對于有向線段P1P2 (P1 P2)，如果點(diǎn)P滿足P1P= PP2( -1)，我們就稱點(diǎn)P為有向線段P1P2的 分點(diǎn).
說明：1 -1使得P1 P2;
2 >0，則P1P 與PP2同向，P為P1P2內(nèi)部的點(diǎn);
3 <0，則P1P 與PP2反向，P為P1P2外部的點(diǎn)：
且若 <-1，則P點(diǎn)在P2右側(cè);
若-1< <0，則P點(diǎn)在P1左側(cè).
例1. 已知點(diǎn)A(x1,y1,z1)、點(diǎn)B(x2,y2,z2)和實(shí)數(shù)λ≠-1,在直線AB上求點(diǎn)M,使AM=λMB.
解: AM=OM-OA , MB=OB-OM,
OM-OA=λ(OB-OM)
此為定比分點(diǎn)公式. 當(dāng)λ=1時(shí),為中點(diǎn)公式.
例1. 求證:以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.
解: |M1M2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;
|M1M3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;
|M2M3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6
例2. 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)、B(3,5,-2)等距離的點(diǎn).
解: 設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,0,z), 則有:
|MA|2=|MB|2 Þ
(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2, Þ z=19=4/9
所求點(diǎn)為: (0,0,14/9)
例3. 求點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于(1)各坐標(biāo)軸;(2)各坐標(biāo)面;(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).
解: (1) 關(guān)于x軸: (a,-b,-c);
關(guān)于y軸: (-a,b,-c);
關(guān)于z軸: (-a,-b,c);
(2) 關(guān)于xoy面: (a,b,-c);
關(guān)于xoz面: (a,-b,c);
關(guān)于yoz面: (-a,b,c);
(3) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn): (-a,-b,-c)
說明：1 -1使得P1 P2;
2 >0，則P1P 與PP2同向，P為P1P2內(nèi)部的點(diǎn);
3 <0，則P1P 與PP2反向，P為P1P2外部的點(diǎn)：
且若 <-1，則P點(diǎn)在P2右側(cè);
若-1< <0，則P點(diǎn)在P1左側(cè).
例1. 已知點(diǎn)A(x1,y1,z1)、點(diǎn)B(x2,y2,z2)和實(shí)數(shù)λ≠-1,在直線AB上求點(diǎn)M,使AM=λMB.
解: AM=OM-OA , MB=OB-OM,
OM-OA=λ(OB-OM)
此為定比分點(diǎn)公式. 當(dāng)λ=1時(shí),為中點(diǎn)公式.
例1. 求證:以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.
解: |M1M2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;
|M1M3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;
|M2M3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6
例2. 在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)、B(3,5,-2)等距離的點(diǎn).
解: 設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為 (0,0,z), 則有:
|MA|2=|MB|2 Þ
(0+4)2+(0-1)2+(z-7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2, Þ z=19=4/9
所求點(diǎn)為: (0,0,14/9)
例3. 求點(diǎn)A(a,b,c)關(guān)于(1)各坐標(biāo)軸;(2)各坐標(biāo)面;(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).
解: (1) 關(guān)于x軸: (a,-b,-c);
關(guān)于y軸: (-a,b,-c);
關(guān)于z軸: (-a,-b,c);
(2) 關(guān)于xoy面: (a,b,-c);
關(guān)于xoz面: (a,-b,c);
關(guān)于yoz面: (-a,b,c);
(3) 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn): (-a,-b,-c)