奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽或數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽，簡(jiǎn)稱奧數(shù)。奧數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與奧林匹克體育運(yùn)動(dòng)精神的共通性：更快、更高、更強(qiáng)。國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克作為一項(xiàng)國(guó)際性賽事，由國(guó)際數(shù)學(xué)教育專家命題，出題范圍超出了所有國(guó)家的義務(wù)教育水平，難度大大超過(guò)大學(xué)入學(xué)考試。下面是為大家?guī)?lái)的初二年級(jí)奧數(shù)角的平分線試題及答案，歡迎大家閱讀。
1．如果要作已知∠AOB的平分線OC，合理的順序是(C)
①作射線OC；②在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；③分別以D、E為圓心，大于12DE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
2．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是(A)
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等
3．已知△ABC，用尺規(guī)作圖作出∠ABC的角平分線，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．
解：作圖略．
4．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD＝6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為(A)
A．6
B．5
C．4
D．3
5.如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(B)
A．PC＝PD
B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
6．已知：如圖所示，點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分別為D，E，求證：OB＝OC.
證明：∵點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，BO⊥AC，CO⊥AB，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.
在△BEO和△CDO中，
∠BEO＝∠CDO，OE＝OD，∠EOB＝∠DOC，
∴△BEO≌△CDO(ASA)．
∴OB＝OC.
7．命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等”的已知是兩個(gè)三角形全等，結(jié)論是這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等．
8．證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫(xiě)出證明過(guò)程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫(huà)出的圖形，并寫(xiě)出了不完整的已知和求證．
已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．
求證：PD＝PE．
請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并寫(xiě)出證明過(guò)程.
證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD＝PE.
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積為(B)
A．15 B．30
C．45 D．60
10．在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是(A)
A．M點(diǎn) B．N點(diǎn)
C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)
11．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是(C)
A．8 B．6 C．4 D．2
12．已知，如圖，△ABC的角平分線AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，則AB＝6_cm．
13．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，且AB＝10 cm，求△DEB的周長(zhǎng)．
解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE.
又∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AE＝AC.
∴△DEB的周長(zhǎng)為DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10 cm.
14．求證：有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分別是∠BAC，∠B′A′C′的平分線，且AD＝A′D′.
求證：△ABC≌△A′B′C′.
證明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分別是∠BAC，∠B′A′C′的角平分線，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
∵∠B＝∠B′，AD＝A′D′，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．
∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
15．感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.
探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求證：DB＝DC.
證明：過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF＝DE，
∴△DFC≌△DEB.
∴DC＝DB.
1．如果要作已知∠AOB的平分線OC，合理的順序是(C)
①作射線OC；②在OA、OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE；③分別以D、E為圓心，大于12DE長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
2．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是(A)
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等
3．已知△ABC，用尺規(guī)作圖作出∠ABC的角平分線，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法．
解：作圖略．
4．如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD＝6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為(A)
A．6
B．5
C．4
D．3
5.如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(B)
A．PC＝PD
B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
6．已知：如圖所示，點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分別為D，E，求證：OB＝OC.
證明：∵點(diǎn)O在∠BAC的平分線上，BO⊥AC，CO⊥AB，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.
在△BEO和△CDO中，
∠BEO＝∠CDO，OE＝OD，∠EOB＝∠DOC，
∴△BEO≌△CDO(ASA)．
∴OB＝OC.
7．命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等”的已知是兩個(gè)三角形全等，結(jié)論是這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等．
8．證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫(xiě)出證明過(guò)程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫(huà)出的圖形，并寫(xiě)出了不完整的已知和求證．
已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．
求證：PD＝PE．
請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并寫(xiě)出證明過(guò)程.
證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD＝PE.
9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積為(B)
A．15 B．30
C．45 D．60
10．在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是(A)
A．M點(diǎn) B．N點(diǎn)
C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)
11．如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是(C)
A．8 B．6 C．4 D．2
12．已知，如圖，△ABC的角平分線AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，則AB＝6_cm．
13．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足為E，且AB＝10 cm，求△DEB的周長(zhǎng)．
解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE.
又∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AE＝AC.
∴△DEB的周長(zhǎng)為DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10 cm.
14．求證：有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的角平分線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分別是∠BAC，∠B′A′C′的平分線，且AD＝A′D′.
求證：△ABC≌△A′B′C′.
證明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分別是∠BAC，∠B′A′C′的角平分線，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
∵∠B＝∠B′，AD＝A′D′，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．
∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
15．感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知：DB＝DC.
探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求證：DB＝DC.
證明：過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，
∠ACD＋∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF＝DE，
∴△DFC≌△DEB.
∴DC＝DB.