教案是教師為順利而有效地開展教學活動，根據課程標準，教學大綱和教科書要求及學生的實際情況，以課時或課題為單位，對教學內容、教學步驟、教學方法等進行的具體設計和安排的一種實用性教學文書。準備了《人教版初中數學教案三篇》，供大家參考!
公式法
理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程．
復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推導，并應用公式法解一元二次方程．
重點
求根公式的推導和公式法的應用．
難點
一元二次方程求根公式的推導．
一、復習引入
1．前面我們學習過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程
(1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7
提問1 這種解法的(理論)依據是什么？
提問2 這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負數”的特殊二次方程有效，不能實施于一般形式的二次方程．)
2．面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式．)
(學生活動)用配方法解方程 2x2＋3＝7x
(老師點評)略
總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結，老師點評)．
(1)先將已知方程化為一般形式；
(2)化二次項系數為1；
(3)常數項移到右邊；
(4)方程兩邊都加上項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；
(5)變形為(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程無實根．
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0
如果這個一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題．
問題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，試推導它的兩個根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a(這個方程一定有解嗎？什么情況下有解？)
分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a，b，c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去．
解：移項，得：ax2＋bx＝－c
二次項系數化為1，得x2＋bax＝－ca
配方，得：x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2
即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2
∵4a2>0，當b2－4ac≥0時，b2－4ac4a2≥0
∴(x＋b2a)2＝(b2－4ac2a)2
直接開平方，得：x＋b2a＝±b2－4ac2a
即x＝－b±b2－4ac2a
∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0，當b2－4ac≥0時，將a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根．
(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程多有兩個實數根．
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x
(3)x2－2x＋12＝0 (4)4x2－3x＋2＝0
分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可．
補：(5)(x－2)(3x－5)＝0
三、鞏固練習
教材第12頁 練習1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．
四、課堂小結
本節(jié)課應掌握：
(1)求根公式的概念及其推導過程；
(2)公式法的概念；
(3)應用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a>0；2)找出系數a，b，c，注意各項的系數包括符號；3)計算b2－4ac，若結果為負數，方程無解；4)若結果為非負數，代入求根公式，算出結果．
(4)初步了解一元二次方程根的情況．
五、作業(yè)布置
教材第17頁 習題4
因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通過復習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法——因式分解法解一元二次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題．
重點
用因式分解法解一元二次方程．
難點
讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便．
一、復習引入
(學生活動)解下列方程：
(1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數應為12，12的一半應為14，因此，應加上(14)2，同時減去(14)2.(2)直接用公式求解．
二、探索新知
(學生活動)請同學們口答下面各題．
(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數項？
(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？
(學生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解．
因此，上面兩個方程都可以寫成：
(1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－12.
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何實現降次的？)
因此，我們可以發(fā)現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個式的乘積等于0的形式，再使這兩個式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法．
例1 解方程：
(1)10x－4.9x2＝0 (2)x(x－2)＋x－2＝0 (3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34 (4)(x－1)2＝(3－2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？
解：略 (方程一邊為0，另一邊可分解為兩個因式乘積．)
練習：下面一元二次方程解法中，正確的是( )
A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝25，x2＝35
C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2
D．x2＝x，兩邊同除以x，得x＝1
三、鞏固練習
教材第14頁 練習1，2.
四、課堂小結
本節(jié)課要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應用．
(2)因式分解法要使方程一邊為兩個因式相乘，另一邊為0，再分別使各因式等于0.
五、作業(yè)布置
教材第17頁 習題6，8，10，11
一元二次方程的根與系數的關系
1．掌握一元二次方程的根與系數的關系并會初步應用．
2．培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．
3．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律．
4．培養(yǎng)學生去發(fā)現規(guī)律的積極性及勇于探索的精神．
重點
根與系數的關系及其推導
難點
正確理解根與系數的關系．一元二次方程根與系數的關系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數的關系．
一、復習引入
1．已知方程x2－ax－3a＝0的一個根是6，則求a及另一個根的值．
2．由上題可知一元二次方程的系數與根有著密切的關系．其實我們已學過的求根公式也反映了根與系數的關系，這種關系比較復雜，是否有更簡潔的關系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.觀察兩式右邊，分母相同，分子是－b＋b2－4ac與－b－b2－4ac.兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關系？
二、探索新知
解下列方程，并填寫表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
觀察上面的表格，你能得到什么結論？
(1)關于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數p，q之間有什么關系？
(2)關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根x1，x2與系數a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？
解下列方程，并填寫表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2
2x2－7x－4＝0
3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝0
小結：根與系數關系：
(1)關于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數p，q的關系是：x1＋x2＝－p，x1•x2＝q(注意：根與系數關系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零．)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先將二次項系數化為1，再利用上面的結論．
即：對于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
∵a≠0，∴x2＋bax＋ca＝0
∴x1＋x2＝－ba，x1•x2＝ca
(可以利用求根公式給出證明)
例1 不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：
(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0
(3)13x2－2x＝0 (4)2x2＋6x＝3
(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0
例2 不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？
(1)x2－22x＋1＝0 (x1＝2＋1，x2＝2－1)
(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝7＋734，x2＝5－734)
例3 已知一元二次方程的兩個根是－1和2，請你寫出一個符合條件的方程．(你有幾種方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一個根是－3，求另一根及k的值．
變式一：已知方程x2－2kx－9＝0的兩根互為相反數，求k；
變式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的兩根互為倒數，求k.
三、課堂小結
1．根與系數的關系．
2．根與系數關系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零．
四、作業(yè)布置
1．不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積．
(1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0
(4)3x2＋x＋1＝0
2．已知方程x2－3x＋m＝0的一個根為1，求另一根及m的值．
3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一個根為－2，求另一根及b的值
公式法
理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程．
復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推導，并應用公式法解一元二次方程．
重點
求根公式的推導和公式法的應用．
難點
一元二次方程求根公式的推導．
一、復習引入
1．前面我們學習過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程
(1)x2＝4 (2)(x－2)2＝7
提問1 這種解法的(理論)依據是什么？
提問2 這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負數”的特殊二次方程有效，不能實施于一般形式的二次方程．)
2．面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式．)
(學生活動)用配方法解方程 2x2＋3＝7x
(老師點評)略
總結用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結，老師點評)．
(1)先將已知方程化為一般形式；
(2)化二次項系數為1；
(3)常數項移到右邊；
(4)方程兩邊都加上項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；
(5)變形為(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±q；如果q＜0，方程無實根．
二、探索新知
用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3＝0 (2)ax2＋bx＋3＝0
如果這個一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題．
問題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，試推導它的兩個根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a(這個方程一定有解嗎？什么情況下有解？)
分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a，b，c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去．
解：移項，得：ax2＋bx＝－c
二次項系數化為1，得x2＋bax＝－ca
配方，得：x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2
即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2
∵4a2>0，當b2－4ac≥0時，b2－4ac4a2≥0
∴(x＋b2a)2＝(b2－4ac2a)2
直接開平方，得：x＋b2a＝±b2－4ac2a
即x＝－b±b2－4ac2a
∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0，當b2－4ac≥0時，將a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根．
(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程多有兩個實數根．
例1 用公式法解下列方程：
(1)2x2－x－1＝0 (2)x2＋1.5＝－3x
(3)x2－2x＋12＝0 (4)4x2－3x＋2＝0
分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可．
補：(5)(x－2)(3x－5)＝0
三、鞏固練習
教材第12頁 練習1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)．
四、課堂小結
本節(jié)課應掌握：
(1)求根公式的概念及其推導過程；
(2)公式法的概念；
(3)應用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a>0；2)找出系數a，b，c，注意各項的系數包括符號；3)計算b2－4ac，若結果為負數，方程無解；4)若結果為非負數，代入求根公式，算出結果．
(4)初步了解一元二次方程根的情況．
五、作業(yè)布置
教材第17頁 習題4
因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程．
通過復習用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法——因式分解法解一元二次方程，并應用因式分解法解決一些具體問題．
重點
用因式分解法解一元二次方程．
難點
讓學生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便．
一、復習引入
(學生活動)解下列方程：
(1)2x2＋x＝0(用配方法) (2)3x2＋6x＝0(用公式法)
老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數應為12，12的一半應為14，因此，應加上(14)2，同時減去(14)2.(2)直接用公式求解．
二、探索新知
(學生活動)請同學們口答下面各題．
(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數項？
(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？
(學生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數項；左邊都可以因式分解．
因此，上面兩個方程都可以寫成：
(1)x(2x＋1)＝0 (2)3x(x＋2)＝0
因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－12.
(2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何實現降次的？)
因此，我們可以發(fā)現，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個式的乘積等于0的形式，再使這兩個式分別等于0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法．
例1 解方程：
(1)10x－4.9x2＝0 (2)x(x－2)＋x－2＝0 (3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34 (4)(x－1)2＝(3－2x)2
思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？
解：略 (方程一邊為0，另一邊可分解為兩個因式乘積．)
練習：下面一元二次方程解法中，正確的是( )
A．(x－3)(x－5)＝10×2，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7
B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝25，x2＝35
C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2
D．x2＝x，兩邊同除以x，得x＝1
三、鞏固練習
教材第14頁 練習1，2.
四、課堂小結
本節(jié)課要掌握：
(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應用．
(2)因式分解法要使方程一邊為兩個因式相乘，另一邊為0，再分別使各因式等于0.
五、作業(yè)布置
教材第17頁 習題6，8，10，11
一元二次方程的根與系數的關系
1．掌握一元二次方程的根與系數的關系并會初步應用．
2．培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．
3．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律．
4．培養(yǎng)學生去發(fā)現規(guī)律的積極性及勇于探索的精神．
重點
根與系數的關系及其推導
難點
正確理解根與系數的關系．一元二次方程根與系數的關系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數的關系．
一、復習引入
1．已知方程x2－ax－3a＝0的一個根是6，則求a及另一個根的值．
2．由上題可知一元二次方程的系數與根有著密切的關系．其實我們已學過的求根公式也反映了根與系數的關系，這種關系比較復雜，是否有更簡潔的關系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.觀察兩式右邊，分母相同，分子是－b＋b2－4ac與－b－b2－4ac.兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關系？
二、探索新知
解下列方程，并填寫表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
觀察上面的表格，你能得到什么結論？
(1)關于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數p，q之間有什么關系？
(2)關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根x1，x2與系數a，b，c之間又有何關系呢？你能證明你的猜想嗎？
解下列方程，并填寫表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1•x2
2x2－7x－4＝0
3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝0
小結：根與系數關系：
(1)關于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數p，q的關系是：x1＋x2＝－p，x1•x2＝q(注意：根與系數關系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零．)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先將二次項系數化為1，再利用上面的結論．
即：對于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
∵a≠0，∴x2＋bax＋ca＝0
∴x1＋x2＝－ba，x1•x2＝ca
(可以利用求根公式給出證明)
例1 不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：
(1)x2－3x－1＝0 (2)2x2＋3x－5＝0
(3)13x2－2x＝0 (4)2x2＋6x＝3
(5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0
例2 不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？
(1)x2－22x＋1＝0 (x1＝2＋1，x2＝2－1)
(2)2x2－3x－8＝0 (x1＝7＋734，x2＝5－734)
例3 已知一元二次方程的兩個根是－1和2，請你寫出一個符合條件的方程．(你有幾種方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一個根是－3，求另一根及k的值．
變式一：已知方程x2－2kx－9＝0的兩根互為相反數，求k；
變式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的兩根互為倒數，求k.
三、課堂小結
1．根與系數的關系．
2．根與系數關系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零．
四、作業(yè)布置
1．不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積．
(1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0
(4)3x2＋x＋1＝0
2．已知方程x2－3x＋m＝0的一個根為1，求另一根及m的值．
3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一個根為－2，求另一根及b的值