著眼于眼前，不要沉迷于玩樂，不要沉迷于學(xué)習(xí)進(jìn)步?jīng)]有別*的痛苦中，進(jìn)步是一個由量變到質(zhì)變的過程，只有足夠的量變才會有質(zhì)變，沉迷于痛苦不會改變什么。高二頻道為你整理了《人教A版高二數(shù)學(xué)必修四教案》，希望對你有所幫助！
【篇一】
預(yù)習(xí)課本P103～105，思考并完成以下問題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？
(2)向量b在a方向上的投影怎么計算？數(shù)量積的幾何意義是什么？
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？
(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點(diǎn)睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．
(2)兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．
2．向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
[點(diǎn)睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．
3．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|，
當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點(diǎn)睛]對于性質(zhì)(1)，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0；若兩個非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[點(diǎn)睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因為a·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的數(shù)量積仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，則一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，則a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a與b的夾角為60°，則a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，則a與b的夾角為()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，則a·b＝________；
(2)若a∥b，則a·b＝________；
(3)若a⊥b，則a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量數(shù)量積的運(yùn)算
[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．
(2)如圖，正三角形ABC的邊長為2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項式的乘法
運(yùn)算．
[活學(xué)活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
與向量的模有關(guān)的問題
[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
從而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝5，且a與b的夾角為60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.
兩個向量的夾角和垂直
題點(diǎn)一：求兩向量的夾角
1．(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：選C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
題點(diǎn)二：證明兩向量垂直
2．已知向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：(a＋b)⊥(a－b)．
證明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：選B∵3a＋2b與ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.
求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cosθ＝a·b|a||b|，后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cosθ的值．
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：選B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b滿足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：選C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：選B∵＝，即一組對邊平行且相等，·＝0，即對角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．
6．給出以下命題：
①若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0；
③a與b是兩個單位向量，則a2＝b2.
其中，正確命題的序號是________．
解析：上述三個命題中只有③正確，因為|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時，有a·b＝0，顯然①②錯誤．
答案：③
7．設(shè)e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的
夾角．
解：因為|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a與b的夾角為120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)當(dāng)λ為何值時，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π3，則向量m＝a－4b的模為()
A．2B．23
C．6D．12
解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：選D法一：因為cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故選D.
法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝|cosA＝||2＝16，故選D.
3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因為|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點(diǎn)，則·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：選C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如圖，作＝＝a，
＝b，則＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|<0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化簡即得
2t2＋15t＋7<0，解得－7 當(dāng)夾角為π時，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
但此時夾角不是鈍角，
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ<0，⇒λ＝－14，t＝－142.
∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是
－7，－142∪－142，－12.
【篇二】
[新知初探]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
前提條件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時，向量a、b(b≠0)共線
[點(diǎn)睛](1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x1x2＝y(tǒng)1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例；
(2)當(dāng)a≠0，b＝0時，a∥b，此時x1y2－x2y1＝0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2＝x2y1.()
(2)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．()
答案：(1)√(2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，則與a＋b共線的向量可以是()
A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，則x等于()
A．－12B.12C．－2D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起點(diǎn)為A(1,2)，終點(diǎn)B在x軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．
答案：73，0
向量共線的判定
[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值等于()
A.12B.13C．1D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，從而1＝2μ，2＝－2μ，方程組顯然無解，即a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以1λ＝21，即λ＝12.
[答案]A
(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共線．
又＝－2，∴，方向相反．
綜上，與共線且方向相反．
向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活學(xué)活用]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行，平行時它們的方向相同還是相反？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b與a－3b平行，則－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－13，此時ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b與a－3b反向．
∴k＝－13時，ka＋b與a－3b平行且方向相反．
三點(diǎn)共線問題
[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)設(shè)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時，A，B，C三點(diǎn)
共線？
[解](1)證明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝32，即與共線．
又∵與有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．
(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則，共線，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略
(1)要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)使用A，B，C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式．
[活學(xué)活用]
設(shè)點(diǎn)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當(dāng)x為何值時，與共線且方向相同，此時，A，B，C，D能否在同一條直線上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由與共線，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又與方向相同，所以x＝2.
此時，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以與不共線，
所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上．
所以A，B，C，D不在同一條直線上．
向量共線在幾何中的應(yīng)用
題點(diǎn)一：兩直線平行判斷
1.如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，用向量的方法證明：DE∥BC；
證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)||＝1，則||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷
2．已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
證明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴與共線．
＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴與不共線．
∴四邊形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝5＝||，即BC＝AD.
故四邊形ABCD是等腰梯形．
題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)
3.如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：法一：設(shè)＝t＝t(4,4)
＝(4t,4t)，
則＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共線的條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝34.∴＝(3,3)．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)．
法二：設(shè)P(x，y)，
則＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共線，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共線，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．
應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：選BA中向量e1為零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故選B.
2．已知點(diǎn)A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，則實(shí)數(shù)λ的值為()
A．－23B.32
C.23D．－32
解析：選C根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故選C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()
A．(2,1)B．(－6，－3)
C．(－1,2)D．(－4，－8)
解析：選D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)與(1,2)不平行；(－4，－8)與(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實(shí)數(shù)x的值為()
A．－3B．2
C．4D．－6
解析：選D因為(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．設(shè)a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，則銳角α為()
A．30°B．60°
C．45°D．75°
解析：選A∵a∥b，
∴32×13－tanαcosα＝0，
即sinα＝12，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直線AB上，則x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb與a＋b共線，則λ與μ的關(guān)系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝13，＝13，求證：∥.
證明：設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
依題意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為－13，23.
同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為73，0，＝83，－23.
又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ為常數(shù))．
(1)求a＋b；
(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)λ的值．
解：(1)因為a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因為b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因為a＝(2,1)，且a與m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()
A．平行于x軸
B．平行于第一、三象限的角平分線
C．平行于y軸
D．平行于第二、四象限的角平分線
解析：選C因為a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y軸．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y＝()
A．13B．－13
C．9D．－9
解析：選DA，B，C三點(diǎn)共線，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()
A．k＝1且c與d同向
B．k＝1且c與d反向
C．k＝－1且c與d同向
D．k＝－1且c與d反向
解析：選D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c與d反向．
4．已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：選D設(shè)A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四個頂點(diǎn)為D，
①若這個平行四邊形為▱ABCD，
則＝，∴D(－3，－5)；
②若這個平行四邊形為▱ACDB，
則＝，∴D(5，－5)；
③若這個平行四邊形為▱ACBD，
則＝，∴D(1,5)．
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為________．
解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線．
∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.
答案：m≠12
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系；
(2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，則與共線．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，則(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．
8.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直線AC與BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：設(shè)P(x，y)，則＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三點(diǎn)共線可得＝＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝47，
∴＝47＝207，167，
∴P的坐標(biāo)為277，167.
【篇一】
預(yù)習(xí)課本P103～105，思考并完成以下問題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？
(2)向量b在a方向上的投影怎么計算？數(shù)量積的幾何意義是什么？
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？
(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點(diǎn)睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．
(2)兩個向量的數(shù)量積記作a·b，千萬不能寫成a×b的形式．
2．向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
[點(diǎn)睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．
3．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
(2)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|，
當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點(diǎn)睛]對于性質(zhì)(1)，可以用來解決有關(guān)垂直的問題，即若要證明某兩個向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0；若兩個非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[點(diǎn)睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因為a·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的數(shù)量積仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，則一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，則a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a與b的夾角為60°，則a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，則a與b的夾角為()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，則a·b＝________；
(2)若a∥b，則a·b＝________；
(3)若a⊥b，則a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量數(shù)量積的運(yùn)算
[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．
(2)如圖，正三角形ABC的邊長為2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項式的乘法
運(yùn)算．
[活學(xué)活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
與向量的模有關(guān)的問題
[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
從而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．
[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝5，且a與b的夾角為60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.
兩個向量的夾角和垂直
題點(diǎn)一：求兩向量的夾角
1．(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：選C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
題點(diǎn)二：證明兩向量垂直
2．已知向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：(a＋b)⊥(a－b)．
證明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：選B∵3a＋2b與ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.
求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cosθ＝a·b|a||b|，后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cosθ的值．
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：選B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b滿足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：選C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：選B∵＝，即一組對邊平行且相等，·＝0，即對角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．
6．給出以下命題：
①若a≠0，則對任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，則a與b中至少有一個為0；
③a與b是兩個單位向量，則a2＝b2.
其中，正確命題的序號是________．
解析：上述三個命題中只有③正確，因為|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時，有a·b＝0，顯然①②錯誤．
答案：③
7．設(shè)e1，e2是兩個單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1與e2是兩個夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的
夾角．
解：因為|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a與b的夾角為120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)當(dāng)λ為何值時，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π3，則向量m＝a－4b的模為()
A．2B．23
C．6D．12
解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：選D法一：因為cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故選D.
法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝|cosA＝||2＝16，故選D.
3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因為|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點(diǎn)，則·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：選C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如圖，作＝＝a，
＝b，則＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|<0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化簡即得
2t2＋15t＋7<0，解得－7
但此時夾角不是鈍角，
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ<0，⇒λ＝－14，t＝－142.
∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是
－7，－142∪－142，－12.
【篇二】
[新知初探]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
前提條件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時，向量a、b(b≠0)共線
[點(diǎn)睛](1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x1x2＝y(tǒng)1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例；
(2)當(dāng)a≠0，b＝0時，a∥b，此時x1y2－x2y1＝0也成立，即對任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0⇔a∥b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2＝x2y1.()
(2)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．()
答案：(1)√(2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，則與a＋b共線的向量可以是()
A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，則x等于()
A．－12B.12C．－2D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起點(diǎn)為A(1,2)，終點(diǎn)B在x軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．
答案：73，0
向量共線的判定
[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值等于()
A.12B.13C．1D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，從而1＝2μ，2＝－2μ，方程組顯然無解，即a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以1λ＝21，即λ＝12.
[答案]A
(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共線．
又＝－2，∴，方向相反．
綜上，與共線且方向相反．
向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活學(xué)活用]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行，平行時它們的方向相同還是相反？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b與a－3b平行，則－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－13，此時ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b與a－3b反向．
∴k＝－13時，ka＋b與a－3b平行且方向相反．
三點(diǎn)共線問題
[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)設(shè)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時，A，B，C三點(diǎn)
共線？
[解](1)證明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝32，即與共線．
又∵與有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．
(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則，共線，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略
(1)要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)使用A，B，C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式．
[活學(xué)活用]
設(shè)點(diǎn)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當(dāng)x為何值時，與共線且方向相同，此時，A，B，C，D能否在同一條直線上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由與共線，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又與方向相同，所以x＝2.
此時，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以與不共線，
所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上．
所以A，B，C，D不在同一條直線上．
向量共線在幾何中的應(yīng)用
題點(diǎn)一：兩直線平行判斷
1.如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，用向量的方法證明：DE∥BC；
證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)||＝1，則||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.
題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷
2．已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
證明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴與共線．
＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴與不共線．
∴四邊形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝5＝||，即BC＝AD.
故四邊形ABCD是等腰梯形．
題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)
3.如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：法一：設(shè)＝t＝t(4,4)
＝(4t,4t)，
則＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共線的條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝34.∴＝(3,3)．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)．
法二：設(shè)P(x，y)，
則＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共線，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共線，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．
應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟
層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：選BA中向量e1為零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故選B.
2．已知點(diǎn)A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，則實(shí)數(shù)λ的值為()
A．－23B.32
C.23D．－32
解析：選C根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故選C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()
A．(2,1)B．(－6，－3)
C．(－1,2)D．(－4，－8)
解析：選D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)與(1,2)不平行；(－4，－8)與(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實(shí)數(shù)x的值為()
A．－3B．2
C．4D．－6
解析：選D因為(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．設(shè)a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，則銳角α為()
A．30°B．60°
C．45°D．75°
解析：選A∵a∥b，
∴32×13－tanαcosα＝0，
即sinα＝12，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直線AB上，則x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb與a＋b共線，則λ與μ的關(guān)系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝13，＝13，求證：∥.
證明：設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
依題意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為－13，23.
同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為73，0，＝83，－23.
又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ為常數(shù))．
(1)求a＋b；
(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)λ的值．
解：(1)因為a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因為b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因為a＝(2,1)，且a與m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()
A．平行于x軸
B．平行于第一、三象限的角平分線
C．平行于y軸
D．平行于第二、四象限的角平分線
解析：選C因為a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y軸．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y＝()
A．13B．－13
C．9D．－9
解析：選DA，B，C三點(diǎn)共線，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()
A．k＝1且c與d同向
B．k＝1且c與d反向
C．k＝－1且c與d同向
D．k＝－1且c與d反向
解析：選D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c與d反向．
4．已知平行四邊形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：選D設(shè)A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四個頂點(diǎn)為D，
①若這個平行四邊形為▱ABCD，
則＝，∴D(－3，－5)；
②若這個平行四邊形為▱ACDB，
則＝，∴D(5，－5)；
③若這個平行四邊形為▱ACBD，
則＝，∴D(1,5)．
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為________．
解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線．
∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.
答案：m≠12
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系；
(2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，則與共線．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，則(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．
8.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直線AC與BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：設(shè)P(x，y)，則＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三點(diǎn)共線可得＝＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝47，
∴＝47＝207，167，
∴P的坐標(biāo)為277，167.