一、選擇題
1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
答案：C 命題立意：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和考生的運(yùn)算能力.根據(jù)已知條件中的直線的斜率和所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)F，寫出直線方程，從而通過(guò)解方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，得到三角形的底邊長(zhǎng)與高，計(jì)算出三角形的面積.
解題思路：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).直線AF的方程y=(x-1)，解方程組得或因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的上方，所以符合題意，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，|AK|=3+1=4，點(diǎn)F到直線AK的距離d即為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)2，因此SAKF=|AK|·d=4.
2.已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，若以點(diǎn)F為圓心，為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案：D 解題思路：設(shè)雙曲線C的方程為-=1(a>0，b>0)，而拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0)，即F(2,0)，
4=a2+b2.又圓F：(x-2)2+y2=2與雙曲線C的漸近線y=±x相切，由雙曲線的對(duì)稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為=， a2=b2=2，故雙曲線C的方程為-=1.
3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(nN*)，其前n項(xiàng)和Sn=，則雙曲線-=1的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：C 命題立意：本題主要考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的基本運(yùn)算能力.
解題思路：依題意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故雙曲線方程是-=1，該雙曲線的漸近線方程是y=± x=±x，故選C.
4.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A.+1 B.+1
C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查考生的基本運(yùn)算能力.
解題思路：連接AF1，依題意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此該雙曲線的離心率e===+1，故選B.
5.設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足|+|=||，則 的值為( )
A. B.2
C. D.1
答案：A 解題思路：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨設(shè)m>n.由|+|=||知，F(xiàn)1PF2=90°，則m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=.
二、填空題
6.若雙曲線-=1漸近線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案：(-∞，-5][5，+∞) 命題立意：本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
解題思路：?jiǎn)栴}等價(jià)于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切，故實(shí)數(shù)m滿足≥4，即m≥5或m≤-5.
7.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：(x-1)2+y2=相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
答案：-y2=1 命題立意：本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式以及基本量間的關(guān)系等.
解題思路：由題意可知雙曲線中c=.設(shè)雙曲線-=1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為kx-y=0，根據(jù)圓心(1,0)到該直線的距離為半徑，得k2=，即=.又a2+b2=()2，則a2=4，b2=1，所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.
8.已知雙曲線-=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1MF2，則點(diǎn)M到x軸的距離為________.
答案： 命題立意：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離，考查考生的運(yùn)算求解能力.
解題思路：設(shè)M(x，y)，F(xiàn)1(-3,0)，F(xiàn)2(3,0)，則由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在雙曲線上，故可以解方程組y2=，故點(diǎn)M到x軸的距離為.
三、解答題
9.已知橢圓C：+=1(a>)的右焦點(diǎn)F在圓D：(x-2)2+y2=1上，直線l：x=my+3(m≠0)交橢圓于M，N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值;
(3)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N1(N1與點(diǎn)M不重合)，且直線N1M與x軸交于點(diǎn)P，試問(wèn)PMN的面積是否存在值?若存在，求出這個(gè)值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解析：(1)由題設(shè)知，圓D：(x-2)2+y2=1的圓心坐標(biāo)是(2,0)，半徑是1，
故圓D與x軸交于兩點(diǎn)(3,0)，(1,0).
所以在橢圓中，c=3或c=1，又b2=3，
所以a2=12或a2=4(舍去， a>).
于是，橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).
直線l與橢圓C方程聯(lián)立
化簡(jiǎn)并整理得(m2+4)y2+6my-3=0，
y1+y2=，y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
⊥，·=0，
即x1x2+y1y2=0，得=0.
m2=，m=±.
(3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)，
直線N1M的方程為=.
令y=0，則x=+x1=
P(4,0).
解法一：SPMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
≤2·=1.
當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=3，即m=±時(shí)等號(hào)成立，
故PMN的面積存在值1.
(或SPMN=2·
=2·.
令t=，
1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是( )
A.4 B.3
C.4 D.8
答案：C 命題立意：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和考生的運(yùn)算能力.根據(jù)已知條件中的直線的斜率和所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)F，寫出直線方程，從而通過(guò)解方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，得到三角形的底邊長(zhǎng)與高，計(jì)算出三角形的面積.
解題思路：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).直線AF的方程y=(x-1)，解方程組得或因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的上方，所以符合題意，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，|AK|=3+1=4，點(diǎn)F到直線AK的距離d即為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)2，因此SAKF=|AK|·d=4.
2.已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，若以點(diǎn)F為圓心，為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的方程為( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.-=1 D.-=1
答案：D 解題思路：設(shè)雙曲線C的方程為-=1(a>0，b>0)，而拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0)，即F(2,0)，
4=a2+b2.又圓F：(x-2)2+y2=2與雙曲線C的漸近線y=±x相切，由雙曲線的對(duì)稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為=， a2=b2=2，故雙曲線C的方程為-=1.
3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(nN*)，其前n項(xiàng)和Sn=，則雙曲線-=1的漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案：C 命題立意：本題主要考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的基本運(yùn)算能力.
解題思路：依題意得an=-，因此Sn=1-==，n=9，故雙曲線方程是-=1，該雙曲線的漸近線方程是y=± x=±x，故選C.
4.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為( )
A.+1 B.+1
C. D.
答案：B 命題立意：本題主要考查圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查考生的基本運(yùn)算能力.
解題思路：連接AF1，依題意，得AF1AF2，又AF2F1=30°， |AF1|=c，|AF2|=c，因此該雙曲線的離心率e===+1，故選B.
5.設(shè)e1，e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足|+|=||，則 的值為( )
A. B.2
C. D.1
答案：A 解題思路：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨設(shè)m>n.由|+|=||知，F(xiàn)1PF2=90°，則m2+n2=4c2， e1=，e2=，+==2，=.
二、填空題
6.若雙曲線-=1漸近線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
答案：(-∞，-5][5，+∞) 命題立意：本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
解題思路：?jiǎn)栴}等價(jià)于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切，故實(shí)數(shù)m滿足≥4，即m≥5或m≤-5.
7.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C：(x-1)2+y2=相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
答案：-y2=1 命題立意：本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式以及基本量間的關(guān)系等.
解題思路：由題意可知雙曲線中c=.設(shè)雙曲線-=1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為kx-y=0，根據(jù)圓心(1,0)到該直線的距離為半徑，得k2=，即=.又a2+b2=()2，則a2=4，b2=1，所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.
8.已知雙曲線-=1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M在雙曲線上且MF1MF2，則點(diǎn)M到x軸的距離為________.
答案： 命題立意：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離，考查考生的運(yùn)算求解能力.
解題思路：設(shè)M(x，y)，F(xiàn)1(-3,0)，F(xiàn)2(3,0)，則由MF1MF2，得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在雙曲線上，故可以解方程組y2=，故點(diǎn)M到x軸的距離為.
三、解答題
9.已知橢圓C：+=1(a>)的右焦點(diǎn)F在圓D：(x-2)2+y2=1上，直線l：x=my+3(m≠0)交橢圓于M，N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值;
(3)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N1(N1與點(diǎn)M不重合)，且直線N1M與x軸交于點(diǎn)P，試問(wèn)PMN的面積是否存在值?若存在，求出這個(gè)值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解析：(1)由題設(shè)知，圓D：(x-2)2+y2=1的圓心坐標(biāo)是(2,0)，半徑是1，
故圓D與x軸交于兩點(diǎn)(3,0)，(1,0).
所以在橢圓中，c=3或c=1，又b2=3，
所以a2=12或a2=4(舍去， a>).
于是，橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).
直線l與橢圓C方程聯(lián)立
化簡(jiǎn)并整理得(m2+4)y2+6my-3=0，
y1+y2=，y1y2=.
x1+x2=m(y1+y2)+6=.
x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=++9=.
⊥，·=0，
即x1x2+y1y2=0，得=0.
m2=，m=±.
(3) M(x1，y1)，N1(x2，-y2)，
直線N1M的方程為=.
令y=0，則x=+x1=
P(4,0).
解法一：SPMN=|FP|·|y1-y2|
=·1·
≤2·=1.
當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=3，即m=±時(shí)等號(hào)成立，
故PMN的面積存在值1.
(或SPMN=2·
=2·.
令t=，