初二年級數(shù)學(xué)公式：立方和公式

奧林匹克數(shù)學(xué)競賽或數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，簡稱奧數(shù)。奧數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與奧林匹克體育運動精神的共通性：更快、更高、更強(qiáng)。國際數(shù)學(xué)奧林匹克作為一項國際性賽事，由國際數(shù)學(xué)教育專家命題，出題范圍超出了所有國家的義務(wù)教育水平，難度大大超過大學(xué)入學(xué)考試。奧數(shù)對青少年的腦力鍛煉有著一定的作用，可以通過奧數(shù)對思維和邏輯進(jìn)行鍛煉，對學(xué)生起到的并不僅僅是數(shù)學(xué)方面的作用，通常比普通數(shù)學(xué)要深奧一些。下面是為大家?guī)淼某醵昙墧?shù)學(xué)公式：立方和公式，歡迎大家閱讀。
    立方和公式證明
    我們知道：
    0次方和的求和公式ΣN^0=N+1
    1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2
    2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6
    取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
    系數(shù)可由楊輝三角形來確定
    那末就有：
    (N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
    N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
    (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
    ...................
    2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
    .
    于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
    左邊=(N+1)^4-1
    右邊=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
    所以呢
    把以上這已經(jīng)證得的三個公式帶入
    4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
    得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
    移項后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
    等號右側(cè)合并同類項后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
    即
    1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2
    立方和公式推導(dǎo)完畢
    1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2