構造斜邊上的中線與高解決斜邊的最小值問題
湖北省云夢縣沙河中學 許 昌
中考中經?？疾熘苯侨切涡边叺膬蓷l重要的線段，一是斜邊上的高，另一個是斜邊上的中線，從形狀上來說，直角三角形斜邊上的高把直角三角形分得兩個小直角三角形，而斜邊上的中線則把它分為兩個小等腰三角形；從長度上來說，直角三角形斜邊上的高是直角頂點到斜邊上所有點之中距離最短的，其長度可以用兩直角邊乘積除以斜邊求得；而斜邊上的中線等于斜邊的一半。
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本文從構造的角度，說明當直角三角形斜邊上的高與中線相結合時，如何解決斜邊的最小值問題。
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案例一：（2006貴陽市）如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內，過點P作⊙O的切線與
軸相交于點A，與
軸相交于點B。?
（1）點P在運動時，線段AB的長度在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；
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（2）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q、O、A、P為頂點的四邊形時平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由。
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【分析】：本題問題（1）中,要求解線段AB的最小值，而A、B點都隨切線的改變而改變，不好直接求其最值，而在Rt⊿OAB中，線段AB為斜邊，取AB的中點C，連結OC，這樣就利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=
AB，求出OC的最小值而就可以解決斜邊AB的最小值，又因為⊙O與邊
相切，連結O與切點P，所以半徑OP⊥AB, 由圖可以知，Rt⊿OAB中，斜邊上的中線OC??? 斜邊上的高OP, 當OC＝OP時，OC最短，即AB最短，此時AB＝4。?
案例二：（常州市2007年）如圖，在
中，
，
，
，經過點
且與邊相切的動圓與
分別相交于點
，則線段
長度的最小值是（??? ）?
A．
??? B．
???? C．
?????? D．
?
【分析】：本題中，由
，，，可知∠ACB=90°，要求解線段PQ的最小值，而P、Q點都隨動圓在改變，不好直接求其最值，而在Rt⊿PQC中，線段PQ為斜邊，取PQ的中點O（O點也是動圓的圓心），連結OC,這樣就利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=QP，又因為⊙O與邊相切，連結O與切點E，所以半徑OE⊥AB,OE=OC=QP，即OE+OC=QP，求出OE+OC的最小值而就可以解決斜邊PQ的最小值，OE+OC的最小值就是在Rt⊿ABC中C點到AB的距離,也就是Rt⊿ABC斜邊上的高CF。即PQ長度的最小值等于6×8÷10=4.8。?
??? 從上面兩個案例我們發(fā)現(xiàn)，當求直角三角形斜邊的最小值問題時，我們通常是構造出斜邊上的中線，然后把求斜邊的最值問題轉化成求斜邊上中線的最小值問題，而往往斜邊上中線的最小值又與斜邊上的高有關，最后由確定斜邊上高來求出斜邊的最值問題。
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