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一、連續(xù)
連續(xù)即“極限值=函數(shù)值”，這一個等式包含了三個方面：
1、函數(shù)必須在該點(diǎn)處有定義;
2、函數(shù)必須在這個點(diǎn)附近存在極限;
3、是前面1、2兩點(diǎn)的內(nèi)容必須相等，同時滿足這三個條件，才叫做函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)?？吹剑袛嗪瘮?shù)連續(xù)，要先求極限，所以，如何求函數(shù)在該點(diǎn)處的極限值或是用極限存在的充要條件(左右極限存在且相等)，是一個隱含的知識點(diǎn)。
二、不連續(xù)
我們自然會問，會不會有不連續(xù)的點(diǎn)呢?答案當(dāng)然是肯定的，不連續(xù)的點(diǎn)就是我們所說的---間斷點(diǎn)。
那么所謂“不連續(xù)”就是不能同時滿足連續(xù)的三個條件的點(diǎn)：
1、函數(shù)在該點(diǎn)處沒有定義;
2、若函數(shù)在該點(diǎn)有定義，但函數(shù)在該點(diǎn)附近的極限不存在;
3、雖然函數(shù)在該點(diǎn)處有定義，極限也存在，但是二者不相等。
對于間斷點(diǎn)，根據(jù)左右極限存在與否，我們把它分為兩類。若左右極限都存在的間斷點(diǎn)，稱為第一類間斷點(diǎn);若左右極限相等，這個間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的可去間斷點(diǎn);若左右極限不相等，這個間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)。若左右極限中至少有一個不存在(包含極限等于無窮的情形)的間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn);若其中一個極限是趨于無窮的，這個間斷點(diǎn)就稱為無窮間斷點(diǎn);若極限是在兩個常數(shù)之間來回振蕩的，就稱為振蕩間斷點(diǎn)。
三、連續(xù)性質(zhì)
對于連續(xù)性重要的應(yīng)用或者是說考研中的一個小難點(diǎn)，就是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個性質(zhì)：大小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理。
對于上面的知識點(diǎn)，我們看看在考研中是怎么考察的。對于連續(xù)的概念，難度上屬于簡單知識點(diǎn)。
首先，在十五年前，對于連續(xù)性的考查，更多的是給一個分段函數(shù)，然后判斷分段點(diǎn)處函數(shù)的連續(xù)性，這是一個基本題型，只需判斷連續(xù)的三個條件即可，其實(shí)主要是考查求函數(shù)某點(diǎn)處左右極限的值。
然后，進(jìn)入20世紀(jì)，考查又傾向于在選擇題當(dāng)中，給一個函數(shù)，讓大家來判斷這個函數(shù)有多少間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)的類型是什么，這個又比之前考查的更高一層。
后，就是在邏輯推理題中，考查零點(diǎn)定理，介值定理，通常，考查介值定理的時候也會用到值定理。