奧林匹克數(shù)學(xué)競賽或數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，簡稱奧數(shù)。奧數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與奧林匹克體育運(yùn)動(dòng)精神的共通性：更快、更高、更強(qiáng)。國際數(shù)學(xué)奧林匹克作為一項(xiàng)國際性賽事，由國際數(shù)學(xué)教育專家命題，出題范圍超出了所有國家的義務(wù)教育水平，難度大大超過大學(xué)入學(xué)考試。奧數(shù)對(duì)青少年的腦力鍛煉有著一定的作用，可以通過奧數(shù)對(duì)思維和邏輯進(jìn)行鍛煉，對(duì)學(xué)生起到的并不僅僅是數(shù)學(xué)方面的作用，通常比普通數(shù)學(xué)要深?yuàn)W一些。下面是為大家?guī)淼某跻荒昙?jí)奧數(shù)重點(diǎn)題型：探索類附加題，歡迎大家閱讀。
【難度】★★★★☆
【考點(diǎn)】有理數(shù)計(jì)算、分?jǐn)?shù)拆分、方程思想
解答題：有8個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其和可以表示成7個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，但不能表示為3個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，求這8個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中數(shù)的最小值。(4分)
【解析】
設(shè)這八個(gè)連續(xù)正整數(shù)為：n，n+1……n+7;和為8n+28
可以表示為七個(gè)連續(xù)正整數(shù)為：k，k+1……k+6;和為7k+21
所以8n+28=7k+21，k=(8n+7)/7=n+1+n/7，k是整數(shù)
所以n=7,14,21,28……
當(dāng)n=7時(shí)，八數(shù)和為84=27+28+29，不符合題意，舍
當(dāng)n=14時(shí)，八數(shù)和為140，符合題意
【答案】數(shù)最小值：21
【難度】★★★★★
【考點(diǎn)】倒數(shù)的定義、有理數(shù)計(jì)算、分類討論思想
已知x，y是兩個(gè)有理數(shù)，其倒數(shù)的和、差、積、商的四個(gè)結(jié)果中，有三個(gè)是相等的，
(1)填空：x與y的和的倒數(shù)是 ;
(2)說明理由.
【解析】
設(shè)x，y的倒數(shù)分別為a，b(a≠0，b≠0，a+b≠a-b)，
則a+b，a-b，ab，a/b中若有三個(gè)相等，ab=a/b，即b2=1，b=±1
分類如下：
①當(dāng)a+b=ab=a/b時(shí)：如果b=1，無解;如果b=-1，解得a=0.5
②當(dāng)a-b=ab=a/b時(shí)：如果b=1，無解;如果b=-1，解得a=-0.5
所以x、y的倒數(shù)和為a+b=-0.5，或-1.5
【難度】★★★★☆
【考點(diǎn)】絕對(duì)值化簡
將1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)，任意分成50組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組中的兩個(gè)數(shù)記為a，b，代入中進(jìn)行計(jì)算，求出結(jié)果，可得到50個(gè)值，則這50個(gè)值的和的最小值為____
【解析】
絕對(duì)值化簡得：當(dāng)a≥b時(shí)，原式=b;當(dāng)a
所以50組可得50個(gè)最小的已知自然數(shù)，即1,2,3,4……50
【答案】1275
這50個(gè)值的和的值為____
【解析】
因?yàn)楸举|(zhì)為取小運(yùn)算，所以100必須和99一組，98必須和97一組，最后留下的50組結(jié)果為：1,3,5,7……99=2500
【難度】★★★★☆
【考點(diǎn)】有理數(shù)計(jì)算
在數(shù)1,2,3,4……1998，前添符號(hào)“+”或“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?(6分)
【解析】
最小的非負(fù)數(shù)為“0”，但是1998個(gè)正數(shù)中有999個(gè)奇數(shù)，999個(gè)偶數(shù)，他們的和或者差結(jié)果必為奇數(shù)，因此不可能實(shí)現(xiàn)“0”
可以實(shí)現(xiàn)的最小非負(fù)數(shù)為“1”，如果能實(shí)現(xiàn)結(jié)果“1”，則符合題意
相鄰兩數(shù)差為1，所以相鄰四個(gè)數(shù)可以和為零，即n-(n+1)-(n+2)+n+3=0
從3，4，5，6……1998共有1996個(gè)數(shù)，可以四個(gè)連續(xù)數(shù)字一組，和為零
【答案】
-1+2+3-4-5+6+7……+1995-1996-1997+1998=1
在數(shù)1,2,3,4……n，前添符號(hào)“+”或“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?
【解析】
由上面解析可知，四個(gè)數(shù)連續(xù)數(shù)一組可以實(shí)現(xiàn)為零
如果n=4k，結(jié)果為0;(四數(shù)一組，無剩余)
如果n=4k+1，結(jié)果為1;(四數(shù)一組，剩余首項(xiàng)1)
如果n=4k+2，結(jié)果為1;(四數(shù)一組，剩余首兩項(xiàng)-1+2=1)
如果n=4k+3，結(jié)果為0;(四數(shù)一組，剩余首三項(xiàng)1+2-3=0)
【難度】★★★★☆
【考點(diǎn)】有理數(shù)計(jì)算、分?jǐn)?shù)拆分、方程思想
解答題：有8個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其和可以表示成7個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，但不能表示為3個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，求這8個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中數(shù)的最小值。(4分)
【解析】
設(shè)這八個(gè)連續(xù)正整數(shù)為：n，n+1……n+7;和為8n+28
可以表示為七個(gè)連續(xù)正整數(shù)為：k，k+1……k+6;和為7k+21
所以8n+28=7k+21，k=(8n+7)/7=n+1+n/7，k是整數(shù)
所以n=7,14,21,28……
當(dāng)n=7時(shí)，八數(shù)和為84=27+28+29，不符合題意，舍
當(dāng)n=14時(shí)，八數(shù)和為140，符合題意
【答案】數(shù)最小值：21
【難度】★★★★★
【考點(diǎn)】倒數(shù)的定義、有理數(shù)計(jì)算、分類討論思想
已知x，y是兩個(gè)有理數(shù)，其倒數(shù)的和、差、積、商的四個(gè)結(jié)果中，有三個(gè)是相等的，
(1)填空：x與y的和的倒數(shù)是 ;
(2)說明理由.
【解析】
設(shè)x，y的倒數(shù)分別為a，b(a≠0，b≠0，a+b≠a-b)，
則a+b，a-b，ab，a/b中若有三個(gè)相等，ab=a/b，即b2=1，b=±1
分類如下：
①當(dāng)a+b=ab=a/b時(shí)：如果b=1，無解;如果b=-1，解得a=0.5
②當(dāng)a-b=ab=a/b時(shí)：如果b=1，無解;如果b=-1，解得a=-0.5
所以x、y的倒數(shù)和為a+b=-0.5，或-1.5
【難度】★★★★☆
【考點(diǎn)】絕對(duì)值化簡
將1，2，3，…，100這100個(gè)自然數(shù)，任意分成50組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組中的兩個(gè)數(shù)記為a，b，代入中進(jìn)行計(jì)算，求出結(jié)果，可得到50個(gè)值，則這50個(gè)值的和的最小值為____
【解析】
絕對(duì)值化簡得：當(dāng)a≥b時(shí)，原式=b;當(dāng)a
所以50組可得50個(gè)最小的已知自然數(shù)，即1,2,3,4……50
【答案】1275
這50個(gè)值的和的值為____
【解析】
因?yàn)楸举|(zhì)為取小運(yùn)算，所以100必須和99一組，98必須和97一組，最后留下的50組結(jié)果為：1,3,5,7……99=2500
【難度】★★★★☆
【考點(diǎn)】有理數(shù)計(jì)算
在數(shù)1,2,3,4……1998，前添符號(hào)“+”或“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?(6分)
【解析】
最小的非負(fù)數(shù)為“0”，但是1998個(gè)正數(shù)中有999個(gè)奇數(shù)，999個(gè)偶數(shù)，他們的和或者差結(jié)果必為奇數(shù)，因此不可能實(shí)現(xiàn)“0”
可以實(shí)現(xiàn)的最小非負(fù)數(shù)為“1”，如果能實(shí)現(xiàn)結(jié)果“1”，則符合題意
相鄰兩數(shù)差為1，所以相鄰四個(gè)數(shù)可以和為零，即n-(n+1)-(n+2)+n+3=0
從3，4，5，6……1998共有1996個(gè)數(shù)，可以四個(gè)連續(xù)數(shù)字一組，和為零
【答案】
-1+2+3-4-5+6+7……+1995-1996-1997+1998=1
在數(shù)1,2,3,4……n，前添符號(hào)“+”或“-”，并依次運(yùn)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少?
【解析】
由上面解析可知，四個(gè)數(shù)連續(xù)數(shù)一組可以實(shí)現(xiàn)為零
如果n=4k，結(jié)果為0;(四數(shù)一組，無剩余)
如果n=4k+1，結(jié)果為1;(四數(shù)一組，剩余首項(xiàng)1)
如果n=4k+2，結(jié)果為1;(四數(shù)一組，剩余首兩項(xiàng)-1+2=1)
如果n=4k+3，結(jié)果為0;(四數(shù)一組，剩余首三項(xiàng)1+2-3=0)