一、選擇題
1.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x=是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為( )
A.y=4sin B.y=2sin+2
C.y=2sin+2 D.y=2sin+2
答案：D 解題思路：由題意：解得：又函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k最小正周期為，
ω==4， f(x)=2sin(4x+φ)+2.又直線x=是f(x)圖象的一條對稱軸，
4×+φ=kπ+， φ=kπ-，kZ，故可得y=2sin+2符合條件，所以選D.
2.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點之間的距離為5，則f(x)的遞增區(qū)間是( )
A.[6k-1,6k+2](kZ) B.[6k-4,6k-1](kZ)
C.[3k-1,3k+2](kZ) D.[3k-4,3k-1](kZ)
答案：B 解題思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，ω=.由f(x)=2sin過點(2，-2)，即2sin=-2,0≤φ≤π，解得φ=.函數(shù)f(x)=2sin，由2kπ-≤x+≤2kπ+，解得6k-4≤x≤6k-1，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[6k-4,6k-1](kZ).
3.當x=時，函數(shù)f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，則函數(shù)y=f是( )
A.奇函數(shù)且圖象關于點對稱
B.偶函數(shù)且圖象關于點(π，0)對稱
C.奇函數(shù)且圖象關于直線x=對稱
D.偶函數(shù)且圖象關于點對稱
答案：C 解題思路：由已知可得f=Asin+φ=-A， φ=-π+2kπ(kZ)，
f(x)=Asin，
y=f=Asin(-x)=-Asin x，
函數(shù)是奇函數(shù)，關于直線x=對稱.
4.將函數(shù)y=sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數(shù)的一個對稱中心是( )
A. B.
C. D.
答案：A 命題立意：本題考查了三角函數(shù)圖象的平移及三角函數(shù)解析式的對應變換的求解問題，難度中等.
解題思路：將函數(shù)y=sin圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，得y=sin，再向右平移個單位，得y=sin=sin 2x，令2x=kπ，kZ可得x=kπ，kZ，即該函數(shù)的對稱中心為，kZ，故應選A.
易錯點撥：周期變換與平移變換過程中要注意變換的僅是x，防止出錯.
5.已知函數(shù)f(x)=sin(xR，ω>0)的部分圖象如圖所示，點P是圖象的點，Q是圖象的最低點，且|PQ|=，則f(x)的最小正周期是( )
A.6π B.4π C.4 D.6
答案：D 解題思路：由于函數(shù)f(x)=sin，則點P的縱坐標是1，Q的縱坐標是-1.又由|PQ|==，則xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.
6.設函數(shù)f(x)=sin x+cos x，把f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的圖象恰好為函數(shù)y=-f′(x)的圖象，則m的最小值為( )
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：f(x)=sin x+cos x=sinx+，y=-f′(x)=-(cos x-sin x)=sin， 將f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m>0)平移后得到y(tǒng)=sin的圖象， sin=sin.故m=+2kπ，kN，故m的最小值為.
二、填空題
7.(哈爾濱二模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+k的圖象如圖所示，則f(x)的表達式是f(x)=______.
答案：sin+1 命題立意：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法，難度較小.
解題思路：據(jù)圖象可得A+k=，-A+k=-，解得A=，k=1，又周期T=2=πω=2，即此時f(x)=sin(2x+φ)+1，又由f=-，可得φ=，故f(x)=sin+1.
8.已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在(0,2]上恰有一個值1和一個最小值-1，則ω的取值范圍為______.
答案： 命題立意：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力.求函數(shù)f(x)=sin(ω>0，x(0,2])的值與最小值，一般通過“整體代換”轉(zhuǎn)化到正弦函數(shù)的圖象上求解.運用整體換元解題，是指通過觀察和分析，把解題的注意力和著眼點放在問題的整體形式和結構特征上，從而觸及問題的本質(zhì).通過換元，使之化繁為簡，化難為易，從而達到求解的目的，是提高解題速度的有效途徑.
解題思路：設t=ωx+，t，因為f(t)=sin t在t上有一個值1和一個最小值-1，則解得所以≤ω<.
9.已知a2sin θ+acos θ-2=0，b2sin θ+bcos θ-2=0(a，b，θR，且a≠b)，直線l過點A(a，a2)，B(b，b2)，則直線l被圓(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4所截得的弦長為________.
答案：2 命題立意：本題考查直線與圓的方程及點到直線距離公式的應用，考查函數(shù)與方程思想及化簡運算能力，難度中等.
解題思路：據(jù)已知a，b可視為方程x2sin θ+xcos θ-2=0的兩根，由韋達定理可得a+b=-，ab=-，又因為直線AB的方程為y=(a+b)x-ab，故圓心到直線距離d====1，故所求弦長為2=2.
三、解答題
10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.
(1)將y表示成x的函數(shù)f(x)，并求f(x)的最小正周期;
(2)記f(x)的值為M，a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應的邊長，若f=M，且a=2，求bc的值.
解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，
即y=2cos2x+2sin xcos x
=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，
所以f(x)=2sin+1.
又T===π，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)由(1)易得M=3，
于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因為A為三角形的內(nèi)角，所以A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是當且僅當b=c=2時，bc取得值，且值為4.
11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;
(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.
命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù)f(x)化簡，然后在所給角的取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用正弦定理進行求解.
解析：(1)因為f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
因為x[0，π]，所以2x+，
當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);
當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)因為在ABC中，f=，
所以sin=，所以sin=1，
因為0
又因為a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，
所以sin B=，即B=或B=，
所以C=或C=.
鏈接高考：高考對于三角函數(shù)的考查一般是綜合考查同角三角函數(shù)關系、誘導公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，運用這些公式先對函數(shù)解析式進行化簡，再進一步研究其性質(zhì).
12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)如圖，點M，N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個相鄰交點，函數(shù)圖象上一點P滿足·=，求函數(shù)f(x)的值.
命題立意：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關內(nèi)容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式等知識.對于第(1)問，根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)建立方程組，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數(shù)解析式;對于第(2)問，一種方法是先求出點M，N的坐標，再利用·=，即可求出函數(shù)f(x)的值;另一種方法是過點P作PC垂直x軸于點C，利用·=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函數(shù)f(x)圖象上，即可求得函數(shù)f(x)的值.
解析：(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，
∴ sin=sin，
展開得cos θ+sin θ=.
cos θ=sin θ，tan θ=，
θ∈， θ=，
函數(shù)f(x)=Asin，
f=，
A=2.
f(x)=2sin.
(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 點M，N分別位于y軸兩側(cè)，則可得M，N，
=，=，
·==， +t=，
θ+2t=.
P在函數(shù)圖象上，
Asin(θ+2t)=Asin=，
A=. 函數(shù)f(x)的值為.
解法二：過點P作PC垂直x軸于點C.
令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，
M，N分別位于y軸兩側(cè)，可得M，N， ||=，
·=||·||cos PNM
=·||cos PNM=·||=，
||=， ||=||-||=，
即+t=.
θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，
A=. 函數(shù)f(x)的值為.
語要：本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結合起來進行考查，既考查了三角函數(shù)有關的運算，又考查了向量的數(shù)量積運算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結合考查，也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結合起來考查.
13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的值和最小值;
(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.
解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得
f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
因為f(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值為2，最小值為-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin，
因為f(x0)=，所以sin=.
由x0，得2x0+，
從而cos=-=-，
所以cos 2x0=cos
=coscos +sinsin
=.
1.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的值為4，最小值為0，最小正周期為，直線x=是其圖象的一條對稱軸，則下面各式中符合條件的解析式為( )
A.y=4sin B.y=2sin+2
C.y=2sin+2 D.y=2sin+2
答案：D 解題思路：由題意：解得：又函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k最小正周期為，
ω==4， f(x)=2sin(4x+φ)+2.又直線x=是f(x)圖象的一條對稱軸，
4×+φ=kπ+， φ=kπ-，kZ，故可得y=2sin+2符合條件，所以選D.
2.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點之間的距離為5，則f(x)的遞增區(qū)間是( )
A.[6k-1,6k+2](kZ) B.[6k-4,6k-1](kZ)
C.[3k-1,3k+2](kZ) D.[3k-4,3k-1](kZ)
答案：B 解題思路：|AB|=5，|yA-yB|=4，所以|xA-xB|=3，即=3，所以T==6，ω=.由f(x)=2sin過點(2，-2)，即2sin=-2,0≤φ≤π，解得φ=.函數(shù)f(x)=2sin，由2kπ-≤x+≤2kπ+，解得6k-4≤x≤6k-1，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[6k-4,6k-1](kZ).
3.當x=時，函數(shù)f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，則函數(shù)y=f是( )
A.奇函數(shù)且圖象關于點對稱
B.偶函數(shù)且圖象關于點(π，0)對稱
C.奇函數(shù)且圖象關于直線x=對稱
D.偶函數(shù)且圖象關于點對稱
答案：C 解題思路：由已知可得f=Asin+φ=-A， φ=-π+2kπ(kZ)，
f(x)=Asin，
y=f=Asin(-x)=-Asin x，
函數(shù)是奇函數(shù)，關于直線x=對稱.
4.將函數(shù)y=sin的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到的函數(shù)的一個對稱中心是( )
A. B.
C. D.
答案：A 命題立意：本題考查了三角函數(shù)圖象的平移及三角函數(shù)解析式的對應變換的求解問題，難度中等.
解題思路：將函數(shù)y=sin圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，得y=sin，再向右平移個單位，得y=sin=sin 2x，令2x=kπ，kZ可得x=kπ，kZ，即該函數(shù)的對稱中心為，kZ，故應選A.
易錯點撥：周期變換與平移變換過程中要注意變換的僅是x，防止出錯.
5.已知函數(shù)f(x)=sin(xR，ω>0)的部分圖象如圖所示，點P是圖象的點，Q是圖象的最低點，且|PQ|=，則f(x)的最小正周期是( )
A.6π B.4π C.4 D.6
答案：D 解題思路：由于函數(shù)f(x)=sin，則點P的縱坐標是1，Q的縱坐標是-1.又由|PQ|==，則xQ-xP=3，故f(x)的最小正周期是6.
6.設函數(shù)f(x)=sin x+cos x，把f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m>0)平移后的圖象恰好為函數(shù)y=-f′(x)的圖象，則m的最小值為( )
A. B.
C. D.
答案：C 解題思路：f(x)=sin x+cos x=sinx+，y=-f′(x)=-(cos x-sin x)=sin， 將f(x)的圖象按向量a=(m,0)(m>0)平移后得到y(tǒng)=sin的圖象， sin=sin.故m=+2kπ，kN，故m的最小值為.
二、填空題
7.(哈爾濱二模)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+k的圖象如圖所示，則f(x)的表達式是f(x)=______.
答案：sin+1 命題立意：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法，難度較小.
解題思路：據(jù)圖象可得A+k=，-A+k=-，解得A=，k=1，又周期T=2=πω=2，即此時f(x)=sin(2x+φ)+1，又由f=-，可得φ=，故f(x)=sin+1.
8.已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)在(0,2]上恰有一個值1和一個最小值-1，則ω的取值范圍為______.
答案： 命題立意：本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力.求函數(shù)f(x)=sin(ω>0，x(0,2])的值與最小值，一般通過“整體代換”轉(zhuǎn)化到正弦函數(shù)的圖象上求解.運用整體換元解題，是指通過觀察和分析，把解題的注意力和著眼點放在問題的整體形式和結構特征上，從而觸及問題的本質(zhì).通過換元，使之化繁為簡，化難為易，從而達到求解的目的，是提高解題速度的有效途徑.
解題思路：設t=ωx+，t，因為f(t)=sin t在t上有一個值1和一個最小值-1，則解得所以≤ω<.
9.已知a2sin θ+acos θ-2=0，b2sin θ+bcos θ-2=0(a，b，θR，且a≠b)，直線l過點A(a，a2)，B(b，b2)，則直線l被圓(x-cos θ)2+(y-sin θ)2=4所截得的弦長為________.
答案：2 命題立意：本題考查直線與圓的方程及點到直線距離公式的應用，考查函數(shù)與方程思想及化簡運算能力，難度中等.
解題思路：據(jù)已知a，b可視為方程x2sin θ+xcos θ-2=0的兩根，由韋達定理可得a+b=-，ab=-，又因為直線AB的方程為y=(a+b)x-ab，故圓心到直線距離d====1，故所求弦長為2=2.
三、解答題
10.已知a=(2cos x+2sin x,1)，b=(y，cos x)，且a∥b.
(1)將y表示成x的函數(shù)f(x)，并求f(x)的最小正周期;
(2)記f(x)的值為M，a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應的邊長，若f=M，且a=2，求bc的值.
解析：(1)由a∥b得，2cos2x+2sin xcos x-y=0，
即y=2cos2x+2sin xcos x
=cos 2x+sin 2x+1=2sin+1，
所以f(x)=2sin+1.
又T===π，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)由(1)易得M=3，
于是由f=M=3，即2sin+1=3sin=1，因為A為三角形的內(nèi)角，所以A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，解得bc≤4，于是當且僅當b=c=2時，bc取得值，且值為4.
11.已知f(x)=sin+cos+sin 2x，x[0，π].
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;
(2)若ABC中，f=，a=2，b=，求角C.
命題立意：本題主要考查兩角和與差的正、余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式將函數(shù)f(x)化簡，然后在所給角的取值范圍內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用正弦定理進行求解.
解析：(1)因為f(x)=sin+cos+sin 2x=sin 2x·cos +cos 2x·sin +cos 2x·cos +sin 2x·sin +sin 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x-sin 2x+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
因為x[0，π]，所以2x+，
當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù);
當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減函數(shù);
當2x+，即x時，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù).
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)因為在ABC中，f=，
所以sin=，所以sin=1，
因為0
又因為a=2，b=，所以由正弦定理=，得=，
所以sin B=，即B=或B=，
所以C=或C=.
鏈接高考：高考對于三角函數(shù)的考查一般是綜合考查同角三角函數(shù)關系、誘導公式、倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)公式，運用這些公式先對函數(shù)解析式進行化簡，再進一步研究其性質(zhì).
12.已知函數(shù)f(x)=Asin(2x+θ)，其中A≠0，θ.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)如圖，點M，N是函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個相鄰交點，函數(shù)圖象上一點P滿足·=，求函數(shù)f(x)的值.
命題立意：本題考查三角函數(shù)的恒等變換、平面向量的相關內(nèi)容以及由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式等知識.對于第(1)問，根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)建立方程組，可求得θ的值，利用f=，可求得A的值，從而可得函數(shù)解析式;對于第(2)問，一種方法是先求出點M，N的坐標，再利用·=，即可求出函數(shù)f(x)的值;另一種方法是過點P作PC垂直x軸于點C，利用·=，求得||=，從而||=||-||=，由此可得θ+2t=，利用P在函數(shù)f(x)圖象上，即可求得函數(shù)f(x)的值.
解析：(1) 函數(shù)f(x)的圖象過點E，F(xiàn)，
∴ sin=sin，
展開得cos θ+sin θ=.
cos θ=sin θ，tan θ=，
θ∈， θ=，
函數(shù)f(x)=Asin，
f=，
A=2.
f(x)=2sin.
(2)解法一：令f(x)=Asin(2x+θ)=0， 2x+θ=kπ，kZ， 點M，N分別位于y軸兩側(cè)，則可得M，N，
=，=，
·==， +t=，
θ+2t=.
P在函數(shù)圖象上，
Asin(θ+2t)=Asin=，
A=. 函數(shù)f(x)的值為.
解法二：過點P作PC垂直x軸于點C.
令f(x)=Asin(2x+θ)=0. 2x+θ=kπ，kZ，
M，N分別位于y軸兩側(cè)，可得M，N， ||=，
·=||·||cos PNM
=·||cos PNM=·||=，
||=， ||=||-||=，
即+t=.
θ+2t=， Asin(θ+2t)=Asin =，
A=. 函數(shù)f(x)的值為.
語要：本題較好的把三角函數(shù)與平面向量結合起來進行考查，既考查了三角函數(shù)有關的運算，又考查了向量的數(shù)量積運算.近幾年的高考中常常把三角函數(shù)與平面向量結合考查，也常常把三角函數(shù)與正余弦定理結合起來考查.
13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(xR).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間上的值和最小值;
(2)若f(x0)=，x0，求cos 2x0的值.
解析：(1)由f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1，得
f(x)=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)
=sin 2x+cos 2x=2sin，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
因為f(x)=2sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f(0)=1，f=2，f=-1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值為2，最小值為-1.
(2)由(1)可知f(x0)=2sin，
因為f(x0)=，所以sin=.
由x0，得2x0+，
從而cos=-=-，
所以cos 2x0=cos
=coscos +sinsin
=.