2017考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)考點(diǎn)、知識(shí)點(diǎn)梳理

    一、行列式與矩陣
    第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。
    行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和高階兩種類型;主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開(kāi)定理化為上下三角行列式求解。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于相關(guān)性質(zhì)，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、運(yùn)算性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。
    二、向量與線性方程組
    向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié);后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。
    向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。
    解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組(一般式)
    還具有兩種形式：(1)矩陣形式，(2)向量形式。
    1)齊次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系
    齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng)變量都為零時(shí)等式一定成立;印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。
    齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有零解;②有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)。可以設(shè)想線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。
    2)齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系
    同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”。經(jīng)過(guò)“秩→線性相關(guān)無(wú)關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時(shí)，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。
    3)非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系
    非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。
    三、特征值與特征向量
    相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：
    1.特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法就是記牢一系列公式和性質(zhì)。
    2.相似矩陣及其性質(zhì)，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：
    3.矩陣可相似對(duì)角化的條件，包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件1是n階矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征值;充要條件2是任意r重特征根對(duì)應(yīng)有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。
    4.實(shí)對(duì)稱矩陣及其相似對(duì)角化，n階實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交相似于對(duì)角陣。
    四、二次型
    本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A存在正交矩陣C使得A可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。
    本章知識(shí)要點(diǎn)如下：
    1.二次型及其矩陣表示。
    2.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。
    3.正負(fù)定二次型的判斷與證明。
    附：
    第一章　行列式
    1、行列式的定義
    2、行列式的性質(zhì)
    3、特殊行列式的值
    4、行列式展開(kāi)定理
    5、抽象行列式的計(jì)算
    第二章　矩陣
    1、矩陣的定義及線性運(yùn)算
    2、乘法
    3、矩陣方冪
    4、轉(zhuǎn)置
    5、逆矩陣的概念和性質(zhì)
    6、伴隨矩陣
    7、分塊矩陣及其運(yùn)算
    8、矩陣的初等變換與初等矩陣
    9、矩陣的等價(jià)
    10、矩陣的秩
    第三章　向量
    1、向量的概念及其運(yùn)算
    2、向量的線性組合與線性表出
    3、等價(jià)向量組
    4、向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)
    5、極大線性無(wú)關(guān)組與向量組的秩
    6、內(nèi)積與施密特正交化
    7、n維向量空間(數(shù)學(xué)一)
    第四章　線性方程組
    1、線性方程組的克萊姆法則
    2、齊次線性方程組有非零解的判定條件
    3、非齊次線性方程組有解的判定條件
    4、線性方程組解的結(jié)構(gòu)
    第五章　矩陣的特征值和特征向量
    1、矩陣的特征值和特征向量的概念和性質(zhì)
    2、相似矩陣的概念及性質(zhì)
    3、矩陣的相似對(duì)角化
    4、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對(duì)角矩陣
    第六章　二次型
    1、二次型及其矩陣表示
    2、合同變換與合同矩陣
    3、二次型的秩
    4、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型和規(guī)范型
    5、慣性定理
    6、用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型
    7、正定二次型及其判定