biāo)差的絕對值表示：
(1)當(dāng)x1=x2時(兩點在y軸上或兩點連線平行于y軸)，則
|P1P2|=|y2－y1|
(2)當(dāng)y1=y2時(兩點在x軸上或兩點連線平行于x軸)，則
|P1P2|=|x2－x1|
3．線段的定比分點
(1)定義：設(shè)P點把有向線段P1P2分成P1P和PP2兩部分，那么有向
線段P1P和PP2的數(shù)量的比，就是P點分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1P
PP，點P叫做分線段P1P2為定比λ的定比分點．
2
當(dāng)P點內(nèi)分P1P2時，λ＞0；當(dāng)P點外分P1P2時，λ＜0．
(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)連線所成的比為λ的分點坐標(biāo)是
xx1λx2
1λ
(λ≠1)yy1λy2
1λ
特殊情況，當(dāng)P是P1P2的中點時，λ=1，得線段P1P2的中點坐標(biāo)
公式
xx1x2
2
yy1y2
2
二、直線
1．直線的傾斜角和斜率
(1)當(dāng)直線和x軸相交時，把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角，叫做這條直線的傾斜角．
當(dāng)直線和x軸平行線重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0．
所以直線的傾斜角α∈[0，π)．
(2)傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，直線的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠π
2)．
∴當(dāng)k≥0時，α=arctank．(銳角)
當(dāng)k＜0時，α=π－arctank．(鈍角)
(3)斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為
k=y2y1
xx(x1≠x2)
21
2．直線的方程
(1)點斜式 已知直線過點(x0，y0)，斜率為k，則其方程為：y－y0=k(x－x0)
(2)斜截式 已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則其方程為：y=kx＋b
(3)兩點式 已知直線過兩點(x1，y1)和(x2，y2)，則其方程為：
yy1
y=xx1(x1≠x2)
2y1x2x1
(4)截距式 已知直線在x，y軸上截距分別為a、b，則其方程為： xy
ab1
(5)參數(shù)式 已知直線過點P(x0，y0)，它的一個方向向量是(a，b)， 則其參數(shù)式方程為xx0at
yy(t為參數(shù))，特別地，當(dāng)方向向量為
0bt
v(cosα，sinα)(α為傾斜角)時，則其參數(shù)式方程為
xx0tcosα
yy(t為參數(shù))
0tsinα
這時，t的幾何意義是tv=p→→
0p，|t|=|p0p|=|p0p|
(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同時為0)．
(7)特殊的直線方程
①垂直于x軸且截距為a的直線方程是x=a，y軸的方程是x=0． ②垂直于y軸且截距為b的直線方程是y=b，x軸的方程是y=0．
3．兩條直線的位置關(guān)系
(1)平行：當(dāng)直線l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1≠b2．ABC當(dāng)l1和l2是一般式方程時，1
A11
B≠
22C2
(2)重合：當(dāng)l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1=b2，當(dāng)l1和l2是
一般方程時，A1B1C1
A
2B2C2
(3)相交：當(dāng)l1，l2是斜截式方程時，k1≠k2
當(dāng)llA2B1
1，2是一般式方程時，A≠
2B2
交點：A1xB1yC10
①A2xB2yC20的解
斜到角：ltanθk2k1
1到l2的角(1k1k2≠
交1k1k0)
2
夾角公式：l|k2k1
1和l2夾角tanθ1k|(1k1k2≠0)
1k2
②垂直當(dāng)l1和l2有敘截式方程時，k1k2=－1
當(dāng)l1和l2是一般式方程時，A1A2＋B1B2=0
4．點P(x0，y0)與直線l：Ax＋By＋C=0的位置關(guān)系：
Ax0＋By0＋C=0P在直線l上(點的坐標(biāo)滿足直線方程)
Ax0＋By0＋C≠0P在直線l外．
點P(xC|
0，y0)到直線l的距離為：d=|Ax0+By0+
A2B2
5．兩條平行直線l1∶Ax＋By＋C1=0，l2∶Ax＋By＋C2=0間
的距離為：d=|C1C2|
A2B2．
6．直線系方程
具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程的特點是除含坐標(biāo)變量x，y以外，還含有特定的系數(shù)(也稱參變量)．
確定一條直線需要兩個獨立的條件，在求直線方程的過程中往往先根據(jù)一個條件寫出所求直線所在的直線系方程，然后再根據(jù)另一個條件來確定其中的參變量．
(1)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交點的直線系方程為：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系數(shù)．
在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．當(dāng)λ=0時，即得A1x＋B1y＋C1=0，此時表示l1．
(2)平行直線系方程：直線y=kx＋b中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線Ax＋By＋C=0平行的直線系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是參變量．
(3)垂直直線系方程：與直線Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是：Bx－Ay＋λ=0．
如果在求直線方程的問題中，有一個已知條件，另一個條件待定時，可選用直線系方程來求解．
7．簡單的線性規(guī)劃
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直線Ax＋By＋C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域．
二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．
(2)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題，
例如，z=ax＋by，其中x，y滿足下列條件：
A1x＋B1y＋C1≥0(或≤0)
A2x＋B2y＋C2≥0(或≤0)(*)„„
Anx＋Bnx＋Cn≥0(或≤0)
求z的值和最小值，這就是線性規(guī)劃問題，不等式組(*)是一組對變量x、y的線性約束條件，z=ax＋by叫做線性目標(biāo)函數(shù)．滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，使線性目標(biāo)函數(shù)取得值和最小值的可行解叫做解．
三、曲線和方程
1．定義
在選定的直角坐標(biāo)系下，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：
(1)曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)=0的解(一點不雜)；
(2)以方程f(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點都是曲線C上的點(一點不漏)．
這時稱方程f(x，y)=0為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)． 設(shè)P={具有某種性質(zhì)(或適合某種條件)的點}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則用集合的觀點，上述定義中的兩條可以表述為：
(1)M∈P(x0，y0)∈Q，即PQ；
(2)(x0，y0)∈QM∈P，即QP．
以上兩條還可以轉(zhuǎn)化為它們的等價命題(逆否命題)：
(1)(x0，y0)QMP；
(2)MP(x0，y0)Q．
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)PQ且QP，即P=Q時，才能稱方程f(x，y)=0
為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)．
2．曲線方程的兩個基本問題
(1)由曲線(圖形)求方程的步驟：
①建系，設(shè)點：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用變數(shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；②立式：寫出適合條件p的點M的集合p={M|p(M)}；
③代換：用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化簡：化方程f(x，y)=0為最簡形式；
⑤證明：以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．
上述方法簡稱“五步法”，在步驟④中若化簡過程是同解變形過程；或最簡方程的解集與原始方程的解集相同，則步驟⑤可省略不寫，因為此時所求得的最簡方程就是所求曲線的方程．
(2)由方程畫曲線(圖形)的步驟：
①討論曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸和原點)；
②求截距：
方程組f(x，y)0
y0的解是曲線與x軸交點的坐標(biāo)；方程組f(x，y)0
x0的解是曲線與y軸交點的坐標(biāo)；
③討論曲線的范圍；
④列表、描點、畫線．
3．交點
求兩曲線的交點，就是解這兩條曲線方程組成的方程組．
4．曲線系方程
過兩曲線f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交點的曲線系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．
四、圓
1．圓的定義
平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓．
2．圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)為圓心，r為半徑． 特別地：當(dāng)圓心為(0，0)時，方程為x2＋y2=r2
(2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0
配方(xD2E2D2
2)(y2)E24F
4
當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，方程表示以(－DE
2，－2)為圓心，以
1
2D2E24F為半徑的圓；
當(dāng)D2＋E2－4F=0時，方程表示點(－D
2，－E
2)
當(dāng)D2＋E2－4F＜0時，方程無實數(shù)解，無軌跡．
(3)參數(shù)方程 以(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為 xarcosθ
ybrsinθ(θ為參數(shù))
特別地，以(0，0)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為xrcosθ(θ為參數(shù))yrsinθ
3．點與圓的位置關(guān)系
設(shè)點到圓心的距離為d，圓的半徑為r．
(1)點在圓外d＞r；
(2)點在圓上d=r；
(3)點在圓內(nèi)d＜r．
4．直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l：Ax＋By＋C=0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，則
d|AaBbC|
A2B2．
(1)相交直線與圓的方程組成的方程組有兩解，△＞0或d＜r；
(2)相切直線與圓的方程組成的方程組有一組解，△=0或d=r；
(3)相離直線與圓的方程組成的方程組無解，△＜0或d＞r．
5．求圓的切線方法
(1)已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
①若已知切點(x0，y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是
xD(xx0)E(y
0xy0y2y0)
2F0．
當(dāng)(xx0xy0y
0，y0)在圓外時，x0x＋y0y＋D(2)＋E(2)＋F=0表示
過兩個切點的切點弦方程．
②若已知切線過圓外一點(x0，y0)，則設(shè)切線方程為y－y0=k(x－x0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③若已知切線斜率為k，則設(shè)切線方程為y=kx＋b，再利用相切條件求b，這時必有兩條切線．
(2)已知圓x2＋y2=r2．
①若已知切點P0(x0，y0)在圓上，則該圓過P0點的切線方程為x0x＋y0y=r2． ②已知圓的切線的斜率為k，圓的切線方程為y=kx±rk21．
6．圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，則(1)兩圓外切|O1O2|=r1＋r2；
(2)兩圓內(nèi)切|O1O2|=|r1－r2|；
(3)兩圓相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．
單元知識總結(jié)
一、圓錐曲線
1．橢圓
(1)定義
定義1：平面內(nèi)一個動點到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)，這個動點的軌跡叫橢圓(這兩個定點叫焦點)．
定義2：點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常 數(shù)e＝c
a(0＜e＜1)時，這個點的軌跡是橢圓．
(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
8－1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y2
圖a2＋b2＝1(a＞b＞0)
8－2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y2
圖b2＋a2＝1(a＞b＞0)
(3)幾何性質(zhì)2．雙曲線
(1)定義
定義1：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線(這兩個定點叫雙曲線的焦點)．
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定義2：動點到一定點的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線(這定點叫做雙曲線的焦點)．
(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
圖8－3的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2y2
a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
圖8－4的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
y2a2－x2
b2＝1(a＞0，b＞0)
(3)幾何性質(zhì)
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3．拋物線
(1)定義
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平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，類型及幾何性質(zhì)，見下表：
①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下特點：都以原點為頂點，以一條坐標(biāo)軸為對稱軸；方程不同，開口方向不同；焦點在對稱軸上，頂點到焦點的距離等于頂點到準(zhǔn)線距離．
②p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離．
③弦長公式：設(shè)直線為y＝kx＋b拋物線為y2＝2px，|AB|＝k2
|x2－x1|＝
1
k2|y2－y1|
焦點弦長公式：|AB|＝p＋x1＋x2
4．圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義
與一定點的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線，定點叫做焦點，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0＜e＜1時，是橢圓，當(dāng)e＞1時，是雙曲線，當(dāng)e＝1時，是拋物線． 二、利用平移化簡二元二次方程 1．定義
缺xy項的二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A、C不同時為0)※，通過配方和平移，化為圓型或橢圓型或雙曲線型或拋物線型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的過程，稱為利用平移化簡二元二次方程．
A＝C是方程※為圓的方程的必要條件． A與C同號是方程※為橢圓的方程的必要條件． A與C異號是方程※為雙曲線的方程的必要條件． A與C中僅有一個為0是方程※為拋物線方程的必要條件．
2．對于缺xy項的二元二次方程：
Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同時為0)利用平移變換，可把圓錐曲線的一般
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方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其方法有：①待定系數(shù)法；②配方法．
橢圓：(xh)2(yk)2(xh)2(a2＋b2＝1或yk)2
b2＋a2＝1
中心O′(h，k)
(xh)2(yk)2(yk)2(xh)2
雙曲線：a2－b2＝1或a2－b2＝1
中心O′(h，k)
拋物線：對稱軸平行于x軸的拋物線方程為 (y－k)2＝2p(x－h(huán))或(y－k)2＝－2p(x－h(huán))， 頂點O′(h，k)．
對稱軸平行于y軸的拋物線方程為：(x－h(huán))2＝2p(y－k)或(x－h(huán))2＝－2p(y－k) 頂點O′(h，k)．
以上方程對應(yīng)的曲線按向量a＝(－h(huán)，－k)平移，就可將其方程化為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．
一、不等式的性質(zhì)
1．兩個實數(shù)a與b之間的大小關(guān)系
(1)a－b＞0a＞b；
(2)a－b=0a=b；
(3)a－b＜0a＜b．
a(4)b＞1a＞b；
若 a、bR，則(5)a
b=1a=b；
(6)a
b＜1a＜b．
2．不等式的性質(zhì)
(1)a＞bb＜a(對稱性)
(2)a＞b
b＞c a＞c(傳遞性
)
(3)a＞ba＋c＞b＋c(加法單調(diào)性)
a＞b
c＞0 ac＞bc
(4) (乘法單調(diào)性)
a＞b
c＜0 ac＜bc
(5)a＋b＞ca＞c－b(移項法則)
(6)a＞b
c＞da＋c＞b＋d(同向不等式可加)
(7)a＞b
c＜da－c＞b－
d(異向不等式可減)
(8)a＞b＞0
c＞d＞0ac＞bd(同向正數(shù)不等式可乘)(9)a＞b＞0
0＜c＜dab
c＞d(異向正數(shù)不等式可除)
(10)a＞b＞0nn
nNa＞b(正數(shù)不等式可乘方)
(11)a＞b＞0
N a＞nb(正數(shù)不等式可開方)
(12)a＞b＞01
a＜1
b(正數(shù)不等式兩邊取倒數(shù))
3．絕對值不等式的性質(zhì)
(1)|a|≥a；|a|=a (a≥0)，
－a (a＜0)．
(2)如果a＞0，那么
|x|＜ax2＜a2－a＜x＜a；
|x|＞ax2＞a2x＞a或x＜－a．
(3)|a²b|＝|a|²|b|．
(4)|a
b|＝|a|
|b| (b≠0)．
(5)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a1＋a2＋„„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„„＋|an|．
二、不等式的證明
1．不等式證明的依據(jù)
(1)實數(shù)的性質(zhì)：a、b同號ab＞0；a、b異號ab＜0
a－b＞0a＞b；a－b＜0a＜b；a－b=0a=b
(2)不等式的性質(zhì)(略)
(3)重要不等式：①|(zhì)a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)
②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)
③ab≥、bR
2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)
2．不等式的證明方法
(1)比較法：要證明a＞b(a＜b)，只要證明a－b＞0(a－b＜0)，這種證明不等式的方法叫做比較法．
用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號．
(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法．
(3)分析法：從欲證的不等式出發(fā)，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法．
證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法等．
三、解不等式
1．解不等式問題的分類
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解無理不等式；
④解指數(shù)不等式；
⑤解對數(shù)不等式；
⑥解帶絕對值的不等式；
⑦解不等式組．
2．解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點：
(1)正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)．
(2)正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性．
(3)注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍．
3．不等式的同解性
(1)f(x)²g(x)＞0與 f(x)＞0
g(x)＞0 或f(x)＜0
g(x)＜0同解．
(2)f(x)²g(x)＜0與f(x)＞0f(x)＜0
g(x)＜0 或同解．
g(x)＞0(3)f(x)＞0f(x)＜0f(x)＞0與 或同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＞0g(x)＜0
f(x)＞0f(x)＜0f(x)(4)＜0與 或 同解．(g(x)≠0)g(x)g(x)＜0g(x)＞0
(5)|f(x)|＜g(x)與－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①與f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(shù)(x)≥0)同解；②與g(x)＜0同解．
f(x)＞[g(x)]2
(7)f(x)＞g(x)與 f(x)≥0或
f(x)≥0
g(x)＜同解．
g(x)≥00
(8)f(x)＜g(x)與f(x)＜[g(x)]2
≥0同解．
f(x)
(9)當(dāng)a＞1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＞g(x)同解，當(dāng)0＜a＜1時，af(x)＞ag(x)與f(x)＜g(x)同解．
(10)當(dāng)a＞1時，logf(x)＞g(x)
af(x)＞logag(x)與同解．
f(x)＞0
f(x)＜g(x)
當(dāng)0＜a＜1時，log
af(x)＞logag(x)與 f(x)＞0同解．
g(x)＞0
單元知識總結(jié)
一、坐標(biāo)法
1．點和坐標(biāo)
建立了平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點和一對有序?qū)崝?shù)(x，y)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系．
2．兩點間的距離公式
設(shè)兩點的坐標(biāo)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩點間的距離
|P1P2|=(x2x1)2(y2y1)2特殊位置的兩點間的距離，可用坐標(biāo)差的絕對值表示：
(1)當(dāng)x1=x2時(兩點在y軸上或兩點連線平行于y軸)，則
|P1P2|=|y2－y1|
(2)當(dāng)y1=y2時(兩點在x軸上或兩點連線平行于x軸)，則
|P1P2|=|x2－x1|
3．線段的定比分點
(1)定義：設(shè)P點把有向線段P1P2分成P1P和PP2兩部分，那么有向
線段P1P和PP2的數(shù)量的比，就是P點分P1P2所成的比，通常用λ表示，即λ=P1P
PP，點P叫做分線段P1P2為定比λ的定比分點．
2
當(dāng)P點內(nèi)分P1P2時，λ＞0；當(dāng)P點外分P1P2時，λ＜0．
(2)公式：分P1(x1，y2)和P2(x2，y2)連線所成的比為λ的分點坐標(biāo)是
xx1λx2
1λ
(λ≠1)yy1λy2
1λ
特殊情況，當(dāng)P是P1P2的中點時，λ=1，得線段P1P2的中點坐標(biāo)
公式
xx1x2
2
yy1y2
2
二、直線
1．直線的傾斜角和斜率
(1)當(dāng)直線和x軸相交時，把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角，叫做這條直線的傾斜角．
當(dāng)直線和x軸平行線重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0．
所以直線的傾斜角α∈[0，π)．
(2)傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，直線的斜率常用k表示，即k=tanα(α≠π
2)．
∴當(dāng)k≥0時，α=arctank．(銳角)
當(dāng)k＜0時，α=π－arctank．(鈍角)
(3)斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線的斜率為
k=y2y1
xx(x1≠x2)
21
2．直線的方程
(1)點斜式 已知直線過點(x0，y0)，斜率為k，則其方程為：y－y0=k(x－x0)
(2)斜截式 已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則其方程為：y=kx＋b
(3)兩點式 已知直線過兩點(x1，y1)和(x2，y2)，則其方程為：
yy1
y=xx1(x1≠x2)
2y1x2x1
(4)截距式 已知直線在x，y軸上截距分別為a、b，則其方程為： xy
ab1
(5)參數(shù)式 已知直線過點P(x0，y0)，它的一個方向向量是(a，b)， 則其參數(shù)式方程為xx0at
yy(t為參數(shù))，特別地，當(dāng)方向向量為
0bt
v(cosα，sinα)(α為傾斜角)時，則其參數(shù)式方程為
xx0tcosα
yy(t為參數(shù))
0tsinα
這時，t的幾何意義是tv=p→→
0p，|t|=|p0p|=|p0p|
(6)一般式 Ax＋By＋C=0 (A、B不同時為0)．
(7)特殊的直線方程
①垂直于x軸且截距為a的直線方程是x=a，y軸的方程是x=0． ②垂直于y軸且截距為b的直線方程是y=b，x軸的方程是y=0．
3．兩條直線的位置關(guān)系
(1)平行：當(dāng)直線l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1≠b2．ABC當(dāng)l1和l2是一般式方程時，1
A11
B≠
22C2
(2)重合：當(dāng)l1和l2有斜截式方程時，k1=k2且b1=b2，當(dāng)l1和l2是
一般方程時，A1B1C1
A
2B2C2
(3)相交：當(dāng)l1，l2是斜截式方程時，k1≠k2
當(dāng)llA2B1
1，2是一般式方程時，A≠
2B2
交點：A1xB1yC10
①A2xB2yC20的解
斜到角：ltanθk2k1
1到l2的角(1k1k2≠
交1k1k0)
2
夾角公式：l|k2k1
1和l2夾角tanθ1k|(1k1k2≠0)
1k2
②垂直當(dāng)l1和l2有敘截式方程時，k1k2=－1
當(dāng)l1和l2是一般式方程時，A1A2＋B1B2=0
4．點P(x0，y0)與直線l：Ax＋By＋C=0的位置關(guān)系：
Ax0＋By0＋C=0P在直線l上(點的坐標(biāo)滿足直線方程)
Ax0＋By0＋C≠0P在直線l外．
點P(xC|
0，y0)到直線l的距離為：d=|Ax0+By0+
A2B2
5．兩條平行直線l1∶Ax＋By＋C1=0，l2∶Ax＋By＋C2=0間
的距離為：d=|C1C2|
A2B2．
6．直線系方程
具有某一共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程的特點是除含坐標(biāo)變量x，y以外，還含有特定的系數(shù)(也稱參變量)．
確定一條直線需要兩個獨立的條件，在求直線方程的過程中往往先根據(jù)一個條件寫出所求直線所在的直線系方程，然后再根據(jù)另一個條件來確定其中的參變量．
(1)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1∶A1x＋B1y＋C1=0，l2∶A2x＋B2y＋C2=0的交點的直線系方程為：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0，其中λ是待定的系數(shù)．
在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，都得不到A2x＋B2y＋C2=0，因此它不表示l2．當(dāng)λ=0時，即得A1x＋B1y＋C1=0，此時表示l1．
(2)平行直線系方程：直線y=kx＋b中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線Ax＋By＋C=0平行的直線系方程是Ax＋By＋λ=0(λ≠C)，λ是參變量．
(3)垂直直線系方程：與直線Ax＋By＋C=0(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是：Bx－Ay＋λ=0．
如果在求直線方程的問題中，有一個已知條件，另一個條件待定時，可選用直線系方程來求解．
7．簡單的線性規(guī)劃
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直線Ax＋By＋C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域．
二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．
(2)線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題，
例如，z=ax＋by，其中x，y滿足下列條件：
A1x＋B1y＋C1≥0(或≤0)
A2x＋B2y＋C2≥0(或≤0)(*)„„
Anx＋Bnx＋Cn≥0(或≤0)
求z的值和最小值，這就是線性規(guī)劃問題，不等式組(*)是一組對變量x、y的線性約束條件，z=ax＋by叫做線性目標(biāo)函數(shù)．滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，使線性目標(biāo)函數(shù)取得值和最小值的可行解叫做解．
三、曲線和方程
1．定義
在選定的直角坐標(biāo)系下，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x，y)=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：
(1)曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x，y)=0的解(一點不雜)；
(2)以方程f(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點都是曲線C上的點(一點不漏)．
這時稱方程f(x，y)=0為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)． 設(shè)P={具有某種性質(zhì)(或適合某種條件)的點}，Q={(x，y)|f(x，y)=0}，若設(shè)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則用集合的觀點，上述定義中的兩條可以表述為：
(1)M∈P(x0，y0)∈Q，即PQ；
(2)(x0，y0)∈QM∈P，即QP．
以上兩條還可以轉(zhuǎn)化為它們的等價命題(逆否命題)：
(1)(x0，y0)QMP；
(2)MP(x0，y0)Q．
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)PQ且QP，即P=Q時，才能稱方程f(x，y)=0
為曲線C的方程；曲線C為方程f(x，y)=0的曲線(圖形)．
2．曲線方程的兩個基本問題
(1)由曲線(圖形)求方程的步驟：
①建系，設(shè)點：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用變數(shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；②立式：寫出適合條件p的點M的集合p={M|p(M)}；
③代換：用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；
④化簡：化方程f(x，y)=0為最簡形式；
⑤證明：以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．
上述方法簡稱“五步法”，在步驟④中若化簡過程是同解變形過程；或最簡方程的解集與原始方程的解集相同，則步驟⑤可省略不寫，因為此時所求得的最簡方程就是所求曲線的方程．
(2)由方程畫曲線(圖形)的步驟：
①討論曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸和原點)；
②求截距：
方程組f(x，y)0
y0的解是曲線與x軸交點的坐標(biāo)；方程組f(x，y)0
x0的解是曲線與y軸交點的坐標(biāo)；
③討論曲線的范圍；
④列表、描點、畫線．
3．交點
求兩曲線的交點，就是解這兩條曲線方程組成的方程組．
4．曲線系方程
過兩曲線f1(x，y)=0和f2(x，y)=0的交點的曲線系方程是f1(x，y)＋λf2(x，y)=0(λ∈R)．
四、圓
1．圓的定義
平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓．
2．圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2．(a，b)為圓心，r為半徑． 特別地：當(dāng)圓心為(0，0)時，方程為x2＋y2=r2
(2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0
配方(xD2E2D2
2)(y2)E24F
4
當(dāng)D2＋E2－4F＞0時，方程表示以(－DE
2，－2)為圓心，以
1
2D2E24F為半徑的圓；
當(dāng)D2＋E2－4F=0時，方程表示點(－D
2，－E
2)
當(dāng)D2＋E2－4F＜0時，方程無實數(shù)解，無軌跡．
(3)參數(shù)方程 以(a，b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為 xarcosθ
ybrsinθ(θ為參數(shù))
特別地，以(0，0)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為xrcosθ(θ為參數(shù))yrsinθ
3．點與圓的位置關(guān)系
設(shè)點到圓心的距離為d，圓的半徑為r．
(1)點在圓外d＞r；
(2)點在圓上d=r；
(3)點在圓內(nèi)d＜r．
4．直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l：Ax＋By＋C=0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，則
d|AaBbC|
A2B2．
(1)相交直線與圓的方程組成的方程組有兩解，△＞0或d＜r；
(2)相切直線與圓的方程組成的方程組有一組解，△=0或d=r；
(3)相離直線與圓的方程組成的方程組無解，△＜0或d＞r．
5．求圓的切線方法
(1)已知圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．
①若已知切點(x0，y0)在圓上，則切線只有一條，其方程是
xD(xx0)E(y
0xy0y2y0)
2F0．
當(dāng)(xx0xy0y
0，y0)在圓外時，x0x＋y0y＋D(2)＋E(2)＋F=0表示
過兩個切點的切點弦方程．
②若已知切線過圓外一點(x0，y0)，則設(shè)切線方程為y－y0=k(x－x0)，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③若已知切線斜率為k，則設(shè)切線方程為y=kx＋b，再利用相切條件求b，這時必有兩條切線．
(2)已知圓x2＋y2=r2．
①若已知切點P0(x0，y0)在圓上，則該圓過P0點的切線方程為x0x＋y0y=r2． ②已知圓的切線的斜率為k，圓的切線方程為y=kx±rk21．
6．圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1、r2，則(1)兩圓外切|O1O2|=r1＋r2；
(2)兩圓內(nèi)切|O1O2|=|r1－r2|；
(3)兩圓相交|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2．
單元知識總結(jié)
一、圓錐曲線
1．橢圓
(1)定義
定義1：平面內(nèi)一個動點到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)，這個動點的軌跡叫橢圓(這兩個定點叫焦點)．
定義2：點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常 數(shù)e＝c
a(0＜e＜1)時，這個點的軌跡是橢圓．
(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
8－1的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y2
圖a2＋b2＝1(a＞b＞0)
8－2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2y2
圖b2＋a2＝1(a＞b＞0)
(3)幾何性質(zhì)2．雙曲線
(1)定義
定義1：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線(這兩個定點叫雙曲線的焦點)．
13
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定義2：動點到一定點的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e(e＞1)時，這個動點的軌跡是雙曲線(這定點叫做雙曲線的焦點)．
(2)圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程
圖8－3的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2y2
a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
圖8－4的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
y2a2－x2
b2＝1(a＞0，b＞0)
(3)幾何性質(zhì)
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3．拋物線
(1)定義
15
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平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，類型及幾何性質(zhì)，見下表：
①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下特點：都以原點為頂點，以一條坐標(biāo)軸為對稱軸；方程不同，開口方向不同；焦點在對稱軸上，頂點到焦點的距離等于頂點到準(zhǔn)線距離．
②p的幾何意義：焦點F到準(zhǔn)線l的距離．
③弦長公式：設(shè)直線為y＝kx＋b拋物線為y2＝2px，|AB|＝k2
|x2－x1|＝
1
k2|y2－y1|
焦點弦長公式：|AB|＝p＋x1＋x2
4．圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義
與一定點的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線，定點叫做焦點，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0＜e＜1時，是橢圓，當(dāng)e＞1時，是雙曲線，當(dāng)e＝1時，是拋物線． 二、利用平移化簡二元二次方程 1．定義
缺xy項的二元二次方程Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A、C不同時為0)※，通過配方和平移，化為圓型或橢圓型或雙曲線型或拋物線型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的過程，稱為利用平移化簡二元二次方程．
A＝C是方程※為圓的方程的必要條件． A與C同號是方程※為橢圓的方程的必要條件． A與C異號是方程※為雙曲線的方程的必要條件． A與C中僅有一個為0是方程※為拋物線方程的必要條件．
2．對于缺xy項的二元二次方程：
Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A，C不同時為0)利用平移變換，可把圓錐曲線的一般
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方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其方法有：①待定系數(shù)法；②配方法．
橢圓：(xh)2(yk)2(xh)2(a2＋b2＝1或yk)2
b2＋a2＝1
中心O′(h，k)
(xh)2(yk)2(yk)2(xh)2
雙曲線：a2－b2＝1或a2－b2＝1
中心O′(h，k)
拋物線：對稱軸平行于x軸的拋物線方程為 (y－k)2＝2p(x－h(huán))或(y－k)2＝－2p(x－h(huán))， 頂點O′(h，k)．
對稱軸平行于y軸的拋物線方程為：(x－h(huán))2＝2p(y－k)或(x－h(huán))2＝－2p(y－k) 頂點O′(h，k)．
以上方程對應(yīng)的曲線按向量a＝(－h(huán)，－k)平移，就可將其方程化為圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式．